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1
和切线性质有关的几何证明题二
（1 ）
（2 ）
1.
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
如图，⊙
为
的外接圆，直线与⊙
相切与点
，且
．
请仅用无刻度的直尺，在⊙
中画出一条弦，使这条弦将
分成面积相等的两部分（保
留作图痕迹，不写作法）．
请写出证明
被所作弦分成的两部分面积相等的思路．
【答案】（1 ）
（2 ）
画图见解析．
思路见解析．
如图所示：
思路：
．由切线性质可得
；
．由
可得
；
．由垂径定理知，点
是
的中点；
．由三角形面积公式可证
．
【知识点】切线的性质定理
【知识点】垂径定理以及应用
【能力】运算能力
2. 如图，已知
为⊙
的直径，
，
是⊙
的切线，
，
为切点，
．
2
（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
求
的度数．
若
，求
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
．
∵
、
是⊙
的切线，
∴
，
．
∵
，
∴
．
∴
为等边三角形，
∴
．
连接
，
∵
为⊙
的直径，
∴
．
∵
，
，
．
∴
．
∴
．
【知识点】圆与三角函数
3
（1 ）
（2 ）
3.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，在
中，
，以
为直径的⊙
分别交
，
于点
，
，过点
作⊙
的
切线，交
的延长线于点
．
求证：
．
连接
，
交于点
，若
，
，求
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
连接
，如图．
∵
是⊙
的直径，
∴
．
∵
，
∴
．
∵
是⊙
的切线，
∴
．
∵
．
∴
．
∴
．
如图．
∵
，
∵
，
∴在
中，由勾股定理可得
．
∵
，
∴
．
∴
．
∴
．
4
【标注】
∴
．
【知识点】圆与勾股
（1 ）
（2 ）
4.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，
为⊙
的直径，直线与⊙
相切于点
，过点
作
于点
，交⊙
于点
．
求证：
若
，
，求
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
证明：连接
，
∵
为⊙
的切线，
∴
．
∵
，
∴
．
∴
．
又∵
，
∴
．
∴
．
即
．
解法一：过点
作
于点
，连接
，
∵
为⊙
的直径，
∴
．
又
于点
，
∴
．
∴四边形
是矩形．
∴
．
∵
为⊙
的直径，
5
【标注】
∴
，
∴
．
∵
，
∴
，
∴
．
∵
，
∴
．
在
中，
，
，
∴
，
∴
．
解法二：连接
，
∵
为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°．
∵
，
，
，
四点共圆，
∴∠AEC＋∠ABC＝180°．
又∵∠AEC＋∠DEC＝180°，
∴∠DEC＝∠ABC，
∴Rt△CDE∽Rt△ACB，
∴
＝
．
在Rt△ABC中，
∠BAC＝
＝
，BC＝6，
∴AB＝
＝10，∴AC＝
＝8．
在Rt△ADC中，∵∠DAC＝∠BAC，
∴
∠DAC＝
＝sin ∠BAC＝
，
∴CD＝
＝
．
∴DE＝
＝
＝
．
【知识点】四点共圆的应用
5. 如图，
是⊙
的直径，
是弦，直线
与⊙
相切于点
，
，
与
的延长线交
于点
，过点
作
于点
，交
于点
．
6
（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
求证：
．
若
，
，写出求四边形
周长的思路．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
思路见解析．
连接
，如图．
∵直线
与⊙
相切于点
，
∴
．
∵
，
∴
．
又∵
为⊙
的半径，
∴
.
连接
，如图.
①由
，
，可得
，
又由直线
与⊙
相切于点
，
，
可推出
是等边三角形．
②由
是等边三角形，
，
，
可得
，
，
，
．
③利用
，可得到
，从而推出
，
.
