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圆【章节复习】压轴题-新定义等角点 题集C30
（1 ）
（2 ）
（3 ）
1.
（1 ）
（2 ）
【解析】
顺次连接平面直角坐标系
中，任意的三个点
，
，
．如果
，那么称
为
“黄金角”．
已知：点
，
，
，
．
在
，
，
，
四个点中能够围成“黄金角”的点是 ．
当
时，直线
（
）与以
为直径的圆交于点
（点
与点
，
不
重合），当
是“黄金角”时，求的取值范围．
当
时，以
为直径的圆与
的任一边交于点
，当
是“黄金角”时，求
的取值范围．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
、
、
．
．
在
，
，
，
四个点中能够围成“黄金角”的点是
，
，
．
当直线
（
）与以
为直径的圆相切时，存在唯一的点
，此时
．
取
中点
，连接
，
．
∵
，
，
∴
．
∴
．
∴
．
2
（3 ）
【标注】
∴
．
∵
轴，且
上的点到轴的距离为，
∴当
时，以
为直径的圆与
有唯一的交点
，且
．
当以
为直径的圆经过点
时，
，求得此时
．
∴
．
【知识点】与函数有关的新定义
1
2
（1 ）
1
2
（2 ）
2. 在平面直角坐标系
中，给出如下定义：
对于⊙
及⊙
外一点
，
、
是⊙
上任意两点，当
最大时，称这个角为点
关于⊙
的“视角”．
直线与⊙
相离，点
在直线上运动，当点
关于⊙
的“视角”最大时，称这个最大的“视角”
为直线关于⊙
的“视角”．
如图，⊙
的半径为，
已知点
，直接写出点
关于⊙
的“视角”．已知直线
，直接写出直线
关于⊙
的“视角”．
若点
关于⊙
的“视角”为
，直接写出一个符合条件的
点的坐标．
⊙
的半径为，
备用图
点
的坐标为
，直线
经过点
，若直线关
于⊙
的“视角”为
，求的值．
3
1
2
（1 ）
1
（2 ）
【解析】
圆心
在轴正半轴上运动，若直线
关于⊙
的“视角”大于
，直
接写出圆心
的横坐标
的取值范围．
【答案】
1
2
（1 ）
1
2
（2 ）
，
．
本题答案不唯一，如：
．
．
∵
，⊙
的半径为，
∴四边形
是正方形，
∴
，
设直线
与轴的交点为
，
过
作⊙
切线，切点分别为
，
，
在
中，
∵
，
∴
，
同理
，
∴
，
∴直线
关于⊙
“视角”为
．
∵
关于⊙
“视角”为
，
∴
，答案不唯一．
∵直线：
（
）经过点
，
∴
．
∴
．
∴直线
．
对于⊙
外的点
，点
关于⊙
的“视角”为
，
则点
在以
为圆心，半径为的圆上．
4
2
又直线关于⊙
的“视角”为
，
此时，点
是直线上与圆心
的距离最短的点．
∴
直线．
则直线是以
为圆心，半径为的圆的一条切线，如图所示．
作
轴于点
，
∴点
的坐标为
．
∴
．
∴
，
，可求得点
的坐标
．
进而求得
．
当⊙
与直线
相切，设切点为
，连接
，
，
∵直线
与轴交点
，与轴交点
，
–1
–1
–1
1
2
y
O
x
∴
，
∴
，
∵
，
在
中，
，
∴
，
∴
，
设直线
关于⊙
的“视角”为
，
作
于
，
，
是⊙
的切线，
5
【标注】
，
，
x
–1
1
2
y
–1
1
2
O
在
中，
，
∴
，
∴
．
【知识点】与圆有关的新定义
x
–1
1
2
3
4
5
6
7
8
y
–3
–2
–1
1
2
3
4
5
6
7
O
1
2
（1 ）
（2 ）
3. 如图，在平面直角坐标系
中，点
与点
的坐标分别是
，
．
对于坐标平面内的一点
，给出如下定义：如果
，则称点
为线段
的“等角
点”．显然，线段
的“等角点”有无数个，且
、
、
三点共圆．
设
、
、
三点所在圆的圆心为
，直接写出点
的坐标和⊙
的半径．
轴正半轴上是否有线段
的“等角点”?如果有，求出“等角点”的坐标；如果没
有，请说明理由．
当点
在轴正半轴上运动时，
是否有最大值？如果有，说明此时
最大的理
由，并求出点
的坐标；如果没有，也请说明理由．
6
1
x
–1
1
2
3
4
5
6
7
8
y
–3
–2
–1
1
2
3
4
5
6
7
O
2
（1 ）
x
–1
1
2
3
4
5
6
7
8
y
–2
–1
1
2
3
4
5
6
7
O
（2 ）
【解析】
【答案】
1
2
（1 ）
（2 ）
圆心
的坐标为
和
；半径为
．
，
．
．
圆心
的坐标为
和
；半径为
．
轴的正半轴上存在线段
的“等角点”
如图所示：当圆心为
时，过点
作
轴
于
，
则
，
．
∵⊙
的半径
，
∴⊙
与轴相交，
设交点为
、
，此时
、
在轴的正半轴上，
连接
、
、
，则
．
∵
轴，
，
．
∴
，
∴
，
．
当过点
，
的圆与轴正半轴相切于点
时，
最大．
理由如下：如果点
在轴的正半轴上，设此时圆心为
，则
在第一象限在轴的正半轴上任取一点
（不与点
重合），
连接
，
，
，
，设
交于⊙
于点
，
连接
，
∵点
，点
在⊙
上，
∴
，
∵
是
的外角，
∴
，即
．
此时，过点
作
轴于
，则
，
，
连接
，
，
∵⊙
与轴相切于点
，则
轴，
∴四边形
是矩形，
，
．
∴⊙
的半径为，即
，
∴在
中，
，
7
x
–1
1
2
3
4
5
6
7
8
y
–2
–1
1
2
3
4
5
6
7
O
【标注】
∴
即
．
【知识点】圆与勾股
