文档文本内容
1
垂直平分线的性质与判定 题集【B】
1. 线段垂直平分线的性质
1.
【解析】
【标注】
在
中，
，边
的垂直平分线交边
于点
，边
的垂直平分线交边
于点
，连结
，
，求
(用含 的代数式表示).
【答案】
或
分两种情况：
如图所示，当
时，
∵
垂直平分
，
∴
，
∴
，
同理可得，
，
∴
，
∴
；
如图所示，当
时，
∵
垂直平分
，
∴
，
∴
，
同理可得，
，
∴
，
∴
．
故答案为：
或
.
【知识点】三角形内角和的应用
2. 如图，
、
关于直线
对称，点
是
上一点，线段
的垂直平分线交
于点
，连接
、
．
2
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
图
求证：
．
如图，连接
交
于点
，若
，求证：
．
图
如图，若
，且点
在
的垂直平分线上，
，
，直
接写出
的长为 ．
图
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
证明见解析．
连接
，
∵
、
关于直线
对称，线段
的垂直平分
线交
于点
，
∴
．
∴
．
由（）可知：
，
易证：
，
，即
，
3
（3 ）
【标注】
又∵
为
的平分线，
∴
（角平分线定理），
∴
．
过点
作
于
，
，
设
，
，则
，
，
，
过点
作
于
，
∴
，
∴
，
，
，
∴
，
，
∴
．
【能力】分析和解决问题能力
【能力】运算能力
【能力】推理论证能力
【知识点】角分线性质定理
【知识点】线段的垂直平分线的性质定理
【知识点】相似三角形的性质与判定综合
【知识点】相似三角形的性质
3.
【解析】
已知
中，
是
的平分线，
的垂直平分线交
的延长线于
．求证：
．
【答案】证明见解析．
∵
是
的平分线，
∴
，
∵
是
的垂直平分线，
4
【标注】
∴
，
，
∵
，
，
∴
．
【能力】推理论证能力
【知识点】线段的垂直平分线的性质定理
【知识点】角分线性质定理
（1 ）
（2 ）
4.
（1 ）
【解析】
已知:如图，
的角平分线与
的垂直平分线
交于点
，
，
，垂足分别
为
，
.
求证：
．
若
，
，求
的周长.
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
连结
，
∵
在
的中垂线上
∴
∵
，
平分
∴
在
和
中，
5
（2 ）
【标注】
，
∴
≌
，
∴
．
由
可得，
≌
，
∴
，
∴
的周长
，
．
【知识点】三角形的周长与面积问题
【知识点】线段的垂直平分线的性质定理
【知识点】角分线性质定理
【知识点】HL
【知识点】全等三角形的对应边与角
【知识点】对应边
【能力】推理论证能力
（1 ）
（2 ）
5.
（1 ）
【解析】
如图，
的外角
的平分线交
边的垂直平分线于
点，
于
，
于
．
求证：
．
若
，
，求
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
连接
、
，
6
（2 ）
【标注】
∵点
在
的垂直平分线上，
∴
，
∵
是
的平分线，
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
．
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
即
，
解得
．
【知识点】线段的垂直平分线的性质定理
【知识点】HL
（1 ）
1
（2 ）
6. 如图，
垂直平分线段
，连接
、
．
求证：
．
在
中，点
、
在直线
上，且点
、
分别是线段
、
垂直平分线上的点．
如图，若
，求
的度数．
7
2
（1 ）
1
2
（2 ）
【解析】
【标注】
如图，点
在
的延长线上，假设
，
，则
（直
接用、表示）．
【答案】（1 ）
1
2
（2 ）
证明见解析．
．
∵
垂直平分
，
∴
，
∴
．
∵
、
分别为
、
的垂直平分线上，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
．
同①理
．
【知识点】对称型全等
2. 线段垂直平分线的判定
1. 已知：
是
的平分线上一点，
，
，垂足分别为
、
．
8
（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
求证：
．
求证：
是
的垂直平分线．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
证明见解析
∵
平分
，
于
，
于
，
∴
，
∴
．
在
和
中，
，
∴
≌
．
∴
，
∴点
在
的垂直平分线上．
同理，点
在
的垂直平分线上，
故
是
的垂直平分线．
【知识点】等腰三角形的性质-等边对等角
【知识点】线段的垂直平分线的判定定理
【知识点】HL
【知识点】全等三角形的对应边与角
【知识点】角分线性质定理
2. 如图，已知等腰三角形
中，
，点
、
分别在边
、
上，且
，连接
、
，交于点
．
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（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
判断
与
的数量关系，并说明理由．
求证：过点
、
的直线垂直平分线段
．
【答案】（1 ）
（2 ）
相等，证明见解析．
证明见解析．
．
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
．
∵
，
∴
，
由（）可知
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴点
、
均在线段
的垂直平分线上，
即直线
垂直平分线段
．
【知识点】线段的垂直平分线的性质定理
【知识点】SAS
【知识点】全等三角形的对应边与角
【能力】推理论证能力
3. 如图，点
是
的中点，
垂直平分
，垂足为
，
是
的中点，求证：
是
的垂直平
分线．
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【解析】
【标注】
【答案】证明见解析．
连接
，
∵
垂直平分
，
∴
，
∵点
是
的中点，
∴
，
∴
，
在
与
中，
，
∴
≌
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
是
的垂直平分线．
【知识点】SSS
4. 如图，在四边形
中，
，
，
，
是
的中点，
与
交于点
，
于
，交
于
．
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（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
求证：
≌
．
求证：
是线段
的垂直平分线．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
证明见解析．
∵
，
，
∴
，
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
．
∵
是
的中点，
∴
，
∵
≌
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
又∵
，
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【标注】
∴
，且
，
即
是线段
的垂直平分线．
【知识点】ASA
3. 垂直平分线的尺规作图
（高中楼）
（图书馆）
（临建楼）
A. 在
、
两边高线的交点处
B. 在
、
两边中线的交点处
C. 在
、
两内角平分线的交点处
D. 在
、
两边垂直平分线的交点处
1.