④计算出四边形
的周长为
．(每一步没有写出结果，只要写出思路就可得
满分)
【知识点】弧、弦、圆心角关系
6. 如图，
是⊙
的直径，
是⊙
上一点，经过点
的切线与
的延长线交于点
，连接
，
，
．
是⊙
上一点，连接
并延长与
的延长线交于点
．
7
（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
求证：
；
若
，求
的值．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
∵
是⊙
的切线，
∴连接
，
，
∴
，
∵
是⊙
的直径，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
．
过点
作
于点
∵
，
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
∴
∵
∴
∴
≌
，
∴
8
【标注】
∵
，
∴在
中，设
，
．
∴
，
∴
即
∴
，
∴
∴
∵
∴
即
∴
，
∴
，
∴
．
【知识点】圆与相似
（1 ）
（2 ）
7. 如图，在
中，
，以
为直径的⊙
分别交
，
于点
，
，
的延长线与
⊙
的切线
交于点
．
求证：
．
若
，
，求
、
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
，
．
9
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，连接
．
∵
为⊙
的直径，
∴
．
∴
．
∵
是⊙
的切线，
∴
．
即
．
∴
．
∵
，
，
∴
．
∴
．
如图，连接
．
∴
．
设
，
∵
，
∴
，
，
．
在
中，
．
10
【标注】
即
．
∴
．
∴
．
∴
，
，
．
∵
．
∴
．
∴
．
【知识点】圆与勾股
（1 ）
（2 ）
8.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，在
，
，以
为直径⊙
的分别交
、
与点
、
，且
是⊙
的切
线，
交
的延长线于
．
求证：
．
若
，
，求
和
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
，
．
连接
，
∵
是⊙
的直径，
∴
，
∴
，
∵
是⊙
的切线，
∴
，
∴
．
由（）可知
，
∴
，
11
【标注】
在
中，
，
∴
，
∴
，
∴
．
过点
作
于点
，
则
，
即
，得
，
由勾股定理得
，
又∵
，
∴
，
即
，
解得
．
【知识点】圆与三角函数
（1 ）
（2 ）
9.
（1 ）
【解析】
如图，
为⊙
的直径，以
为直角边作
，
，斜边
与⊙
交于点
，
过点
作⊙
的切线
交
于点
，
于点
，交⊙
于点
．
求证：
．
若
，
，求
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
连结
，
12
（2 ）
【标注】
∵
为⊙
的直径，
，
∴
是⊙
的切线．
又∵
与⊙
相切，
∴
．
∴
．
∵
为⊙
的直径，
∴
．
∵
，
∴
．
∴
．
∴
．
∵
， ∴
．
在
中，
．
∴
,
∵
，
∴
．
∴
,
∴
,
∵
于点
，
∴
．
【知识点】圆与三角函数
（1 ）
（2 ）
10. 已知：如图，
中，
，以
为半径作⊙
，
切⊙
于点
，连接
交
于点
．
求证：
．
若
，且
，求⊙
的半径．
13
（1 ）
（2 ）
【解析】
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
连接
，
∵
是⊙
切线，
∴
，
∴
．
∵
，
∴
．
∵
．
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
．
延长
交⊙
于点
，连接
，
在
中，∵
，
设
，
，
∴则
，
∵
，
∴
，
∴
．
∵
，
14
【标注】
∴
，
∴
，
∴
．
解得：
．
∴
．
【知识点】圆与三角函数
（1 ）
（2 ）
11.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，在
，
，以
为直径的⊙
分别交
、
于点
、
，且
是⊙
的切
线，
交
的延长线于
．
求证：
．
若
，
，求
和
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
见解析
，
证明：连结
．
∵
B是⊙
的直径，
∴
，
∴
．
∵
是⊙
的切线，
∴
，
∴
．
∴
．
∵
，
，
∴
．
∴
．
过点
作
于点
．
∵
，
，
15
【标注】
∴
．
∵
，
．
∴
．
∵
，
，
∴
．
在
中，由勾股定理得
．
∴
，
．
在
中，可求得
，
．
∴
．
∵
，
∴
．
∴
，
∴
．
【知识点】圆与三角函数
（1 ）
（2 ）
12.
（1 ）
【解析】
如图，在
中，
，以
为直径的⊙
与边
、
分别交于点
、
．
是⊙
的切线，交
于点
．
求证：
．
若
，
，求
．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
连接
，
∵
是
的切线，
∴
，
∵
为⊙
的直径，且
在⊙
上，
16
（2 ）
【标注】
∴
，即
，
∴
为
中点，
又∵
为
中点，
∴
，
又∵
，
∴
，即
．
连接
，
∵
为⊙
的直径，且
在⊙
上，
∴
，即
，
又∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴在
中，
．
【知识点】圆与相似
（1 ）
（2 ）
13. 如图，已知
是⊙
的直径，点
在
的延长线上，
切⊙
于点
，过点
作
，交
的延长线于点
，连接
并延长，交
于点
．
求证：
．
连接
，如果
，
，求
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
17
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
连接
，
∵
，
∴
，
∵
切⊙
于点
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
【知识点】圆与三角函数
14. 如图，点
在
的边
上，⊙
过点
且分别与边
、
相交于点
、
，
于
，直线
是⊙
的切线．
18
（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
求证：
为等腰三角形．
若
，
，
，求线段
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
连结
，如图，
∵直线
是⊙
的切线，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
为等腰三角形．
在
中，∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
19
【标注】
∴
，
∴
，
连结
，如图，
∵
为直径，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
【知识点】圆与三角函数
（1 ）
（2 ）
15.
