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圆【章节复习】压轴题-圆综合 题集C9
（1 ）
（2 ）
（3 ）
1.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，在⊙
中，
是弦，
是直径，
，
为垂足，点
在
的延长线上是且
，
，
．
求证：
是
的切线．
求⊙
的半径．
若点
在优弧
上，从点
开始逆时针运动点点
停止（点
与点
不重合），当
与
的面积相等时，求动点
所经过的弧长．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
．
或
或
．
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
即
，
∴
，
又
是⊙
的半径，
∴
是⊙
的切线
∵
，
，
，
∴在
中，
，
∴
，
2
（3 ）
【标注】
∴
，
在
中，
，
∴
，
∴⊙
的半径为
．
如图，①当
时，
与
的面积相等，
∴点
所经过的弧长
，
②当
，
即
时，
与
的面积相等，
∴点
所经过的弧长
，
③当
，
与
的面积相等，
∴点
所经过的弧长
．
综上所述，当
与
的面积相等，
动点
所经过的弧长为
或
或
．
【知识点】圆与三角函数
（1 ）
（2 ）
（3 ）
2. 如图，将线段
绕点
逆时针旋转
得
，连接
，作
的外接圆⊙
，点
为劣弧
上的一个动点，弦
、
相交于点
．
求
的大小．
当点
运动到何处时，
？并求出此时
的值．
在点
运动过程中，比较
与
的大小关系，并对结论给予证明．
3
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
．
．
∵
，
，
∴
是等边三角形，
∵
，
∴
．
当点
运动到
的中点时，
，
如图，连接
，
，
，设⊙
的半径为，则
，
图
又∵⊙
为等边
的外接圆，
∴
，
在
中，∵
，
∴
，
∴
．
如图，在
的延长线上取点
，使
，连接
，
图
∵
，
∴
，
∴
是等边三角形，
∴
，
4
【标注】
∵
，
，
∴
，
在
和
中，
，
，
，
∴
≌
，
∴
，即
．
【能力】推理论证能力
【能力】运算能力
【知识点】等边三角形的性质
【知识点】解直角三角形的综合应用
【知识点】全等三角形的对应边与角
【知识点】AAS
【知识点】相似三角形的性质与判定综合
【知识点】正多边形与圆
【知识点】圆周角定理以及应用
【知识点】弧、弦、圆心角关系
（1 ）
（2 ）
3.
（1 ）
【解析】
如图，
是⊙
的直径，
是⊙
的弦，
，垂足为
，
，
．
求⊙
的半径．
点
为圆上一点，
，将
沿
翻折，交
于点
，求图中阴影部分的面
积．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
连接
，如右图所示，
5
（2 ）
【标注】
图
∵
为⊙
的直径，
，
，
∴
，
∵
，
，垂足为
，
∴设⊙
的半径为
，则
，
∴
，
解得，
或
（舍去），
∴
，
即⊙
的半径是．
如图所示，将阴影部分沿
翻折，点
的对应点为
∵
，由对称性可知，
，
，
连接
，则
，
图
∴
，
过点
作
于点
，
∴
，
∴
，
即图中阴影部分的面积是：
．
【知识点】与圆有关的不规则图形的周长与面积计算
弓形
扇形
4. 如图，在⊙
中，弦
，
相交于点
，且
．
6
（1 ）
1
2
（2 ）
（1 ）
1
（2 ）
【解析】
求证：
．
若
，
，当
时，求：
弧
的长．
图中阴影部分面积．
【答案】（1 ）
1
2
（2 ）
证明见解析．
．
．
延长
交⊙
于点
，连接
，延长
交⊙
于点
，连接
，
图
∵
，
是⊙
的直径，
∴
．
在
与
中，
∵
，
∴
≌
，
∴
．
延长
交⊙
于点
，连接
，延长
交⊙
于点
，连接
，
，
，
，
阴影
7
2
图
∵
，
，
∴
．
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
过
作
于
，
于
，连接
，
图
则
，
，
∵
，
∴
，
，
∴四边形
是正方形，
∴
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
，
∴
，
在
与
中
，
∴
≌
，
∴
，
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【标注】
∴
，
∴
，
∴
．
【知识点】圆周角定理以及应用
阴影
扇形
（1 ）
（2 ）
（3 ）
5.
（1 ）
【解析】
如图，
是⊙
的直径，
是弦，直线
经过点
，
于点
，
．
求证：
是⊙
的切线．
求证：
．
若⊙
的半径为，
，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
证明见解析．
．
连接
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
为半径，
∴
是⊙
的切线．
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（2 ）
（3 ）
【标注】
连接
，
∵
为⊙
直径，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
．
∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
是等边三角形，
∴
，
，
∵在
中，
，
由勾股定理得：
，
∴阴影部分的面积是
．
【知识点】圆与相似
梯形
扇形
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