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1
圆【章节复习】压轴题-最值问题 题集C15
（1 ）
（2 ）
备用图
（3 ）
1.
图
（1 ）
图
（2 ）
【解析】
如图，在⊙
中，半径
，
为半径
上异于
，
的点，过点
作
，交⊙
于
，
，点
在线段
上，
，点
在线段
的延长线上，
．
若
，求弦
的长．
当点
在线段
（不含端点）上移动时，直线
与⊙
有怎样的位置关系？请说明理由．
点
是⊙
上的一个动点，若点
为
中点时，线段
的最小值为多少？请说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
与⊙
相切．
．
如图，
连接
，
∵
，
，
∴
，
则
．
如图，连接
，
，
，
∵
，
∴
，
又∵
，
，
∴
≌
（
），
∴
，
∴
，
2
图
（3 ）
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，即
，
∴
，
又∵
是⊙
的半径，
∴
与⊙
相切．
线段
的最小值为
，理由如下：
∵
为
的中点，
∴
，
在
中，
，
∴
，
∵
，
∴
是等边三角形，
∵
为⊙
任意一点，
连接
、
，
因为
为半径，是定值，
则
的值最小时，
最小，
当
、
、
三点共线时，
最小，
∴
为
与⊙
的交点时，
最小，
，
∴
，
，
∴
是等边三角形，
中，
，
∴
，
设
，则
，
，
中，
，
解得：
，
∴
，
中，
，
∴
，
3
【标注】
则线段
的最小值是
．
【知识点】与圆有关的动点、轨迹问题
（1 ）
（2 ）
（3 ）
2.
（1 ）
（2 ）
【解析】
已知
为⊙
的直径，点
为⊙
上的一点，且
（
），
外角的平
分线
交⊙
于
．
求证：
．
若
，且
的周长与
的面积的数值之比为
，求⊙
的半径．
若
，
为线段
上一动点，当
的最小值为
时，求弧
的长
度．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
⊙
的半径为．
．
∵
是直径，
∴
，
∵
是
的外角角平分线，
∴
．
∴
．
设半径为，过点
作
于点
，
∵
，∴
的周长为
．
4
（3 ）
【标注】
，∴
，
∴
∵
，
∴
，
解得
，
（舍去）
∴⊙
的半径为．
过点
作
于点
，
∵
，所以
为等腰直角三角形，
∴
∴
，
当
、
、
三点共线时，
最小．
则
∵
，
∴
，
∵
，∴
是等边三角形
∴
，∵
，
∴
，
，
则弧
．
【知识点】圆与三角函数
3. 如图，
为半圆的直径，
是半圆弧上一点，正方形
的一边
在直径
上，另一边
过
的内切圆圆心
，且点
在半圆上．
5
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
当正方形的顶点
也在半圆弧上时，半圆的半径与正方形边长的比为 ．
当正方形
的面积为
，且
的内切圆⊙
的半径
，求半圆的直径
的
值．
若半圆的半径为
，直接写出⊙
半径可取得的最大值．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
．
如图：
根据图和正方形的对称性可知，
，
设
，则
，
在
中，
，
可得
，
∴半圆的半径为
，正方形边长为
，
圆半径与正方形边长比是
．
如图，过点
作
，
，
可得
是正方形，且边长为，
设
，
，则
，
，
在
中，
，
，
∴
①，
在
中，易证
，
∴
，
∴
②，
②代入①中得
，
∴
．
6
（3 ）
【标注】
由题意得，设
，
，
，
由（）得：
，
，
，
化简得：
，
∴
，
，
∴当取最大时，为最大，
∴当
时，
．
【知识点】正方形的性质
【知识点】公式法解一元二次方程的一般步骤
【知识点】相似三角形的性质
【知识点】相似三角形的判定-两角对应相等
【知识点】勾股数
【知识点】正多边形与圆
【知识点】切线长定理
【知识点】圆与勾股
【知识点】圆与相似
【知识点】圆中对称性
【知识点】圆周角定理的推论
【能力】推理论证能力
