文档文本内容
1
圆【章节复习】压轴题-新定义 题集C34
1
2
（1 ）
（2 ）
（3 ）
1. 在平面直角坐标系
中，对于点
和图形
，如果线段
与图形
无公共点，则称点
为关于图
形
的“阳光点”；如果线段
与图形
有公共点，则称点
为关于图形
的“阴影点”．
如图，已知点
，
，连接
．
x
–2 –1
1
2
3
4
y
–2
–1
1
2
3
4
5
6
O
图
在
，
，
，
这四个点中，关于线段
的“阳光点”
是 ．
线段
；
上的所有点都是关于线段
的“阴影点”，且当线段
向上或向下平移时，都会有
上的点成为关于线段
的“阳光点”．若
的长
为，且点
在
的上方，则点
的坐标为 ．
如图，已知点
，⊙
与轴相切于点
．若⊙
的半径为
，圆心
在直线
上，且⊙
上的所有点都是关于⊙
的“阴影点”，求点
的横坐标的
取值范围．
x
–2 –1
1
2
3
4
y
–2
–1
1
2
3
4
5
6
O
图
如图，⊙
的半径为，点
到原点的距离为．点
是⊙
上到原点距离最近的点，点
和是坐标平面内的两个动点，且⊙
上的所有点都是关于
的“阴影点”，直接写出
的周长的最小值．
2
1
2
（1 ）
（2 ）
【解析】
x
y
O
图
【答案】
1
2
（1 ）
（2 ）
（3 ）
、
．
、
．
．
情况一．
如图，当⊙
与轴相切时，设切点为
，
x
y
O
图
连接
．
∵⊙
与轴相切于点
，
∴
轴．
∵⊙
的半径为
，
∴
．
∴此时点
的横坐标为
．
情况二．
如图，设直线分别于轴，轴交于点
，
，连接
，
，过点
作⊙
的另一条切
线
，切点为，直线
与直线交于点．
3
（3 ）
x
y
O
图
当⊙
与直线
相切时，点
作
轴于点
．
∵⊙
与轴相切于点
，
∴
轴．
∵点
的坐标为
，
∴
．
∴
．
∵⊙
与
相切于点，
∴
．
∴
．
∵直线
分别于轴，轴交于点
，
，
∴点
，
．
∴
．
∴
．
∴
．
∴
．
∴⊙
与直线
相切．
∴切点为点．
∴
．
∵在
中，
．
∴
．
∴
．
∴此时点
的横坐标为
．
可知，点
在直线上，从情况一中的位置运动到情况二中的位置时，都满足题意，所以点
的横坐标的取值范围是
．
过点
作⊙
的两条切线
、
，
4
【标注】
x
y
O
∵⊙
上所有的点都是关于
的“阴影点”，
∴点
在切线
上，点在切线
上．
依题可知，
，
，
，
．
∵点
是⊙
上到原点距离最近的点，
∴点
在
上，
．
的周长最小，在过点
分别作
、
的对称点
、
，连接
，
即为
的最小周长．
，
，
，
．
，
，
∴
．
【知识点】与圆有关的动点、轨迹问题
1
（1 ）
2. 已知线段
，点
在线段
上（点
与
、
必不重合），若平面内一点
满足：①
②线段
是线段
和
的比例中项，则称点
是点
在线段
上的一个“投影点”．
如图，已知
，
．
5
2
（2 ）
1
2
（1 ）
【解析】
当点
的坐标为
时，点
在线段
上的“投影点”的坐标是 ．
若点
的投影点
在直线
上，求点
的坐标．
已知
，
，直线
与轴交于点
，与轴交点
（如图）．若线段
上存在点
，使得在
的两条边上位于轴的上方的部分上存在
点
，使
是
在线段
上的一个投影点，请直接写出
的取值范围．
【答案】
1
2
（1 ）
（2 ）
和
或
．
或
．
∵
，
，
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∴点
在线段
上的投影点的坐标为
和
．
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴点
在以
为直径的圆上，
令
的中点为
，则
，
∵点
在直线
上，设
，
6
（2 ）
∵点
在⊙
上，
∴
，
∴
，
整理得
，
∴
或
，
∴点
的坐标为
或
．
∵
，
，
∴
，
，
在直线
上移动，
直线
，
令
，
，
∴
，
令
，
，
∴
，
∴
，
，
令
的中点为
，则
，
当⊙
在轴左侧且与轴相切时，
，此时
，
当⊙
在轴右侧且与轴相切时，
，此时
，
∴当点
在线段
上时，
，
当⊙
在
左侧且与
相切时，
直线
，令
解得
，
，此时
．
当⊙
在
右侧且与
相切时，
，此时
，
此时
，切点的坐标为
，
7
【标注】
且此点
为此时的切点，
∴点
在线段
上时，
，
综上所述
的取值范围是
或
．
【知识点】与圆有关的新定义
1
2
（1 ）
（2 ）
3. 在平面直角坐标系
中，点
，
，若线段
上存在一点
满足
，则称点
是线段
的“倍分点”．
x
y
O
若点
，
，点
是线段
的“倍分点”．
求点
的坐标．
若点
关于直线
的对称点为
，当点
在第一象限时，求
．
的圆心
，半径为，点
在直线
上，
上存在点
，使点
是线段
的“倍分点”，直接写出的取值范围．
【答案】
1
2
（1 ）
（2 ）
或
．
．
．
8
1
2
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
∵
，
，
∴
或
，
∵
，
∴
或
．
点
关于直线
的对称点为
，
∴
，
∴
．
依题意可知，点
是线段
的倍分点，
即
，
又∵点
在
直线上，
∴
，
，
∴
，
∴
，
又∵
，
∴
，
，
∴点
一定在直线
上，
同时若点
还在
上，即
与直线
有交点即可，
即当
与直线
相切时，
的半径为，相切时
，
∴的取值范围是
．
【知识点】与距离有关的新定义
9
