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学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1 / 11 第十五章 轴对称 知识点一 轴对称图形 1. 基础概念 1) 轴对称图形 单个图形沿一条直线__________，直线两侧部分能够__________，这个图形就是轴对称图形，这条 直线叫__________。 例：圆、等腰三角形、正方形、角、线段。 2) 两个图形成轴对称 两个独立图形，沿某条直线折叠后能够完全重合，称这两个图形关于这条直线对称。 2. 核心性质 ① 对称点连线被对称轴__________； ② 对称线段__________、对称角__________，对称的两个图形__________； ③ 若两条对称线段相交，交点一定落在对称轴上。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 2 / 11 3. 画轴对称图形步骤 ① 标出原图顶点、拐点等关键点； ② 过每个关键点作对称轴垂线，延长截取等长，得到对称点； ③ 按原图顺序依次连接所有对称点，得到对称图形。 知识点二 线段垂直平分线 1. 定义 既__________于线段，又__________该线段的直线，叫做线段的垂直平分线（中垂线）。 2. 性质定理 若点在线段垂直平分线上，则该点到线段两个端点的__________相等。 用途：直接证明两条线段相等。 3. 判定定理 若一个点到一条线段两个端点距离相等，则这个点一定在这条线段的垂直平分线上。 用途：证明直线是垂直平分线、证明点共线。 4. 拓展 任意三角形三条边的垂直平分线交于同一点，叫__________；外心到三角形三个顶点__________相 等，是外接圆圆心。 知识点三 等腰三角形 1. 定义 两边__________相等的三角形称为等腰三角形； 相等两边：__________；第三条边：__________； 两腰夹角：__________；腰与底边夹角：__________。 2. 两大核心性质 1) 等边对等角：等腰三角形两底角__________相等； 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 3 / 11 2) 三线合一：等腰三角形顶__________、底边上的__________、底边上的__________是同一条直 线，这条直线也是等腰三角形唯一__________。 3. 判定方法 1) 定义判定：有__________相等的三角形是等腰三角形； 2) 等角对等边：三角形中两个__________相等，则这两个角所对的__________相等，三角形为等腰 三角形。 4. 特殊等腰三角形——等边三角形 1. 性质：三边全部相等，三个内角都是 60∘；三条对称轴，同样满足三线合一； 2. 判定： ① __________都相等； ② __________都相等； ③ 有一个内角是__________ 的__________三角形。 知识点四 最短路径（将军饮马） 1.核心原理 两点之间线段最短；垂线段最短。 基础模型 1：直线同侧两点，求直线上一点使 𝑷𝑨+ 𝑷𝑩 最小 解题方法：作点 𝐴 关于直线 𝑙 的对称点 𝐴′，连接 𝐴′𝐵，与直线 𝑙 交点即为所求 𝑃，此时 𝑃𝐴+ 𝑃𝐵 最 小。 原理：𝑃𝐴= 𝑃𝐴′，𝑃𝐴+ 𝑃𝐵= 𝐴′𝐵，两点之间线段最短。 基础模型 2：直线两侧两点 直接连接两点，线段与直线交点即为最短点，无需作对称。 2.拓展模型 1. 造桥选址：两条平行线间搭建垂直桥梁，平移端点转化为将军饮马； 2. 周长最小问题：三角形、四边形周长最小，需作两次对称，拼接线段求最短； 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 4 / 11 易错点1 求等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系产生易错 易错提醒 易错点总结 1. 已知等腰三角形两边长，直接默认谁是腰、谁是底，不分类讨论。 2. 求出边长后忘记检验三边关系，出现“两短边之和小于第三边”的无效三角形，不舍去错解。 3. 只算一种情况，漏掉另一组合法周长，导致答案不完整。 注意事项总结 1. 等腰三角形边长未知时，必须分两类讨论：① 已知长为腰；② 已知长为底。 2. 每一种情况必须检验三边关系，不满足“两边之和大于第三边”直接舍去。 3. 最终只保留合法图形的周长，杜绝无效解。 【对点训练】1．