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1
圆【章节复习】压轴题-新定义距离类 题集C31
图
1
2
（1 ）
图
（2 ）
（3 ）
1. 我们规定：平面内点
到图形
上各个点的距离的最小值称为该点到这个图形的最小距离，点
到
图形
上各个点的距离的最大值称为该点到这个图形的最大距离
，定义点
到图形
的距离跨度为
．
回答下列问题：
如图，在平面直角坐标系
中，图形
为以
为圆心，为半径的圆，直接写出以
下各点到图形
的距离跨度：
的距离跨度 ；
的距离跨度 ；
的距离
跨度 ．
根据①中的结果，猜想到图形
的距离跨度为的所有的点组成的图形的形状
是 ．
如图，在平面直角坐标系
中，图形
为以
为圆心，为半径的圆，直线
上存在到
的距离跨度为的点，求的取值范围．
如图，在平面直角坐标系
中，射线
：
（
），圆
是以为半径的圆，
且圆心
在轴上运动，若射线
上存在点到圆
的距离跨度为，直接写出圆心
的横坐标
的取值范围 ．
2
图
图
方法一：
图1
方法二：
1
（1 ）
【解析】
【答案】
1
2
（1 ）
（2 ）
（3 ）
; ;
圆
．
的跨度距离
，
∵
，
∴
，
∴
的跨度距离
．
∴
的跨度距离
．
如图，
∵图形
为以
为圆
心，为半径的圆，
∴直径为，
∵
，
，
∴点
到⊙
的最小
距离
，
点
到⊙
的最大距离
，
∴点
到图形
的距离跨度
；
∵
，∴
，
3
方法一：
方法二：
2
图
（2 ）
方法一：
（3 ）
∴点
到⊙
的最小距离
，
点
到⊙
的最大距离
，
∴点
到图形
的距离跨度
；
∵
，
∴
，
∴点
到⊙
的最小距离
，
点
到⊙
的最大距离
,
∴点
到图形
的距离跨度
；
由①可知点与圆心
的距离为时，跨度距离都为，所以满足跨度距离为的
所有的点组成一个圆．
设⊙
外一点
的坐标为
，
∴
，
∴点
到⊙
的最小距离
，点
到⊙
的最大距离
，
∴点
到图形
的距离跨度
；
∵图形
的距离跨度为，
∴此种情况不存在，
所以，到图形
的距离跨度为的所有的点组成的图形的形状是以点
为圆心，为半
径的圆．
故答案为：圆．
∵
，
∴直线是过
可以旋转的直线，
又∵直线上存在到
跨度距离为的点，
∴直线与以
为圆心，为半径的圆有交点，
又∵极限情况为、与圆相切，
∴
，
∴
，
∴
，
，
∴
．
由图可知，
以为半径的圆
距离跨度为的点在以
为圆心半径为的圆上，
∴与射线
的跨度距离为，
即以
为圆心半径为的圆与射线
有交点，
4
图
方法二：
【标注】
∵
：
，
∴
，
∴有交点即两种极限情况如图所示，
∴相切时
，
∴
．
同（）的方法得出，射线
上存在点
到圆
的
距离跨度为时，点
在圆内，到图形
的距离跨度为的
所有的点组成的图形的形状是以点
为圆心，为半径的圆
∴
．
【知识点】与距离有关的新定义
（1 ）
（2 ）
（3 ）
2.
（1 ）
【解析】
点
的“ 值”定义如下：若点
为圆上任意一点．线段
长度的最大值与最小值之差即为点
的“
值”，记为
特别的，当点
、
重合时，线段
的长度为．当⊙
的半径为时．
x
–5 –4 –3 –2 –1
1 2
3 4
5 6
y
–5
–4
–3
–2
–1
1
2
3
4
5
O
x
–5 –4 –3 –2 –1
1 2
3 4
5 6
y
–5
–4
–3
–2
–1
1
2
3
4
5
O
备用图
若点
，
，则
，
．
若在直线
上存在点
，使得
，求出点
的横坐标．
直线
与轴，轴分别交于点
、
，若线段
上存在点
，使得
，请你直接写出的取值范围．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
;
或
．
．
根据题意可得圆内的点的值
这个点到圆心距离的倍，圆上或圆外的点的值
圆的直径，所以
，
；
5
x
–5 –4 –3 –2 –1
1 2
3 4
5 6
y
–5
–4
–3
–2
–1
1
2
3
4
5
O
（2 ）
x
–5 –4 –3 –2 –1
1 2
3 4
5 6
y
–4
–3
–2
–1
1
2
3
4
5
O
（3 ）
【标注】
故答案为, ．
根据题意，满足
的点位于以点
为圆心，半径为的圆周上．
∵点
在直线
上，
∴设
∵
，
∴
，即
．
解得：
，
．
∴
或
．
根据题意，满足
的点位于以点
为圆心，外径为
，内径为的圆环内，
当线段与外环相切时，解得
．
当线段与内环相切时，解得
，
所以满足条件的的值
．
【知识点】一次函数与圆的综合问题
（1 ）
（2 ）
（3 ）
3. 在平面直角坐标系
中，
、
分别是图形
和图形
上两点．若
两点间有最大值，则称为
图形
，
的“最远距离”，记作
．
已知
，
，
半径为，求
．
⊙
半径为，点
是直线
上一动点，若
，求
点横坐标
的取
值范围．
已知点
在轴上，⊙
的半径为，
，
，
，若
，
直接写出
点横坐标的取值范围．
6
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【标注】
备用图
备用图
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
．
或
．
由已知
．
由已知，若
，则
．
设直线
于轴交于点
，与轴交于点
．则
，
，
∴
，
∴
，
可知在直线
上存在两点
、
满足
，则
为等边三角形．
∴
，
结合图形可知，
．
当⊙
在
的左侧时，
，即点
到圆心
的距离应大于，
即
．
当点
在
右侧时，
，即点
到圆心
的距离应大于，
即
，
综上所述，
点横坐标的取值范围是
或
．
【知识点】圆与平面直角坐标系
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