（1 ）
【解析】
已知：如图，在
中，
，以
为直径的⊙
交
于点
，过点
作⊙
的切线交
于点
．
求证：
．
若⊙
的半径为，
，求
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
如图，
20
（2 ）
【标注】
连结
，
∵过点
作⊙
的切线交
于点
，
∴
于
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
连结
，
∵
为⊙
的直径，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
，
∴
，
∵⊙
的半径为，
∴
，
∴
，
∴
．
【知识点】圆与三角函数
16. 如图，已知
是⊙
的直径，点
在
的延长线上，
切⊙
于点
，过点
作
于
点
，连接
并延长，交
于点
．
21
（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
求证：
．
若⊙
半径的长为，
，求
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
连接
，
∵
切⊙
于点
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
．
由（）
，
∴
，
∴
，
在
中，
，
∵
，
，
∴
，
∴
．
【知识点】圆与三角函数
17. 如图，在
中，
，以
为直径作半圆⊙
，交
于点
，连接
，过点
作⊙
的切线，交
延长线于点
，交
于点
．
22
（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
求证：
．
当
，
时，求
和
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
，
．
连接
，
∵
为⊙
的直径，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
．
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
为⊙
切线，
∴
，
23
【标注】
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
【知识点】圆与相似
（1 ）
（2 ）
18.
（1 ）
【解析】
如图，在
中，
是
上一点，以
为直径的⊙
切
于点
，交
于点
，
，
与
交于点
．
求证：
．
如果
，
，请你写出求四边形
面积的思路．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
思路见解析．
∵⊙
切
于点
，
∴
．
∵
，
∴
．
∵
为⊙
直径，
∴
．
24
（2 ）
【标注】
∴
．
①由（）可知四边形
为矩形．
②由
，
，
，可求
，
，
的长．
③由（）可得
，进而可求四边形
的面积．
【知识点】矩形的周长与面积
（1 ）
（2 ）
19.
图
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，以
的
边为直径作⊙
，交
于点
，过点
作⊙
的切线
，交
于点
，
且
，连接
．
求证：
．
若
，
，求
的值．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
连接
，如图．
∵
是⊙
半径，
为⊙
的切线，
∴
．
∵
，
∴
．
∴
．
∵
，
∴
．
∴
．
∴
．
解法一：
连接
，如图．
∵
，
，
25
图
图
【标注】
∴
，
，
．
∵
是⊙
的直径，
∴
．
又∵
，
∴
．
∴
．
∴
．
在
中，
．
∵
，
∴
．
∴
．
解法二：
过点
作
，交
的延长线于点
，如图．
∴四边形
是矩形．
∴
．
∴
．
在
中，由勾股定理得
．
在
中，
．
【知识点】圆与相似
（1 ）
（2 ）
20. 如图，在
中，
，以
为直径的⊙
分别交
，
于点
，
，
的延长线
与⊙
的切线
交于点
．
求证：
．
若
，
，求
的长．
26
（1 ）
（2 ）
【解析】
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
连接
，
∵
是⊙
的直径，
∴
，
∴
．
∵
，
∴
，
．
∵
为⊙
的切线，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
连接
，
∴
．
∵
，
，
∴
．
∵
，
，
∴
，
．
27
【标注】
∵
，
，
∴
，
∴
．
【知识点】圆与三角函数
（1 ）
（2 ）
21.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，
中，以
为直径的⊙
与
相交于点
，与
的延长线相交于点
，过点
作⊙
的切线交
于点
，且
．
求证：
．
若
，半径
，求
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
连接
，
∵
与⊙
相切，
∴
．
∵
，
∴
．
∴
．
又∵
，
∴
．
∴
．
∴
．
连接
，
，
∵
为⊙
的直径，
∴
．
∵
，
∴
．
∴
．
28
【标注】
在
中，
．
∴
．
∵
，
∴
．
∴
．
又∵
．
∴
．
∴
．
在
中，
．
∴
．
∴
．
∵
，
，
∴
．
∵
，
，
∴
．
∴
为
的中位线，
∴
．
∴
．
【知识点】圆与三角函数
22.
【解析】
已知，如图，点
在⊙
外，
、
是⊙
的切线，
、
为切点，
是直径，连接
．求
证：
．
【答案】证明见解析．
连接
交
于
，连接
．
29
【标注】
∵
，
是圆的切线，
∴
，
∵
，
∴
垂直平分
．
∴
．
∵
是直径，
∴
．
∴
．
∴
．
【知识点】切线的性质定理
【知识点】线段的垂直平分线的性质定理
【能力】推理论证能力
（1 ）
（2 ）
23.