【解析】
【标注】
如下图，在暑假期间，某学校对其校内的高中楼（图中的点
），临建楼（图中的点
）和图书馆
（图中的点
）进行装修，装修工人小明需要放置一批装修物资，使得装修物资到点
，点
和点
的距离相等，则装修物资应该放置在（ ）．
【答案】D
到
，
，
的距离相等，
（高中楼）
（图书馆）
（临建楼）
物资应放在
，
，
的垂直平分线上，
且画出其中的两线段的垂直平分线即可．
故选
．
【知识点】线段的垂直平分线的性质定理
2.
、
两村在一条小河的同一侧，要在河边建一水厂向两村供水．
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（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
若要使自来水厂到两村的距离相等，厂址
应选在哪个位置？
若要使自来水厂到两村的输水管用料最省，厂址
应选在哪个位置？请将上述两种情况下的
自来水厂厂址标出，要求利用尺规作图，并保留作图痕迹．
【答案】（1 ）
（2 ）
画图见解析．
画图见解析．
如图所示：
点
即为所求．
如图所示：
点
即为所求．
【知识点】造桥问题
3. 已知：如图，
及两点
、
．求作：在平面内找一点
，使得
，且
点到
两边所在的直线的距离相等．
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【解析】
【标注】
【答案】见解析．
因为是两边所在的直线，所以有两个答案．
答案一：
内角平分线与线段
的垂直平分线的交点，如左图；
答案二：
外角平分线与线段
的垂直平分线的交点，如右图.
【知识点】作角平分线
【知识点】作线段的垂直平分线
4. 阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
如图，已知
，
，用尺规作图的方法在
上取一点
，使得
.
甲、乙、丙、丁四位同学的主要作法如下：
甲同学的作法：如图甲，以点
为圆心，
长为半径画弧，交
于点
，则点
就是所求的
点．
乙同学的作法：如图乙，作线段
的垂直平分线交
于点
，则点
就是所求的点．
丙同学的作法：如图丙，以点
为圆心，
长为半径画弧，交
于点
，则点
就是所求的
点．
丁同学的作法：如图丁，作线段
的垂直平分线交
于点
，则点
就是所求的点．
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（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
请你判断哪位同学的作法正确 ；
这位同学作图的依据是 ．
【答案】（1 ）
（2 ）
丁
垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，等量代换
根据中垂线的性质可得丁同学的做法正确.
垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；等量代换．
【知识点】作图依据
【知识点】作线段的垂直平分线
【知识点】线段的垂直平分线的性质定理
（1 ）
（2 ）
5. 已知
，点
是边
上一点．
尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）．
①作线段
的垂直平分线分别交
、
于点
、
．②在
上截取
，使
，连接
、
．
判断
和
的位置关系，并给出证明．
【答案】（1 ）如图所示．
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（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
（2 ）
．
如图所示．
∵
垂直平分
．
∴
，
．
∴
．
∴
．
∴
，
．
∴
．
∵
，
．
∴
≌
．
∴
．
∴
．
【知识点】AAS
（1 ）
（2 ）
6. 小明在做课本中的一道题：如图，直线，所成的角跑到画板外面去了，你有什么办法量出这两条
直线所成的角的度数？小明的做法是：如图，画
，量出直线与
的夹角度数，即直线，
所成角的度数．
请写出这种做法的理由．
小明在此基础上又进行了如下操作和探究（如图）：①以
为圆心，任意长为半径画圆弧，
分别交直线，
于点
，
．②连结
并延长交直线于点
，请直接写出图中所有与
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（3 ）
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【标注】
相等的角．
请在图画板内作出“直线，所成的跑到画板外面去的角”的平分线（画板内的部分），只
要求作出图形，并保留作图痕迹．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
两直线平行，同位角相等．
．
画图见解析．
两直线平行，同位角相等．
．
作线段
的垂直平分线
，
则
是所求作的图形．
【知识点】圆周角定理以及应用
【知识点】作线段的垂直平分线
【知识点】平行线的性质
【能力】推理论证能力
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