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1
圆【章节复习】压轴题-辅助圆 题集C7
（1 ）
（2 ）
（3 ）
1.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，已知在平面直角坐标系
中，点
、
分别在轴、轴的正半轴上，
，等腰
直角
的直角顶点
在原点，点
、
分别在线段
、
上，且点
为线段
的中点，将
绕点
逆时针旋转（
）得到等腰直角
，连结
、
，在旋转
过程中：
求证：
．
是否存在
的面积与
的面积相等？若存在，请求出对应的度数；若不存在，
请说明理由．
连接
、
，求
的度数．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
或
．
．
由旋转的性质可得：
≌
，
∴
，
，
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
．
如图，由（）得
≌
，
≌
，
∴
，
，
假设
的面积等于
的面积，
2
（3 ）
【标注】
∴
，
当
，
∴
，
在等要直角三角形
中，
，
∴
，
∵
，
∴
，
由（）得
，
∴点
，
，
，
均在以
为圆心，
长为半径的圆
上，
∵
，
为⊙
的切线，切点为
，
∵过圆外
点与⊙
相切的直线有且只有条，
当切点
在第一象限时，在直角
中，
为斜边
的中点，连接
，
，
∴
，
∴
为等边三角形，
∴
，
，
如图，当切点
在第二象限时，同理，
在
中，
为斜边
的中点，连接
，
，
∴
，
∴
为等边三角形，
∴
，
，
∴
的面积等于
的面积时，
或
．
由（）得点
，
，
，
均在以
为圆心，
长为半径的圆
上，
当
时，
在⊙
中圆周角
对着劣弧
，
∴
．
【知识点】圆与全等
3
（1 ）
1
2
（2 ）
2.
（1 ）
【解析】
如图，将矩形纸片
沿直线
折叠，顶点
恰好与
边上的动点
重合（点
不与点
，
重合），折痕为
，点
，
分别在边
，
上，连接
，
，
，
与
相交于
点
．
求证：
．
解决下列问题．
在图中，作出经过
，
，
三点的⊙
（要求保留作图痕迹，不写作法）．
设
，随着点
在
上的运动，若①中的⊙
恰好与
，
同时相切，求此
时
的长．
【答案】（1 ）
1
2
（2 ）
证明见解析．
画图见解析．
．
∵将矩形纸片
沿直线
折叠，顶点
恰好与
边上的动点
重合，
∴
垂直平分线段
，
∴
．
∵四边形
为矩形，
∴
．
∵
，
∴
．
4
1
2
（2 ）
【标注】
在图中，作
、
的垂直平分线，
交于点
，以
为半径作圆即可．
如图所示．
设⊙
与
的交点为
，连接
、
，如图所示．
∵
为直角三角形，
∴
为⊙
的直径，
∵
与⊙
相切，
∴
．
∵
，
∴
为等腰直角三角形．
∵
，
，
∴
．
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
，
．
设
，则
，
，
．
∵
，
∴
，
解得：
，
∴
．
【知识点】圆与全等
3. 在平面直角坐标系中，
为原点，点
，点
，把
绕点
逆时针旋转，得
，点
，
旋转后的对应点为
，
．记旋转角为．
5
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，若
，求
的长．
x
y
O
图
如图，若
，求点
的坐标．
x
y
O 图
记
为
的中点，为
的面积，求的取值范围（直接写出结果即可）．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
．
．
∵点
，点
，
∴
，
，
在
中，由勾股定理得，
，
根据题意，
是
绕点
逆时针旋转
得到的．
由旋转的性质，可得
，
．
∴在
中，
．
如图，根据题意，
由旋转的性质，可得
，
．
过点
作
轴，
垂足为
，则
．
在
中，由
，得
．
∴
，
．
6
x
y
O
x
y
O
（3 ）
【标注】
∴
，
．
∴
．
∴点
的坐标为
．
相对运动：当两个动点（或者动图）或者一个动点（动图）一个定点，他们两点之间没有
关联时，可以假设期中一个静止，另一个运动可以更好的解决问题，此题原先是
动，
不动，因为之间没有关联，可以假设
不动，点
动，
可知
的运动轨迹为：以
为圆心，
为半径的圆，
由题意知，当运动到
时，
的面积最小．
当运动到
时，
的面积最大．
∵点
，点
．
∴
，
，
∴
．
∵
为
的中点，
∴
．
当运动到
时，
，
，
∴
．
∴
．
当运动到
时，
．
∴
．
综上，的取值范围是
．
【知识点】与圆有关的动点、轨迹问题
4. 回答下列问题．
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（1 ）
1
2
（2 ）
（1 ）
1
2
（2 ）
【解析】
提出问题：
是
的角平分线，求证：
．
应用：
、
、
、
在同一直线上顺次的点，点
是直线外一动点．
若
，
，
是
的角平分线，延长
至
，使
，求
的长．
拓展：若
，
，
平分
，当
最大时，直接写出
的
长．
【答案】（1 ）
1
2
（2 ）
证明见解析．
．
．
作
于
，
于
．
∵
平分
，
∴
，
∴
．
作
交
延长线于
．
∴
．
∵
平分
，同上一问可得
．
设
，则
．
∵
，
，
∴
．
∵
，
，
∴
．
∴
．
∴
，
．
∴
．
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
．
作
的外角平分线交
的延长线于
，
根据第一问的结论可知
，
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【标注】
∴
．
∴
，取
中点为
，半径为
，
∴
在以
为直径的⊙
上，
当
与⊙
相切时，
最大，
∴
，
∴
．
【知识点】圆与相似
