文档文本内容
1
和圆有关的尺规作图 题集【A】
1. 找圆心
1.
【解析】
【标注】
考古学家在考古过程中发现一个圆盘，但是因为历史悠久，已经有一部分缺失，如图所示，现希望
复原圆盘，需要先找到圆盘的圆心，才能继续完成后续修复工程，请利用直尺（无刻度）和圆规，
在图中找出圆心
，保留作图痕迹，不写作法．
【答案】画图见解析．
如图所示，点
即为所求．
【知识点】作线段的垂直平分线
【知识点】垂径定理以及应用
【能力】推理论证能力
【思想】转化与化归思想
2. 同学们平时会经常遇到圆，有时圆中并没有标出圆心，那该如何找出圆的圆心呢？
如图所示，现在圆上任取三点
、
、
，然后连接
、
，并用标有刻度的直尺找出
、
的中点
、
，再用三角板分别过
、
作
、
的垂线，两条垂线的交点
就是圆心，作图依据
是： ．
2
【解析】
【标注】
【答案】线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；不在同一条直线上的三个点确
定一个圆
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；不在同一条直线上的三个点确
定一个圆
【知识点】垂径定理以及应用
2. 作外接圆或内切圆
（1 ）
1. 下面是小明设计的“作等腰三角形外接圆”的尺规作图过程．
已知：如图，在
中，
．
求作：等腰
的外接圆．
作法：
①如图，作
的平分线交
于
．
②作线段
的垂直平分线
．
③
与
交于点
．
④以点
为圆心，以
为半径作圆．
所以，⊙
就是所求作的等腰
的外接圆．
根据小明设计的尺规作图过程，
图
图
使用直尺和圆规，补全图形（保留痕迹）．
3
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
完成下面的证明．
∵
，
，
∴ ．
∵
的垂直平分线
与
交于点
，
∴
，
（填写理由： ．）
∴
．
【答案】（1 ）
（2 ）
画图见解析．
垂直平分
或
，
; 线段垂直平分线上点到线段两端距离
相等
垂直平分
.（或
，
）．
（填写理由：线段垂直平分线上点到线段两端距离相等）
【知识点】作三角形的外接圆
【知识点】线段的垂直平分线的性质定理
【知识点】等腰三角形的性质-三线合一
【能力】分析和解决问题能力
【能力】推理论证能力
（1 ）
（2 ）
2. 如图，四边形
为菱形．
用直尺和圆规作出过菱形的顶点
、
、
的圆，记为⊙
．（要求保留作图痕迹，不必写出
作法）
连接
，当
时，求
的度数．
4
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
【答案】（1 ）
（2 ）
如图⊙
为所求：
．
如图⊙
为所求：
连接
，
，则
，
∵四边形
为菱形，
∴
，
，
在
和
中，
，
∴
≌
（
），
∵
，
∴
，
∴
．
【知识点】圆与全等
3. 如图，在
中，
，
，
．
5
（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
利用尺规作图作
的内切圆（保留作图痕迹，不写作法）．
试求这个内切圆的半径
的值．
【答案】（1 ）
（2 ）
如图所示：
．
如图所示：⊙
即为所求．
连接
，设
、
的角平分线分别交
、
于
、
，
∵
，
，
，
设
，则
，
在
中，
，
在
中，
，
∴
，解得
，
∴
，
6
【标注】
∴
，
又∵
，
，
，
，
∴
，解得
．
【知识点】三角形内切圆
3. 作垂直
1.
【解析】
【标注】
下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程：
已知：直线和外一点
，
求作：经过点
且垂直于的直线．
作法：如图，
（）在直线上任取点
，连接
；
（）作线段
的垂直平分线，垂足为点
；
（）以点
为圆心，
为直径作圆，交直线于点
；
（）作直线
．
所以直线
就是所求作的垂线．
请回答：该作图的依据是 ．
【答案】直径所对的圆周角是直角．
直径所对的圆周角是直角．
【知识点】圆周角定理以及应用
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2.
