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圆【章节复习】压轴题-新定义 题集C36
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2
（1 ）
（2 ）
1.
1
2
（1 ）
【解析】
对于平面直角坐标系
中的某点
和⊙
，给出如下定义：若⊙
上存在两个点
，
，使得
，则称点
为⊙
的“凤尾点”，
则为⊙
的“凤尾三角形”．已知点
，
，
．
当⊙
的半径为时．
当⊙
的“凤尾三角形”为等边三角形时，则此时凤尾三角形的最大周长为 ，
在点
、
、
中，⊙
的凤尾点是 ．
过点
作直线交轴正半轴于点
，使
，若直线上的点
是⊙
的
凤尾点，求
的取值范围．
若线段
上的所有点都是某个圆的凤尾点，求这个圆的半径的取值范围．
【答案】
1
2
（1 ）
（2 ）
;
、
．
这个圆的半径的取值范围为
．
如图，在点
处，凤尾三角形的周长最大，为．
点
、
为⊙
的凤尾点．
由题意可知，若
要刚好是圆
的凤尾点，
需要点
到圆
的两条切线
和
之间所夹的角为
，
由图可知
，则
，
连接
，则
，
∴若
点为圆
的凤尾点，则需点
到圆心的距离满足
；
由上述证明可知，考虑临界点位置的
点，
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（2 ）
【标注】
如图，点
到原点的距离
，
过点
作 轴的垂线
，垂足为
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
可得点
与点
重合，
过点
作
轴于点
，
可得
，
∴
，
从而若点
为⊙
的凤尾点，则
点必在线段
上，
∴
．
若线段
上的所有点都是某个圆的凤尾点，欲使这个圆的半径最小，则这个圆的圆心应
在线段
的中点；考虑临界情况，如图，
即恰好
、
点为圆
的关联时，则
，
此时，
，
故若线段
上的所有点都是某个圆的凤尾点，这个圆的半径的取值范围为
．
【知识点】两圆位置关系综合题
（1 ）
2. 在平面直角坐标系中，将某点（横坐标与纵坐标不相等）的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这个
点的“互换点”，如
与
是一对“互换点”．
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2
（2 ）
（1 ）
1
2
（2 ）
【解析】
【标注】
以
为圆心，半径为的圆上有无数对“互换点”，请写出一对符合条件的“互换
点” ．
点
，
是一对“互换点”，点
的坐标为
，且(
)，⊙
经过点
，
．
点
的坐标为
，求圆心
所在直线的表达式．
⊙
的半径为，求
的取值范围．
【答案】（1 ）
1
2
（2 ）
，
．
．
的取值范围是
．
，
．
连结
，
∵
，
∴
是等腰直角三角形．
过
作
于点
，
∴点
，
关于直线
对称．
由圆的对称性可知，圆心
在直线
上．
∴圆心
所在直线的表达式为
．
当
为⊙
直径时，由等腰直角三角形性质，可知
．
当点
，
重合时，即点
，
横纵坐标相等，所以
．
∴
的取值范围是
．
【知识点】圆中对称性
【知识点】等腰直角三角形的性质
【知识点】一次函数的解析式
3. 定义：点
为平面直角坐标系
内的点，若满足
，则把点
叫做“平衡点”．例如：
，
都是“平衡点”．
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（1 ）
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（2 ）
1
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（1 ）
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（2 ）
【解析】
直接写出下列图形的“平衡点”．
直线：
．
半径为的⊙
．
如图，已知⊙
的半径为
．
若直线
上的“平衡点”位于⊙
的内部，求
的取值范围．
若经过⊙
上一动点
的直线
上的“平衡点”位于第三象限，直接写出
的取值范围．
【答案】
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（1 ）
1
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（2 ）
平衡点
．
平衡点
，
．
．
．
直线：
，
当
时，
，
，
∴平衡点
．
半径为的⊙
，
当
时，
，
，
∴平衡点
，
．
根据定义知，坐标系为“平衡点”都在直线
上，
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【标注】
故设
与图得两个交点为
、
，
设
，
，
∴
，
，
∴
，
，
∴当
在直线
上时，
．
当
在直线
上时，
．
∴
．
∵“平衡点”在第三象限，
∴①
．
②直线
与⊙
相切于
，
交轴于
，交轴于
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
【知识点】一次函数平移变换；解直角三角形的综合应用
