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垂直于弦的直径 题集
1. 圆的对称性
【解析】
【标注】
圆是 对称图形，它的对称轴是 ；圆又是 对称图形，它的对称中心是 ．
【答案】轴 ; 过圆心的直线 ; 中心 ; 圆心
圆是轴对称图形，它的对称轴是过圆心的直线；圆又是中心对称图形，它的对称中心是
圆心．
【知识点】圆中对称性
【能力】推理论证能力
2. 垂径定理
A. 平分弦的直线垂直于弦
B. 平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧
C. 弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧
D. 平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦
1.
【解析】
【标注】
下列判断中正确的是（ ）．
【答案】C
A、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故本选项错误；
B、平分弦的直径也必平分弦所对的两条弧，故本选项错误；
C、弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧，符合垂径定理，故本选项正确；
D、平分弧的直径必平分这条弧所对的弦，故本选项错误.
故选：.
【知识点】垂径定理的推论以及应用
A.
B.
C.
D.
2. 下列说法正确的是（ ）．
平分弦的直径垂直于弦
圆是轴对称图形，任何一条直径都是圆的对称轴
相等的弧所对的弦相等
长度相等的弧是等弧
2
【解析】
【标注】
【答案】C
此时弦不能为直径，直径所在的直线，
所对圆心角不一定相等．
【知识点】弧、弦、圆心角关系
3.
【解析】
【标注】
如图，
、
是⊙
的弦，
，
，垂足分别为
、
．如果
，那么
．
【答案】
∵
、
是⊙
的弦，
，
，
∴
为
中点，
为
中点，
∴
为
的中位线，
∴
．
【知识点】中位线定理及其应用
4.
【解析】
如图，在
中，
弦
于点
，
，
，则
的长是 ．
【答案】
∵
弦
于点
，
∴
，
在
中，
，
，
∴
．
故答案为：
．
3
【标注】【知识点】垂径定理以及应用
【能力】推理论证能力
A.
B.
C.
D.
5.
【解析】
【标注】
如图，
的半径为，
为弦，半径
，垂足为点
，若
，则
的长是（ ）．
【答案】C
连接
，
，
，
，
，
．
故选．
【能力】运算能力
【知识点】垂径定理以及应用
A.
B.
C.
D.
6. 如图，在⊙
中，弦
的长为
圆心
到
的距离为，则⊙
的半径为（ ）．
4
【解析】
【标注】
【答案】C
∵弦
的长为
圆心为
到
的距离为，
∴
，
，
∴
，
故选．
【能力】运算能力
【能力】推理论证能力
【知识点】垂径定理以及应用
A.
B.
C.
D.
7.
【解析】
【标注】
在半径为
的⊙
中，弦
的长为
，则点
到
的距离为（ ）．
【答案】B
过点
作
于点
，
∵
，
∴
，
∴
．
【知识点】垂径定理以及应用
8. 如图，⊙
的半径为，将⊙
的一部分沿着弦
翻折，劣弧恰好经过圆心
，则折痕
的长为（
）．
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A.
B.
C.
D.
【解析】
【标注】
【答案】D
过点
作
于点
，连接
，
∵将圆翻折后恰好经过圆心
，
∴
，
，
∴
，
∴
．
【知识点】垂径定理以及应用
9.
【解析】
“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知
大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何”此问题的实质就是解决下面的问题：“如图，
为⊙
的直径，弦
⊥
于点
，
，
，求
的长”．根据题意可得
的
长为 ．
【答案】
连结
，设
的半径为
，
∵
为
的直径，弦
于点
，
∴
．
∵
，
，
∴
，
．
在
中，有
，
即
，
解得
，
∴
．
6
【标注】【知识点】垂径定理以及应用
【能力】运算能力
A.
米
B.
米
C.
米
D.
米
10.
【解析】
【标注】
一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分面宽
米，最深处水深
米，则
此输水管道的直径是（ ）．
【答案】D
设半径为，则半径，弦心距，弦得一半组成的直角三角形，
，解得
，
∴直径为．
【知识点】垂径定理的推论以及应用
A.
B.
C.
D.
11. 如图，
为⊙
的弦，半径
于点
．若
，
，则⊙
的半径长为（ ）．
【答案】D
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【解析】
【标注】
连接
，
设⊙
半径为，则
，
，
利用
，解勾股定理可得
，
解得
．
【知识点】垂径定理以及应用
12.
【解析】
【标注】
已知
的半径是，点
到圆心
的距离为，求过点
的所有弦中最短弦的长度．
【答案】．
连结
，过
点作
的垂线交
于
、
两点，则弦
即为所求．
连结
，由垂径定理得
．
在
中，
，
，
，
，
．
【能力】运算能力
【知识点】垂径定理以及应用
13. 如图，矩形
与圆心在
上的
交于点
、
、
、
，
，
，
，则
．
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方法一：
方法二：
【解析】
【标注】
【答案】
作
，交
于点
，
，交
于点
，则四边形
，
，
，
都是矩形，
∵矩形
是轴对称图形，对称轴是
，
且
是直径，
∴
，
∴
与
是对称线段，有
，
则垂径定理知，
点
是
的中点，
有
，
∴
，
，
∴
，
∴
.
过
点作
于
．
由题意得：
，
则
，
∵
，∴
，
∴
．
【能力】推理论证能力
【知识点】垂径定理以及应用
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