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圆的对称性与垂径定理 题集【B】
1. 圆的对称性
A.
B.
C.
D.
1.
【解析】
【标注】
如图，在
中，
是
的直径，
，
，
是
上一动点，
的最小值是（ ）．
【答案】B
如图，作点
关于
的对称点
，连接
与
相交于点
．
此时，点
为
的最小值时的位置，由垂径定理，
，
∴
，
∵
，
为直径，
∴
为直径，
∴
的最小值是
．
故选．
【知识点】两点之间线段最短
【知识点】两点间距离的定义
【知识点】圆中对称性
【思想】转化与化归思想
【能力】推理论证能力
2
2.
【解析】
在数学活动课上，王老师发给每位同学一张半径为个单位长度的圆形纸板，要求同学们：①从带刻
度的三角板、量角器和圆规三种作图工具中任意选取作图工具，把圆形纸板分成面积相等的四部
分．②设计的整个图案是某种对称图形．王老师给出了方案一，请你用所学的知识再设计两种方
案，并完成下面的设计报告．
名 称
四等分圆的面积
方 案
方案一
方案二
方案三
选用的工
具
带刻度的三角板
画出示意
图
简述设计
方案
作⊙
两条互相垂直的直径
、
，将⊙
的面积
分成相等的四份．
指出对称
性
既是轴对称图形又是中心对称图形
【答案】答案见解析．
名称
四等分圆的面积
方案
方案一
方案二
方案三
选用的
工具
带刻度的三角板
带刻度三角板、量角
器、圆规．
带刻度三角板、圆规．
画出示
意图
简述设
计方案
作⊙两条互相垂直的直
径、，将⊙的面积分成
相等的四份．
（）以点
为圆
心，以个单位长度
为半径作圆；
（）作⊙
的一条直径
；
（）分别以
、
的中点为
圆心，以个单位长度为半径作
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【标注】
（）在大⊙
上依
次取三等分点
、
、
；
（）连接
、
、
．
则小圆
与三等份圆
环把⊙
的面积四等
分．
⊙
、⊙
；
则⊙
、⊙
和⊙
中剩余的
两部分把⊙
的面积四等分．
指出对
称性
既是轴对称图形又是中
心对称图形．
轴对称图形
既是轴对称图形又是中心对称图
形．
【知识点】圆中对称性
2. 垂径定理
A.
B.
C.
D.
1.
【解析】
如图，在半径为的⊙
中，弦
，
，则
的长为（ ）．
【答案】D
延长
交
于点
，连接
∵
是直径，
∴
，
；
∵
，
,
∴
；
在
中，
∵
,
4
【标注】
∴
；
故选：
．
【知识点】勾股定理
【知识点】垂径定理以及应用
【能力】运算能力
A.
B.
C.
D.
2.
【解析】
【标注】
如图，一条公路转弯处是一段圆弧(图中的弧
)，点
是这条弧所在圆的圆心，点
是弧
的中
点，半径
与
相交于点
，
，
，这段弯道的半径是（ ）．
【答案】A
略
【知识点】圆与勾股
A.
B.
C.
D.
3. 如图所示，直线与半径为
的⊙
相交于
、
两点，且与半径
垂直，垂足为
，
，若要使直线与⊙
相切，则应沿
方向向下平移（ ）．
【答案】B
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【解析】
【标注】
，由垂径定理知
．由勾股定理得
．∴
．
【知识点】垂径定理以及应用
4.
【解析】
如图，⊙
的直径
垂直于弦
，垂足
为
中点，
，求直径
的长．
【答案】
．
连接
，如图，
设半径为，
∵
是
中点，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
．
在
中，
，
∴
，
，
∴
，
．
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【标注】【知识点】圆与勾股
A.
B.
C.
D.
5.
【解析】
【标注】
如图，
是
的直径，且
，点
、
在
上，
，
，点
是
线段
的中点，则
（ ）．
【答案】B
∵
，
，
是⊙
的直径，
∴
，
∴
．
∵
，
∴
是等边三角形．
∵
，
∴
．
∵点
是线段
的中点，
∴
，
．
又∵在
中，
，
∴
，
．
故选．
【知识点】垂径定理以及应用
6. 如图，已知
是⊙
的直径，
是⊙
的弦，
，垂足为点
，
，求⊙
的直径．
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【解析】
【标注】
【答案】
．
连结
，
∵
，且
为直径，
∴
，
∵
，
∴
，
设半径为，由
，可得
，
在
中，
，即
，
解得
，所以半径为
，
，所以⊙
的直径为
．
【知识点】圆与勾股
A.
分米
B.
分米
C.
分米
D.
分米
7. 在圆柱形油槽内装有一些油，油面宽
为分米，如果再注入一些油后，油面
上升分米，油面
宽变为分米，圆柱形油槽直径
为（ ）．
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【解析】
【标注】
【答案】C
过点
作
于
，
于
，
连接
，
，
∵
，
∴点
，
，
三点共线，
∵
，
∴
分米，
∵
，
∴
分米，
设
分米，
在
中，
∵
，
∴
，
在
中，
∵
，
∴
，
∵
半径，
∴
，
∴
分米，
∴
分米，
∴
分米．
【知识点】垂径定理以及应用
8. 如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为
，则该半圆的半径为（ ）．
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A.
B.
C.
D.
【解析】
【标注】
【答案】C
如图，圆心为
，设大正方形的边长为
，圆的半径为
，连接
，
，作
于点
，
∴
，
∵正方形有两个顶点在半圆上，另外两个顶点在圆心两侧，
∴
，
．
∵小正方形的面积为
，
∴小正方形的边长
，
由勾股定理得，
，
即
，
解得，
，
∴
．
【知识点】圆与勾股
9.
【解析】
求证：一边的弦心距等于对边的一半：
．
【答案】证明见解析．
连结
、
、
、
，作
于
，如图，
，
，
，
而
，
，
同理可得
，
，
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【标注】
，
，
，
在
和
中，
，
≌
，
，
．
【知识点】全等三角形的对应边与角
