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1
圆【章节复习】圆压轴 题集C19
（1 ）
（2 ）
（3 ）
1.
（1 ）
【解析】
解答下列问题：
如图，在四边形
中，
，
，试证明：
．
B
A
D
C
如图，
是☉
的直径，点
、
在☉
上（且在
的两侧），
，若
，
，求
的长．
O
B
A
D
C
如图，
，
，若
，
，求
的
长．（用含
，的代数式表示）
A
B
D
C
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
．
．
将
绕点
，逆时针旋转
到
处，
点
，
分别落在点
，
处（如图），
2
（2 ）
（3 ）
B
A
D
C
E
则
≌
，
∵
，
，
∴
，
∴点
，
，
在同一条直线上，
∵
，
，
∴
是等腰直角三角形，
∴
，
∴
．
如图，连接
，
O
B
A
D
C
∵
是⊙
的直径，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
，
∴由勾股定理得：
，
由（）可知：
，
，
∴
．
以
为直径作⊙
，连接
并延长交⊙
于点
，
连接
、
、
、
，如图，
3
【标注】
A
B
D
C
O
D1
由（）得：
，
∴
，
∵
是⊙
的直径，
∴
，
，
，
∴由勾股定理可求得：
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
．
【知识点】圆与全等
（1 ）
（2 ）
2. 已知
内接于⊙
．
如图①，
是⊙
的直径，
，求
的度数．
图
如图②，连接
并延长交
于点
，且
，连接
并延长交
于点
，且
，求
的度数．
4
（3 ）
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
图
如图③，
于点
，
于点
，
，
相交于点
，若
，
，求⊙
的直径（直接写出结果即可）．
图
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
．
．
∵
是⊙
直径，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
．
∵
，
过圆心，
∴
平分
，
∴
为
垂直平分，
∴
，
同理可证
，
∴
，
∴
为等边三角形，
∴
．
⊙
直径为
．
作直径
连接
，
，作
于
，
∵
为直径，
5
【标注】
∴
，
又∵
，
∴
，
，
∴
，
，
∴四边形
为平行四边形，
∴
．
∵
，
，
，
∴
，
∴圆的直径为
．
【知识点】圆与勾股
（1 ）
（2 ）
（3 ）
3. 定义：如果一个四边形的两条对角线相等且相互垂直，则称这个四边形为“等垂四边形”．
如图，四边形
中，若
，
，则称四边形
为“等垂四边形．根据等
垂四边形对角线互相垂直的特征可得等垂四边形的一个重要性质：等垂四边形的面积等于两条对角
线乘积的一半．根据以上信息解答下列问题：
图
矩形 “等垂四边形”(填“是”或“不是”)．
如图，已知
的内接四边形
是等垂四边形，若
的半径为，
，求
四边形
的面积．
图
如图，已知
的内接四边形
是等垂四边形，作
于
．请猜想
与
的数量关系，并证明你的结论．
6
（1 ）
图
（2 ）
图
（3 ）
【解析】
图
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
不是
．
．
矩形的对角线相等，不一定垂直，所以矩形不一定是等垂四边形．
故答案为：不是．
连接
，
，过
作
于
．
在
中，
，
，
∴
，
∴
，
∵四边形
是等垂四边形，
∴
，
∴
．
连接
，
，
，
，过
作
于
，
显然
，
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
在
中与
中，
，
∴
≌
，
∴
，
∵
，
∴
．
四边形
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【标注】【知识点】圆周角定理以及应用
【知识点】弧、弦、圆心角关系
【知识点】垂径定理以及应用
【知识点】矩形的性质
【知识点】AAS
【知识点】全等三角形的对应边与角
【知识点】角的和差的计算与证明-不需要分类讨论