【解析】
【标注】
阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
尺规作图：作
，使其斜边
，一条直角边
．
已知：
①取
，作
的垂直平分线交
于点
；
②以点
为圆心，
长为半径画圆；
③以点
为圆心，长为半径画弧，与⊙
交于点
；
④连接
，
．
则
即为所求．
老师说：“小芸的作法正确．”
小芸的作法如下：
请回答：
是⊙
的 角（填：“圆心”或“圆周”）；小芸的作法中判断
是直角
的依据是 ．老师说：“小芸的作法正确．”
【答案】圆周 ; 直径所对的圆周角是直角
直径所对的圆周角是直角．
【知识点】圆周角定理以及应用
4. 作切线
1. 下面是小芸设计的“过圆外一点作已知圆的切线”的尺规作图过程．
已知：⊙
及⊙
外一点
．
求作：⊙
的一条切线，使这条切线经过点
．
作法：①连接
，作
的垂直平分线，
交
于点
．
②以
为圆心，
为半径作圆，
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（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
交⊙
于点
．
③作直线
，则直线
即为⊙
的切线．
根据小芸设计的尺规作图过程．
使用直尺和圆规，补全图形．（保留作图痕迹）
完成下面的证明：
证明：连接
，
由作图可知，
为
中点，
∴
为⊙
直径，
∴
，（ ）（填推理的依据）
即
，
又∵点
在⊙
上，
∴
是⊙
的切线．（ ）（填推理的依据）
【答案】（1 ）
（2 ）
画图见解析．
; 直径所对的圆周角是直角 ; 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆
的切线
使用直尺和圆规，补全图形，如图．（注：直线
和
画出一条即可）
，
（直径所对的圆周角是直角），
（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）．
【知识点】切线的判定定理
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2.
【解析】
【标注】
下面是“用三角板画圆的切线”的画图过程．
如图，已知圆上一点
，画过
点的圆的切线．
画法：
（）如图，将三角板的直角顶点放在圆上任一点
（与点
不重合）处，使其一直角边经过点
，另一条直角边与圆交于
点，连接
；
（）如图，将三角板的直角顶点与点
重合，使一条直角边经过点
，画出另一条直角边所在
的直线
．
所以直线
就是过点
的圆的切线．
请回答：该画图的依据是 ．
【答案】
的圆周角所对的弦是直径，经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
的圆周角所对的弦是直径，经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
【知识点】圆周角定理以及应用
【知识点】切线的判定定理
【知识点】过已知点作已知圆的切线
3. 阅读下面材料：
在数学课上，老师请同学思考如下问题：
已知：在
中，
．
求作：⊙
，使得点
在边
上，且⊙
与
，
都相切．
小轩的主要作法如下：
如图，（1）做
的平分线
，与
交于点
．
（2）以点
为圆心，
长为半径做⊙
，所以⊙
即为所求．
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【解析】
【标注】
老师说：“小轩的作法正确．”请回答：⊙
与
相切的依据是 ．
【答案】角平分线上的点到角两边的距离相等； 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆
的切线
角平分线上的点到角两边的距离相等；
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
【知识点】切线的判定定理
【知识点】过已知点作已知圆的切线
【知识点】角分线性质定理
5. 作圆内接多边形
（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
尺规作图：如图，
为⊙
的直径．
求作：⊙
的内接正方形
．（要求：不写作法，保留作图痕迹）；
当直径
时，求这个正方形的边长．
【答案】（1 ）
（2 ）
画图见解析．
．
如图所示：
∵直径
，
∴
．
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【标注】
∵正方形
为⊙
的内接正方形，
∴
，
∴
．
【知识点】圆内接四边形综合
6. 其他
1.
