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【四边形中的找规律问题】题集【B】
等比数列
（1）特点：后一个数与前一个数的比值相等，相等的比值叫做公比．
（2）求第项：
第一项为
，公比为，
第二项为
，
第三项为
，
……
第项为
，
【注意】：
图形找规律的问题就是数列找规律的另一种体现，题目大多是找线段之间的关系或面积之间的关系，这
类规律问题符合等比数列的特点，我们先根据题目要求算出前三、四项，再找到公比即可解决问题．
1. 正方形类
【总结】
①全等三角形有：
≌
≌
≌
，
≌
≌
≌
．
②图中所有三角形都是等腰直角三角形，对角线将正方形分成个全等的等腰直角三角形．
③等腰直角三角形的三边比是
④正方形的周长：边长的倍．如图，周长
．
⑤正方形的面积：
边长的平方．如图，面积
．
对角线平方的一半．如图，面积
．
：
正方形
正方形
1. 如图，设四边形
是边长为的正方形，以正方形
的对角线
为边作第二个正方形
，再以对角线
为边作第三个正方形
，如此下去……
2
（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
记正方形
的边长为
，依上述方法所作的正方形的边长依次为
，
，
，
，
，求出
，
，
的值．
根据以上规律写出第个正方形的边长
的表达式．
【答案】（1 ）
（2 ）
，，
．
．
∵正方形
的边长为，
∴第个正方形
的边长
，
第个正方形
的边长
，
第个正方形
的边长
．
根据以上规律，第个正方形的边长
．
【知识点】数列找规律-图形类的等比数列
【知识点】正方形的性质
【能力】抽象概括能力
2.
【解析】
如图，边长为
的正方形
，对角线
、
交于点
，过点
作
于
，再过点
作
于点
，接着过点
作
于点
，继续过点
作
于点
，
，按此方法继续下去，可以分别得到
，
点，则
的长为 ，
的长
为 ．
【答案】
;
∵四边形
是正方形，
3
【标注】
∴
，
，
∵
，
∴
．
∵
，
∴
是
的中点，
∴
，
∴
，
∴
．
∵
，
∴
是
的中点，
∴
，
∴
，
∴
．
【知识点】正方形的性质
【知识点】数列找规律-图形类的等比数列
A.
B.
C.
D.
3.
【解析】
如图，设四边形
是边长为的正方形，以对角线
为边作第二个正方形
，再以对角
线
为边作第三个正方形
，如此下去，则第个正方形的边长为（ ）．
【答案】D
∵四边形
是边长为的正方形，
∴第二个正方形
的边长
，
第三个正方形
的边长
，
，
第个正方形的边长
．
4
【标注】【能力】推理论证能力
【知识点】正方形的性质
4.
【解析】
【标注】
如图，第一个正方形
的对角线交点为
；以
，
为邻边向外做第二个正方形
，第二个正方形
的对角线交点为
；再以
，
为邻边向外做第三个正方形
，
，用这样的方法继续向外做正方形．若
，则第个正方形的面积是 ，第
个正方形的面积是 ．
【答案】
;
设第个正方形的面积为
．
∵
，
∴
．
∵
，
∴
，
同理
，
，
，
．
【知识点】正方形的周长与面积
【知识点】正方形的性质
【知识点】数列找规律-图形类的等比数列
【能力】推理论证能力
5. 如图，在平面直角坐标系中，边长为的正方形
的对角线
和
交于点
；以
为对角线作第二个正方形
，对角线
和
交于点
；以
为对角线作第三
个正方形
，对角线
和
交于点
；
，依此类推，这样作第个正方形的面
积为 ．
5
【解析】
【标注】
【答案】
∵正方形
的边长为，对角线
和
交于点
，
∴第一个正方形的面积为，点
，则第二个正方形的面积为
；
∵以
为对角线作第二个正方形
，对角线
和
交于点
，
∴点
，
则第三个正方形的面积为
；
∵以
为对角线作第三个正方形
，对角线
和
交于点
，
∴
，
则第四个正方形的面积为
，
，所以第个正方形的面积为
．
【思想】数形结合思想
【能力】运算能力
【知识点】数列找规律-图形类的等比数列
6. 如图，点
，
是正方形
的两个顶点，以它的对角线
为一边作正方形
，以正方形
的对角线
为一边作正方形
，再以正方形
的
对角线
为一边作正方形
，…，依次进行下去，则点
的坐标是 ，点
的坐标
是 ，点
的坐标是 ，
6
【解析】
【标注】
【答案】
;
;
根据题意和图形可看出每经过一次变化，都顺时针旋转
，边长都乘以，
∵从
到
经过了次变化，从
到
经过了次变化，
∵
，
，
∴
位置在第四象限，
位置在轴的负半轴上．
∵
，
，
∴点
的坐标是
，点
的坐标是
．
同理：点
的坐标是
．
【知识点】点坐标找规律
7. 如图，在平面直角坐标系
中，有一边长为的正方形
，点
在轴的正半轴上，如果以对
角线
为边作第二个正方形
，再以
为边作第三个正方形
，照此规律做下
去，则
的坐标是 ，
的坐标是 ．
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【解析】
【标注】
【答案】
;
∵四边形
是边长为正方形，
∴
，
，
，
∴点
的坐标是
．
根据题意可知，每经过一次变化，都顺时针旋转
，边长都乘以
，
∴旋转次则
旋转一周．
∵从
到
经历了
变化，
，
∴点
在第四象限角平分线上，且
，
∴点
的坐标是
．
【知识点】点坐标找规律
