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弧长与扇形面积 题集【B】
1. 弧长公式
1.
【解析】
【标注】
如图，⊙
的半径为，正五边形
内接于⊙
，则
的长度为 ．
【答案】
∵正五边形
内接于⊙
，
∴
，
∴
，
∴
．
【知识点】弧长公式
A.
B.
C.
D.
2.
【解析】
如图，等边
的边长为，
、
、
分别为边
、
、
的中点，分别以
、
、
三点
为圆心，以
长为半径作三条圆弧的弧长之和是（ ）．
【答案】B
∵三个扇形可以组成一个半径为的半圆，
∴
．
2
【标注】【知识点】弧长公式
A.
B.
C.
D.
3.
【解析】
【标注】
如图，线段
上
、
两点，以
、
、
为直径的圆的周长分别为
、
、
，以
为
直径的圆的周长为
，下列结论正确的是（ ）．
【答案】B
由图可知
，
∴
．
【知识点】圆的周长公式
（1 ）
（2 ）
4.
（1 ）
【解析】
如图，直线
与以
为直径的⊙
相切于点
，点
、
在⊙
上，并分别位于
的两侧，
．
求
的度数．
当
时，求劣弧
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
劣弧
的长为
．
∵
是⊙
的切线，
∴
，即
．
∵
，
3
（2 ）
【标注】
∴
．
∵
是⊙
的直径，
∴
．
∴
．
∵
与
都是弧
所对的圆周角，
∴
．
连结
，
∵
，
，
∴
是等边三角形．
∴
，
．
∴
．
∴劣弧
的长
．
【能力】推理论证能力
【知识点】圆周角定理以及应用
【知识点】切线的性质定理
【知识点】弧长公式
（1 ）
（2 ）
5.
（1 ）
【解析】
如图，
是⊙
的直径，
是弦，直线
是过点
的⊙
的切线，
于点
．
求证：
．
若
，
，求
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
连接
，
∵
是过点
的⊙
的切线，
∴
，
又∵
，
∴
，
4
（2 ）
【标注】
∴
，
∵
，
∴
，
∴
．
∵
，
，
∴
，
∴
．
【能力】推理论证能力
【知识点】切线的性质定理
【知识点】弧长公式
（1 ）
（2 ）
6.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，⊙
的直径
与弦
相交于点
，且
，⊙
的切线
与弦
的延长线相交于
点
．
求证
．
若⊙
的半径为，
，求弧
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
∵⊙
的直径
与弦
相交于点
，且
，
∴
．
∵
是⊙
的切线．
∴
．
∴
．
∴
．
连接
，
，
在
中，
∵
，
，
5
【标注】
∴
．
∵
．
∴
．
∴
．
∴弧
的长
．
【能力】推理论证能力
【知识点】切线的性质定理
【知识点】弧长公式
【知识点】圆与等腰+平行线
7.
【解析】
【标注】
如图，根圆柱形木棒的横截面圆的半径均为，则捆扎这根木棒一周的绳子长度为 ．（结
果用表示）
【答案】
从图中可以看出，捆扎这根木棒一周的绳子长度为六段公切线长和六段弧长，
每条公切线
，连接六个圆的圆心的线段正好组成了一个正六边形，
根据正六边形的内角定义可知：每个内角
，
故可求出六段弧的圆心角都是
，
根据弧长公式可得：六段弧长
，
故捆扎这根木棒一周的绳子长度
．
【知识点】弧长公式
2. 扇形面积
1. 在附中中心花园的草坪上，有一些自动旋转喷水装置，它的喷灌区是一个扇形，小刘同学想了解这
种喷灌装置能够喷灌的草坪面积，她测量出了相关数据，并画出了示意图．如图，这种旋转喷水装
置的旋转角度为
，喷灌起终点
，
两点的距离为
米，求这种喷灌装置能够喷灌的草坪面积．
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【解析】
【标注】
【答案】
．
过点
作
于点
，
∵
，
米，
∴
米，
∵
，
，
∴
，
∴
，
又∵在
中，
，
即：
，
∴
，
∴
，
答：能够喷灌的草坪面积为
．
【思想】数形结合思想
【能力】抽象概括能力
【知识点】扇形的面积公式
2.
【解析】
已知半圆
的直径为
，
，求测阴影部分的面积．
【答案】
．
如图，连接
，
∵半圆
的直径为
，
，
∴
，
．
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【标注】
∴
（
）．
．
∴
（
）．
【知识点】与圆有关的不规则图形的周长与面积计算
扇形
阴影
扇形
A.
B.
C.
D.
3.
【解析】
【标注】
如图，等边
的边长为
，内切⊙
切
边于
点，则图中阴影部分的面积为（ ）．
【答案】C
根据题意，得
中，
，
，
，
∴
，
∴
．
故选．
【知识点】扇形的面积公式
【知识点】探究特殊角的三角函数值
4. 窗户如图所示，其中上方的装饰物由两个四分之一圆和一个半圆组成（它们的半径相同）．窗户中
能射进阳光部分的面积是 ．
【答案】
8
【解析】
【标注】
．
故答案是：
．
【知识点】扇形的面积公式
A.
B.
C.
D.
5.