【解析】
【标注】
小明四等分弧
，他的作法如下：
（）连接
（如图）；
（）作
的垂直平分线
交弧
于点
，交
于点；
（）分别作
，
的垂直平分线
，
，交弧
于
，
两点，则
，
，
三点把弧
四等分．你认为小明的作法是否正确： ，理由是 ．
【答案】不正确 ; 弦
、
不相等，则
∵
，
与
不相等，
∴弦
、
不相等，则
．
【知识点】弧、弦、圆心角关系
2. 阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：
已知：如图，
是
的高
尺规作图：在
上求作点
，使
．
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【解析】
【标注】
小芸的作法如下：
如图，
（）分别以点
和点
为圆心，大于
的长为半径作弧，两弧相交于
、
两点；
（）作直线
交
于点
．
（）在直线
截取
．
（）以点
为圆心，
长为半径画圆交
于点
．
则点
即为所求．
请回答：小芸推出
的依据是 ．
【答案】圆弧所对圆周角是其所对圆心角的一半
圆弧所对圆周角是其所对圆心角的一半．
【知识点】弧、弦、圆心角关系
【知识点】作一个角等于已知角
3. 阅读下面材料：
在数学课上，老师提出利用尺规作图完成下面问题：
已知：
是
的一个内角，
求作：
．
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（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
小明的作法如下：
如图：
①作线段
的垂直平分线
；
②作线段
的垂直平分线，与直线
交
于点
；
③以点
为圆心，
为半径作
的
外接圆；
④在
上取一点
，连接
，
所以
．
老师说：“小明的作法正确”．
请回答：
点
为
外接圆圆心（即
）的依据是 ．
的依据是 ．
【答案】（1 ）
（2 ）
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
同弧或等弧所对的圆周角相等
∵
，
的垂直平分线
，交于点
∴根据线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等可知
．
由（）可知，⊙
为
外接圆，点
为
上的点，连接
，
，可知
所对的弧为
，
所对的弧为
,根据同弧或等弧所对的圆周角相等可知
．
【知识点】弧、弦、圆心角关系
4. 数学课上学习了圆周角的概念和性质：“顶点在圆上，两边与圆相交”，“同弧所对圆周角相
等”，小明在课后继续对圆外角和圆内角进行了研究．
下面是他的研究过程，请补充完整：
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图
A
图
（1 ）
（2 ）
（3 ）
图
（4 ）
（1 ）
【解析】
定义概念：
顶点在圆外，两边与圆相交的角叫做圆外角，顶点在圆内，两边与圆相交的角叫做圆内角．如图，
为
所对的一个圆外角．
请在图中画出
所对的一个圆内角．
提出猜想：
通过多次画圆、测量，获得了两个猜想：一条弧所对的圆外角 这条弧所对的圆周角．
一条弧所对的圆内角 这条弧所对的圆周角．（填“大于”、“等于”或“小于”）
推理证明：
利用图或图，在以上两个猜想中任选一个进行证明．
问题解决：
经过证明后，上述两个猜想都是正确的，继续探究发现，还可以解决下面的问题．
如图，
、
是
的边
上两点，在边
上找一点
使得
最大，请简述如何
确定点
的位置．（写出思路即可，不要求写出作法和画图）
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
（4 ）
画图见解析．
小于 ; 大于
证明见解析．
当过点
，
的圆与
相切时，切点即为所求的点
．
如图所示：
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（2 ）
（3 ）
（4 ）
【标注】
由题意得：一条弧所对的圆外角小于这条弧所对的圆周角．一条弧所对的圆内角大于这条
弧所对的圆周角．
如图，
与⊙
相交于点
， 连接
．
∵
，
∴
．
由题意得，当过点
，
的圆与
相切时，切点即为所求的点
．
【知识点】与圆有关的新定义
5.
【解析】
【标注】
阅读下面材料：
某学校数学兴趣小组在研究一道中考题时，遇到了下面的图形：
如图，
为正方形
外一点，
．
小浩说：“我发现
，以
为圆心，
长为半径作圆就可以证明”，请问他这样说的理
由是 ．
【答案】正方形的四个角都是直角；一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
正方形的四个角都是直角；一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
【知识点】圆周角定理以及应用
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