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圆【章节复习】压轴题-新定义 题集C35
1
2
（1 ）
（2 ）
1.
1
方法一：
2
（1 ）
【解析】
对于平面直角坐标系
中的点
和⊙
，给出如下定义：连接
交⊙
于点
，若点
关于点
的
对称点
在⊙
的内部，则称点
是⊙
的外应点．
当⊙
的半径为时．
在点
，
，
中，⊙
的外应点是 ．
若点
为⊙
的外应点，且线段
交⊙
于点
，求
的取值范
围．
⊙的圆心为
，半径为，直线
经过点
，与轴交于点
，若线段
上所有点都是⊙的外应点，直接写出的取值范围．
【答案】
1
2
（1 ）
（2 ）
、
．
或
．
（1）①如图中，
图
根据点
是
的外应点定义，观察图象可知，
的外应点是
，
．
故答案为
，
．
∵
交⊙
于点
，
2
方法二：
方法一：
（2 ）
即直线
的解析式为
，
依据题意得到⊙
的外应点应该在⊙
外，
且在以
为圆心，为半径的圆内，
∴
与这样的圆环有公共点，
即
．
作射线
，交
于点
，
图
＇
作点
关于点
的对称点
，
∵点
为
的外应点，
∴点
在线段
上（不与
，
重合），
∴
．
根据题意可知，
，
，
，
线段
上所有都是⊙的外应点，
即线
上所有点都应在⊙外，在以为圆心，为半径的圆环内，
点
在大⊙上时，
，
①当小⊙与线段
相切时，
，
，
②当点
经过大⊙时，
3
方法二：
【标注】
，
．
综上所述，的取值范围是
或
．
由题意
，∵直线
过点
，
∴
，可得
，
如图中，当半径为的
经过点
时，
，
图
图
如图中，当半径为的
与
相切于
时，易知
，
，
∴
，∴
，
观察图象可知：当
时，线段
上的所有点都是
的外应点．
如图中，当半径为的
经过点
时，
，
图
图
如图中，当半径为的
经过点
时，易知
,
观察图象可知：当
时，线段
上的所有点都是
的外应点．
综上所述，满足条件的的值为：
或
．
【知识点】一次函数与圆的综合问题
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1
2
（1 ）
（2 ）
2.
1
2
（1 ）
【解析】
在平面直角坐标系
中，
、
两点的坐标分别为
，
，对于给定的线段
及点
、
，给出如下定义：若点
关于
所在直线的对称点
落在
的内部（不含边界），则称
点
是点
关于线段
的内称点．
已知点
．
在
，
两点中，是点
关于线段
的内称点的是 ．
若点
在直线
上，且点
是点
关于线段
的内称点，求点
的横坐标
的取值范围．
已知点
，⊙
的半径为，点
，若点
是点
关于线段
的内称点，且满足直
线
与⊙
相切，求半径的取值范围．
【答案】
1
2
（1 ）
（2 ）
．
．
，如图
如图，点
关于
所在直线的对称点为
，
此时点
恰好在直线
上，
∵点
是点
关于线段
的内称点，
∴点
关于
所在直线的对称点
落在
的内部（不含边界），
又∵点
在直线
上，
∴点
应该在线段
上（点
为直线
与直线
交点），且不与两个端点
，
重合，
∴
．
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（2 ）
【标注】
如图：∵点
是点
关于线段
的内称点，
∴点
关于
所在线段的对称点
应在
的内部（不含边界），
∵点
关于
所在直线的对称点为原点
∴点
应在
的内部（不含边界），
∵
，
，
，
可得
，
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
此时直线
与以
为半径的⊙
相切，半径
，
当直线
与以
为半径的⊙
相切，
为切点时，⊙
的半径最大，最大值为
，
∴符合题意的⊙
的半径的取值范围是
．
【知识点】与距离有关的新定义
3. 如图，在平面直角坐标系
内，已知点
，
，
，
，记线段
为
，线段
为
，点
是坐标系内一点．给出如下定义：若存在过点
的直线与
，
都有公共
点，则称点
是
联络点．
例如，点
是
联络点．
6
E
图
（1 ）
（2 ）
E
备用图
（3 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
以下各点中， 是
联络点（填出所有正确的序号）．
①
；②
；③
．
直接在图中画出所有
联络点所组成的区域，用阴影部分表示．
已知点
在轴上，以
为圆心，为半径画圆，⊙
上只有一个点为
联络点．
①若
，求点
的纵坐标；
②求的取值范围．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
②③
作图见解析．
①点
的纵坐标为
或．
②
．
②，③是
联络点．
所有
联络点所组成的区域为图中阴影部分（含边界）．
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（3 ）①∵点
在轴上，⊙
上只有一个点为
联络点，阴影部分关于轴对称，
∴⊙
与直线
相切于
，
或与直线
相切于
，如图所示．
又∵⊙
的半径
，
∴点
的坐标为
或
．
经检验：此时⊙
与直线
，
无交点，⊙
上只有一个点为
联络点，符合题
意．
∴点
的坐标为
或
．
∴点
的纵坐标为
或．
②阴影部分关于直线
对称，故不妨设点
位于阴影部分下方．
∵点
在轴上，⊙
上只有一个点为
联络点，
阴影部分关于轴对称，
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【标注】
∴⊙
与直线
相切于
，且⊙
与直线
相离．
作
于
，设
与
的交点为
，
∴
，
，
．
在
中，
，
，
，
∴
，
．
在
中，
，
，
，
∴
．
∴
．
又∵
，
∴
．
【知识点】与圆有关的新定义
