文档文本内容
1
圆幂定理 题集【B】
1. 相交弦定理
1.
【标注】
如图，
内接于
，且
，直径
交
于点
，
是
的中点，如果
，
，则线段
的长为 ．
【答案】
【知识点】圆与勾股
（1 ）
（2 ）
（3 ）
2.
（1 ）
【解析】
如图，
是⊙
的直径，弦
，且
，
，点
是⊙
上一动点，连接
、
、
、
．
求直径
的长．
若
是
上任意一动点，请找出图中和
相等的角（不在原图中添加线段和字母），并说
明理由．
当
和
相似时，求此时
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
，证明见解析．
的长度为
或
．
∵弦
与
在圆内交于点
，
2
（2 ）
（3 ）
【标注】
∴
，
即
，
∴
．
连接
．
∵
垂直平分
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
当
与
相似时，
则
或
．
①
时，
则
，
，
∴
．
②
时，
则
，
，
∴
．
综上，
的长度为
或
．
【知识点】圆与相似
（1 ）
（2 ）
3. 如图，已知⊙
与⊙
相交于
两点，
是⊙
的直径，过
点作⊙
的切线交⊙
于点
，
并与
的延长线交于点
，
分别与⊙
、⊙
交于
两点．
求证下列结论．
．
．
3
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
证明见解析．
∵
是⊙
的切线
∴
∴
∵
、
是⊙
的割线
∴
∴
∴
∴
．
连接
、
，设
与
交于点
，
由⑴得
∴
∴
．
∵
是⊙
的直径
∴
∴
∵
是⊙
的直径
∴
∴
是
的垂直平分线
∴
．
【知识点】切割线定理
4. 正
中与
平行的中位线和
的外接圆弧
交于
，
和
交于
，求
．
4
【解析】
【标注】
【答案】
．
如图，设、分别为
、
中点，
两端延长，交圆于
，易见
．
设
，
，
则由相交弦定理有
，
解得
．
由
，知
于是
．
【能力】推理论证能力
【能力】运算能力
【知识点】弧、弦、圆心角关系
【知识点】相交弦定理
5. 已知
点为
和
公共弦
上的一个点，过
的一条直线交
和
分别于
，
，
，
．证明：
．
5
方法一：
方法二：
【解析】
【标注】
【答案】证明见解析．
由相交弦定理：
．
所以
．所以
．
连接
、
、
、
，
易证
，
∴
，即
，
同理可证：
，
故
，
∴
，
∴
，
∴
，
即
．
【知识点】相交弦定理
【能力】推理论证能力
2. 割线定理
1. 已知：
是⊙
的直径，
是
上一点，
，交⊙
于
，
是割线，交⊙
于
、
．求证：
．
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【解析】
【标注】
【答案】证明见解析．
延长
交⊙
于
，
由割线定理，得
．
由相交弦定理，得
．
∵直径
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
即
．
【知识点】割线定理
（1 ）
2. 填空：
如图，
是
的外接圆，
，
，则弦
的长为 ．
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（2 ）
（3 ）
（4 ）
如图，宽为
的刻度尺在圆上移动，当刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆两个交点处
的读数恰好为“ ”和“ ”(单位：
)，则该圆的半径为
.
如图，
是半圆
的直径，
，
为半圆的切线，切点为
，且
．
则
的长为 ．
如图，
是半圆
的直径，
于点
，
．已知点
在
的延长线上，
与半圆交于
，且
，
，则
的长为 ．
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（1 ）
（2 ）
（3 ）
（4 ）
【解析】
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
（4 ）
如图，设
与
交于点
．
∵
，
，∴
，
又∵
，∴
，∴
，∴
，
∴在直角
中，
，
∴
．
略
略
连结
，∵
是
的直径，
∴
，
∵
，由射影定理得
，∴
，
在
中，
，
∴
，由割线定理得
，
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【标注】
∴
．
【知识点】割线定理
（1 ）
（2 ）
（3 ）
3.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，
中，
，以
为直径作⊙
，交
于点
，交
的延长线于点
，连接
、
．
求证：
是
的中点．
若
，
，求⊙
的半径．
在（）的条件下，求弦
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
．
∵
是圆
的直径，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
是
的中点．
∵
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
在
中，
，
∴⊙
的半径为
．
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（3 ）
【标注】
∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
．
【知识点】割线定理
（1 ）
（2 ）
4.
（1 ）
【解析】
与
相交于
、
两点，过点
作
的切线交
于
，直线
交
于
，直线
交
于
．求证：
是等腰三角形．
．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
证明见解析．
延长
到
，
∵
是
的切线，∴
，
∵
是
的内接四边形，∴
，
∵
，∴
，
∴
是等腰三角形．
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（2 ）
【标注】
由圆幂定理可知
，
，
又∵
，
，
∴
．
【能力】推理论证能力
【知识点】圆内接四边形的性质定理
【知识点】切线的性质定理
【知识点】相交弦定理
【知识点】割线定理
5.
【解析】
如图，已知
的弦
，
相交于点
，
，
，
，
切
于点
，
与
的延长线交于点
，
，求
的长．
【答案】．
∵弦
，
交于点
，∴由相交弦定理得
，
∵
，
，
，
∴
∵
为⊙
切线，由切割线定理得：
．
∵
，∴
，
（舍去），
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【标注】
∴
．
【知识点】切割线定理
3. 切割线定理
1.
【解析】
【标注】
如图，
切
于
，
，
为
的一条割线，连接
、
，求证：
．
【答案】证明见解析．
由题知
，
故
，
故
．
【知识点】圆与相似
2.
方法一：
【解析】
如图，
切
于
点，割线
交
于
、
两点，
为
中点，
的延长线交
于
，
且
．
求证：
．
【答案】证明见解析．
根据
得到
∽
，得
，所以
，因此
．
根据
得到
∽
，
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方法二：
【标注】
得
，所以
，
又∵
，
∴
，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
．
【知识点】圆与相似
（1 ）
（2 ）
3.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，
内接于
，
的延长线与过点
的切线相交于点
，
与
相交于点
，且
．
求证：
．
．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
证明见解析．
连
，易证
，因
，所以
，平行得证．
易得
，得到
，即
，
所以
，
根据相交弦定理得到
，
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【标注】
所以
．
【知识点】相交弦定理
4.
【解析】
【标注】
如图，
、
是
的两条切线，
是一条割线，
是
与
的交点，若
，
，求
的长．
【答案】
连接
交
于
，
设
，则
，
在
中，
，即
①，
在
中，
②，
又
，
而
，
③，
由①②③得
，解得
．
【知识点】相交弦定理
5. 如图，
，
分别是⊙
的切线和割线，且
，
，
，则切线
的长是 ．
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【解析】
【标注】
【答案】
过点
作
与点
．
为圆
的切线，
（弦切角等于所夹弧所对的圆周角），
，
，
，
，
设
，则
，在直角
中，
，
由切割线定理得：
，
，
解得：
，
（舍去），
故
．
故答案是：．
【知识点】切割线定理