（1 ）
【解析】
如图，在
中，
，以
为直径的⊙
交
于点
，⊙
的切线
交
于点
．
求证：
是
的中点．
若
，
，连接
、
，交点为
，求
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
连接
，
∵
，
为⊙
的直径，
∴
为⊙
的切线，
，
30
（2 ）
【标注】
∵
为⊙
的切线，
∴
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，即
是
的中点．
如图，连接
．
∵
、
是⊙
的切线，
∴
平分
，
，
∴
，
是
的中点，
∵点
、
分别是
、
的中点，
∴
，
在
中，
，
，
∴
，
∴
，
在
中，
，
∴
，
在
中，
．
【知识点】圆与勾股
（1 ）
（2 ）
24. 如图，
是⊙
的直径，
，
分别与⊙
相切于点
、
，
交
的延长线于点
，
交
的延长线于点
．
求证：
．
如果
，
，求
的长．
31
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
∵
，
与⊙
分别相切于点
、
，
∴
，
．
∵
是⊙
的直径，
∴
．
∵
，
∴
．
∵
，
∴
．
连接
，则
．
在
中，
，
，
，
可得
，
，
．
在
中，
，
，
，
可得
，
．
在
中，由勾股定理得
．
∵可证
．
∴
，
即
．
∴
．
【知识点】圆与相似
25. 如图，在
中，
，点
是
边上一点，以
为直径的⊙
与边
相切于
点
，连接
并延长
交
的延长线于点
．
32
（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
求证：
．
若
，
，求⊙
的半径．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
连接
，
∵
与圆
相切，
∴
，
∵
，
∴
，
又∵
为
的中点，
∴
为
的中点，即
为
的中位线，
∴
，
又∵
，
∴
．
设
，
可得：
，
又∵
，
∴
，
由（）得：
，
∴
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
，即
，
解得：
．
则圆
的半径为
．
【知识点】解直角三角形的综合应用
26. 如图，
是⊙
的直径，点
在⊙
上，过点
作⊙
的切线
，
于点
，交⊙
于
点
．
33
（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
求证：
平分
．
若
，求线段
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
连接
，
∵
，
∴
，
∵
时⊙
的切线，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
，
即
平分
．
连接
，交
于点
，
∵
，
平分
，
∴
且
，
，
在
中，
∴
，
在
和
中
，
，
∴
，
∴
，即
，
得
，
答：线段
的长为
．
34
【标注】【知识点】圆与相似
（1 ）
（2 ）
27.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，已知⊙
是以
为直径的
的外接圆，过点
作⊙
的切线交
的延长线于点
，交
的延长线于点
．
求证：
．
若
，
，求
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
∵
为⊙
的直径，
∴
，
∴
．
∵
为⊙
的切线，
∴
，
∴
,
∴
．
∵
，
∴
，
而
，
∴
．
∵
，
35
【标注】
∴
，
在
中，
，
，
∴
，
∴
，
．
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
．
∴
．
【知识点】圆与相似
28. 阅读下面材料：
已知：⊙
和⊙
外一点
．
求作：射线
，使得
与⊙
相切．
（1）连接
．
（2）作线段
的中点
，以点
为圆心，以
的长为
（3）作射线
．
所以射线
即为所求．
老师说：小亮的作法正确．
请回答：小亮的作图依据是 ．
【答案】直径所对的圆周角为直角，
经过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线．
36
【解析】
【标注】
直径所对的圆周角为直角，
经过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线．
【知识点】圆周角定理以及应用
29.
【解析】
【标注】
请利用直尺和圆规，过定点
作⊙
的切线，不写作法，保留尺规作图的痕迹．
【答案】画图见解析．
作以
为直径的圆，与⊙
交于
，
两点，
，
即为所求．
【知识点】以已知线段为直径作圆
【知识点】作线段的垂直平分线
【知识点】切线的性质定理
30. 如图，
是⊙
的直径，
切⊙
于点
，
交⊙
于点
，连接
．
37
（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
用等式表示
与
的数量关系，并证明．
若
，连接
，⊙
的半径为，求
的面积．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
．
∵
，
∴
，
∴
，
∵
与⊙
相切，
∴
，
∴
，
∴
．
过点
作
的延长线于点
，连接
，
∵
，
，
∴
，
∴
．
∵
，
∴
为等边三角形，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵⊙
的半径为，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
．
38
【标注】【知识点】圆的定义
