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1
圆【章节复习】压轴题-圆和二次函数 题集C25
（1 ）
（2 ）
（3 ）
1.
（1 ）
（2 ）
【解析】
已知：二次函数
的图象与轴交于
、
两点，其中点
为
，与轴负半轴
交于点
，其对称轴是直线
．
求二次函数
的解析式．
圆
经过点
的外接圆，点
是
延长线上一点，
的平分线
交圆
于点
，连接
、
，求
的面积．
在（）的条件下，二次函数
的图象上是否存在点
，使得
？如果存在，请求出所有符合条件的
点坐标；如果不存在，请说明理
由．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
．
存在，
，
．
∵抛物线对称轴是直线
，点
，
∴
，
∴抛物线解析式
，
又∵抛物线与轴负半轴交于点
，
∴
，
∴
，
∴
．
∵
，
，
，
∴
，
，
，
∴
，
2
（3 ）
又∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
为圆
的直径，
点坐标为
，
∴
，
又∵
平分
，
∴
，
∴
，
为等腰直角三角形，
连接
，
则
，
，
∴
，
点坐标为
，
设
与轴交于点
，
∵
，
∴
，
∴
，
作
轴于点
，
∵
，
∴
，
，
∴
．
抛物线上存在点
，使得
，分两种情况讨论：
①过点
作直线
，交轴于
，
3
∵
，
∴
，
，
又∵
，
∴
，直线
与抛物线在
点右侧的交点即为点
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
，
设直线
的解析式为
，
则有
，
解得
，
直线
的解析式为
，
∴
，
解得
，
（舍），
∴
．
②过点
作
，交轴于
点，
∵
，
∴
，
4
【标注】
即直线
与抛物线在
点右侧的交点即为
点，
又∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
设直线
的解析式为
，
则有
，解得
，
∴直线
的解析式为
，
∴
，
解得
，
（舍），
∴符合条件的
点有两个：
，
．
【知识点】二次函数与圆的综合问题
（1 ）
（2 ）
（3 ）
2.
（1 ）
【解析】
在平面直角坐标系
中，抛物线
与轴交于
，
两点．（点
在点
的左侧）
求抛物线的对称轴及线段
的长．
抛物线的顶点为
，若
，求顶点
的坐标及的值．
若在抛物线上存在一点
，使得
，结合图象，求的取值范围．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
该抛物线的对称轴为直线
，
．
点
的坐标为
，
．
．
令
，得
（
），
∴
，
．
∴
，
．
5
（2 ）
（3 ）
【标注】
∴该抛物线的对称轴为直线
，
．
设该抛物线的对称轴与轴交于点
．
x
–5 –4 –3 –2 –1
1
2
3
y
–2
–1
1
2
3
O
∵
，
∴
，
，
．
∴点
的坐标为
．
∴
．
当点
为抛物线的顶点且
时，
．
x
–4 –3 –2 –1
1
2
3
y
–4
–3
–2
–1
1
2
3
O
当点
在抛物线上（点
不是抛物线的顶点）且
时，
．
综上，
．
【知识点】二次函数与角度问题
3. 如图，已知抛物线的顶点坐标为
，且经过点
，与轴交于
、
两点（点
在点
的
左侧），与轴交于点
，抛物线的对称轴与轴交于点
，点
在对称轴上．
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（1 ）
（2 ）
（3 ）
（1 ）
方法一：
（2 ）
【解析】
求抛物线的解析式．
直线
与轴交于点
，若
，求点
的坐标．
请探索：是否存在这样的点
，使
？若存在，求出点
的坐标．若不存
在，请说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
点
的坐标是
或
．
或
．
∵抛物线顶点
，则设函数
，
将
代入得
，
∴
．
∵
，
令
，得
，∴
，
设
：
，
将
，
代入得
，
∴
：
，
又∵
，
∴直线
，
∴设
：
，将
代入得
，
∴
：
，
当
时，得
，
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方法二：
（3 ）
【标注】
∴
．
点
关于轴对称得
，
故点
的坐标是
或
．
由
，得
，
解得
，故点
的坐标为
又由对称性可知，
也符合要求，
综上，点
的坐标为
或
．
如图连接
，
∵
垂直平分
，
∴
，
又∵
，
∴
，
则
，
，
，
四点共圆，
∵
垂直平行
，
∴圆心在对称轴
上，
设圆心
，则
，
即
，
解得
，
∴
，半径
，
∴
，
∴
；
当点
在轴下方时，
由对称知，
，
∴点
的坐标为
或
．
【知识点】圆与平面直角坐标系
8
（1 ）
（2 ）
4.
（1 ）
（2 ）
【解析】
已知
是
的直径，点
在
上，点
在半径
上（不与点
，
重合）．
如图，若
，
，求
的度数．
如图，点
在线段
上（不与
，
重合），
、
的延长线分别交
于点
、
，连
接
，
，点
是
的延长线与
的交点，若
，
，
，
，求
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
．
∵
，
，
∴
为等边三角形，
∴
，
又∵
，
∴
．
连接
，延长
交
于点
，交
于点
，令
交
于点
，如图所示：
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
9
【标注】
∵
，
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴点
为
中点，
∴
、
为等腰直角三角形，
∵
，
∴
，
，
在
中，
，
，
∴
．
【知识点】圆与全等
（1 ）
（2 ）
（3 ）
5. 如图，⊙
过原点并与坐标轴分别交于
、
两点，已知点
为⊙
圆周上一动点且
，
点
的坐标为
．
直接写出圆心
的坐标．
当
为等边三角形时，求点
的坐标．
若以点
为圆心，为半径作⊙
，当⊙
与两坐标轴同时相切时，求点
的坐标．
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（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
．
或
．
连接
，
∵
，
∴
是⊙
的直径，
∵
，
∴
，
∵点
的坐标为
．
∴
，
∴
，
∴点
的坐标为
，
∵点
是
的中点，
∴点
的坐标为
．
连接
、
、
，延长
交
于点
，
∵
，
，
∴点
、
在
的垂直平分线上，
∴
且
，
∴
，
由（）得
，
，
∴
，
∴
，
∴
．
连接
，过点
分别作
轴于点
，
轴于点
，
∵
与轴，轴相切，
∴
，
∴
平分
，
，
∴
，
∴
，
∴在
和
中，
，
∴
≌
，
11
【标注】
∴
，
∵
，
，
∴四边形
为正方形，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
由（）得
，且
，
∴
，
∴
，
∴
．
同理，当点⊙
在第一象限时，圆心
的坐标为
，
综上，点
的坐标为
或
．
【知识点】圆与全等
（1 ）
（2 ）
6. 在⊙
中，直径
弦
，垂足为点
，
，
如图①，求证
是⊙
的切线．
如图②，
与
交于点
，与⊙
的另一个交点为点
，
与
交于点
，若点
是
的中点，⊙
的半径为，
，求
的长．
12
（1 ）
（2 ）
【解析】
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
连接
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
为⊙
的半径，
∴
为⊙
的切线．
∵
为⊙
的直径，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
∽
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
13
【标注】
∵
，
，
∴
，
，
∴
，
∴
．
【知识点】圆与相似
