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1
圆【章节复习】压轴题-圆综合 题集C10
（1 ）
（2 ）
1.
（1 ）
（2 ）
【解析】
已知
内接于⊙
，过点
作直线
．
如图所示，若
为⊙
的直径，要使
成为⊙
的切线，还需要添加的一个条件是（要求
写出两种情况）： 或者 ．
如图所示，如果
是不过圆心
的弦，且
，那么
是⊙
的切线吗？试证
明你的判断．
【答案】（1 ）
（2 ）
;
是⊙
的切线，证明见解析．
，
．
理由如下：①∵
，
∴
．
∵
是直径，
∴
是⊙
的切线．
②∵
是直径，
∴
，
∴
．
∵
，
∴
，即
．
∵
是直径，
∴
是⊙
的切线．
是⊙
的切线．理由如下：
2
【标注】
作直径
，连接
，
则
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
为直径，
∴
是⊙
的切线．
【知识点】切线的判定定理
（1 ）
（2 ）
2.
（1 ）
【解析】
如图，在
中，
，点
在
上，以
为半径的⊙
交
于点
，
的垂直平分
线交
于点
，交
于点
，连接
．
求证：直线
是⊙
的切线．
若
，
，
，求线段
和
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
，
．
如图连接
，
∵
，
∴
，
∵
是
的垂直平分线，
∴
，
，
3
（2 ）
【标注】
∵
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴直线
是⊙
的切线．
∵
，
，
，
∴
，
连接
，设
的长为，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
．
【知识点】弧、弦、圆心角关系
3.
4
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，
是
的外接⊙
的直径，
是
的高，直径
交边
于点
，延长
交
⊙
于点
，连接
交边
于点
．
求证：
．
按边分类，试判断
的形状，并证明你的结论．
已知
，
，
，求
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
为等腰三角形，证明见解析．
．
连接
，
∵
是
的外接⊙
的直径，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
．
在
中，
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
5
（3 ）
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
为等腰三角形．
连接
，
∵
，
，
∴
，
∵
，
∵
，
∴
，
在
中，
，
∴
，
由（）得
，
∴
，
∴
，
，
∵
，
，
∴
，
∴
，即
，
∴
，
∴
，
连接
，
∵
为⊙
的直径，
∴
，
∴在
中，
，
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
6
【标注】
∴
，即
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，即
，
∴
．
【知识点】圆与相似
（1 ）
（2 ）
（3 ）
4.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，在
中，
，
平分
交
于点
，以点
为圆心，
长为半径
作⊙
交
于点
，
的延长线交
于点
，直线
交⊙
于
，
两点，作
于点
．
求证：
．
求证：
．
当
时，求证：
．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
证明见解析．
证明见解析．
∵
平分
，
，
，
∴
，
又∵
，
∴
．
∵
平分
，
∴
，
∵
，
7
（3 ）
∴
，
又∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
连接
、
，
∵
和
为⊙
的割线，
∴
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
，
∵
，
∴
，
即
，
8
【标注】
∴
．
【知识点】割线定理
（1 ）
（2 ）
（3 ）
5.
（1 ）
【解析】
在
中，边
上有一点
满足
，
是
的内心，
、
分别为⊙
与边
、
的切点，设
．
求证：
．
求证：
．
若
，⊙
的半径为，求
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
证明见解析．
．
连接
、
，
∵点
是
的内心，
∴
平分
，
∵
与⊙
相切，
∴
，
∵
，
∴
、
、
三点共线，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
与⊙
相切，
∴由切线长定理可知：
，
∴
，
∴
、
、
三点共圆，且圆心为
9
（2 ）
（3 ）
【标注】
∵
是
的直径，
∴
，
∴
．
是
的内心，
∴
平分
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
．
设
与
相交于点
，
由( )可知：
，
平分
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∵
，
∴由勾股定理可求得：
，
∵
，
∴
，
由垂径定理可知：
，
∵
，
∵
，
∴由勾股定理可求得：
．
【知识点】圆与勾股