【解析】
【标注】
小刚在实践课上要做一个如图所示的折扇，折扇扇面的宽度
是骨柄长
的
，折扇张开的角
度为
．小刚现要在如图所示的矩形布料上剪下扇面，且扇面不能拼接，已知矩形布料长为
，宽为
．小刚经过画图、计算，在矩形布料上裁剪下了最大的扇面，若不计裁剪和粘
贴时的损耗，此时扇面的宽度
为（ ）．
【答案】D
如图所示，在矩形中截得的扇面
，
依题可知，
，，
∴
，
，
．
∵
，
∴
，
，
∴
，
此时
刚好符合题意．
【知识点】扇形的面积公式
6. 如图，梯形
中，
，
，
，
，以点
为圆心在这个
梯形内画出一个最大的扇形（图中阴影部分），则这个扇形的面积是 ．
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【解析】
【标注】
【答案】
过点
向
作垂线，垂足为
，
∵
，
，∴
，
∴
，
，
根据勾股定理可知
，
∴扇形面积为
．
【知识点】扇形的面积公式
3. 圆锥有关的计算
A.
B.
C.
D.
1.
【解析】
【标注】
在
中，
，
，
，将
绕边
所在直线旋转一周得到圆
锥，则该圆锥的侧面积是（ ）．
【答案】B
由已知得，母线长
，半径为，
∴圆锥的侧面积是
．
【知识点】圆锥的相关计算
2.
【解析】
【标注】
已知圆锥的全面积为
，该圆锥的侧面展开图的圆心角为
，则圆锥的母线长为
．
【答案】
设圆锥底面圆半径为，母线长为，由圆锥全面积公式得：
，
由
得：
，
∴
，
解得：
，
∴圆锥的母线
．
【知识点】圆锥的相关计算
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3.
【解析】
【标注】
圆锥的底圆半径是，高是
，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是 ．
【答案】
∵底面半径为，高为
，
则母线
，
由
，可知
，
∴侧面展开图形的圆心角的度数是
．
【知识点】求圆锥展开图扇形的圆心角
4.
【解析】
【标注】
将半径为
，弧长为
的扇形围成圆锥（接缝忽略不计），那么圆锥的母线与圆锥高的夹角
为 ．
【答案】
扇形的半径为
，弧长为
，
圆锥的底面半径
，
圆锥的母线长、底面半径及高围成直角三角形，
圆锥的母线与圆锥底面的夹角的正弦值是
，
圆锥的母线与圆锥高的夹角为
，
故答案为：
．
【知识点】圆锥的相关计算
【能力】推理论证能力
5.
【解析】
如图，已知圆锥的高为
，高所在直线与母线的夹角为
，圆锥的侧面积为 ．
【答案】
如图，
，
，
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【标注】
在
中，∵
，
∴
，即圆锥的底面圆的半径为，
∴
，即圆锥的母线长为，
∴圆锥的侧面积
．
【知识点】求圆锥的侧面积
6.
【解析】
【标注】
某本古代数学名著中记载：“今有委米依垣内角，下周方圆四尺，高三尺．问：覆之至少几何？”
其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底面圆的半径为
尺，米堆的高为尺，若在米堆表面覆盖一张布用来遮灰，至少需要多少平方尺的布料？”如图，通
过计算可知，至少需要 平方尺的布料．
【答案】
．
【知识点】求圆锥的侧面积
圆锥
A.
B.
C.
D.
7.
【解析】
如图是某几何体的三视图及相关数据，则下面各式中正确的是（ ）．
【答案】A
依题可知，该几何体的为圆锥，高、底边圆的半径、母线围成直角三角形满足勾股定
理，即
．
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【标注】【知识点】由三视图判断几何体
A.
B.
C.
D.
8.
【解析】
【标注】
如图，是一个几何体的三视图，根据图中标注的数据可求得这个几何体的侧面积为（ ）．
【答案】B
底面周长为
，侧面积为
．
【知识点】求圆锥的侧面积
9.
【解析】
【标注】
现有一张圆心角为
，半径为
的扇形纸片，小红剪去圆心角为的部分扇形纸片后，将剩下
的纸片制作成一个底面半径为
的圆锥形纸帽（接缝处不重叠），则剪去的扇形纸片的圆心角
为 ．
【答案】
，解得：
，
∵扇形彩纸片的圆心角是
，
∴剪去的扇形纸片的圆心角为
．
剪去的扇形纸片的圆心角为
．
【知识点】圆锥的相关计算
10. 如图，从一块直径
是
的圆形铁皮上剪出一个圆心角为
的扇形，将剪下的扇形围成一个圆
锥，则圆锥的高是（ ）．
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A.
B.
C.
D.
【解析】
【标注】
【答案】D
连接
，
O
A
C
B
∵
，点
是
的中点，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
（
），
∴
的长为：
（
），
∴剪下的扇形围成的圆锥的半径是：
（
），
∴圆锥的高为：
（
），
故选：
．
【知识点】求圆锥的高
11. 如图，从一块直径是
的圆形铁皮上剪出一个圆心角为
的扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底
面半径是
．
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【解析】
【标注】
【答案】
连接
，
，
根据题意知
，
，
在
中，
，
即扇形的对应半径
弧长
，
设圆锥底面圆半径为，则有
，
解得︰
．
【知识点】求圆锥的底面半径