已知等腰三角形ABC 的底边BC 长为10cm，AC 上的中线BD把其周长分为差是6cm 的两 部分，求等腰三角形ABC 的周长． 易错点2 当等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论产生易错 易错提醒 易错点总结 1. 题目只给一个内角度数，不区分该角是顶角还是底角，直接单解作答。 2. 忽略底角必须是锐角，出现“底角≥90°“的错误角度，不会排除。 3. 角度计算后不验证内角和为 180°，出现逻辑错误。 注意事项总结 1. 已知一个内角求等腰三角形角度，固定分两种情况：该角为顶角 / 该角为底角。 2. 严格遵守规则：等腰三角形最多一个钝角或直角（只能是顶角）。 3. 算出角度后必须验证：三个角和为 180°、底角必须为锐角，不合理解舍去。 【对点训练】2．若等腰三角形的一个角是110，则它的一个底角是______． 易错点3 求有关等腰三角形中的多解题没有分类讨论产生易错 易错提醒 易错点总结 1.题干只说“等腰三角形”，未明确腰、顶点、位置，学生习惯性默认一种图形，漏多解。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 5 / 11 2.动点、找点构造等腰三角形时，不讨论哪两条边相等，导致答案不全。 3.不会三种分类模型，经常少 1～2 种情况丢分。 注意事项总结 1.构造等腰三角形必须三分类： ① PA=PB ② AP=AB ③ BP=AB 2.只要题目没有固定腰和底，一律默认多解，绝不只写一个答案。 3.每种分类单独计算，最后统一舍去不成立、超范围的解。 【对点训练】3．等腰三角形周长为21cm ，若有一边长为9cm，则等腰三角形其它两边长为____． 易错点4 三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论产生易错 易错提醒 易错点总结 1. 题干只说“三角形高线”，默认是锐角三角形的高，忽略钝角三角形高在外部。 2. 高线位置不确定，不区分高在形内、形外，导致角度、边长计算完全错误。 3. 等腰三角形一腰上的高，不会区分顶角锐角、顶角钝角两种图形。 注意事项总结 1. 无图题、形状不明题，必须双分类：锐角三角形（高在内部）、钝角三角形（高在外部）。 2. 等腰三角形腰上的高：顶角锐角→高在形内；顶角钝角→高在形外。 3. 有高线参与的角度、长度计算，必须画图辅助，避免思维定式。 【对点训练】4．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40，它的底角为________． 易错点5 等腰三角形中与新定义型问题的多解题没有分类讨论产生易错 易错提醒 易错点总结 1. 遇到新定义（优美三角形、倍角三角形、特征三角形等），只会套常规等腰模型，不会结合新定义分类。 2. 不清楚新定义对应的边、角关系，盲目计算，漏多种符合条件的情况。 3. 忽略新定义限制条件，算出不符合题意的解不剔除。 注意事项总结 1. 新定义题型第一步：先翻译定义，列出边角关系，再结合等腰三角形分类讨论。 2. 严格按照“腰底不明、角度不明、位置不明”三原则全面分类。 3. 所有解必须双重检验：符合等腰性质 + 符合题目新定义要求。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 6 / 11 【对点训练】5．定义：经过三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个三角形是 等腰三角形，另外一个三角形和原三角形的三个内角分别相等，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分 割线”． (1)如图1，Rt ABC △ ， 90 C = ， 30 B = ，请在图中画出“和谐分割线”，与Rt ABC △ 一边交于点D ，则 _________是等腰三角形，底角为______度． (2)如图2，在ABC 中，线段CD是ABC 的“和谐分割线”，若ACD 是等腰三角形， 42 A = ，求 B 的度 数． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 7 / 11 一、单选题 1．一个等腰三角形的底角是50，则它的顶角为（ ） A．50 B．80 C．50或80 D．不能确定 2．如果等腰三角形有一个角是40，则它的顶角是（ ） A．40 B．100 C．140 D．40或100 3．一个等腰三角形的一个内角为70，则它的顶角为（ ） A．70 B．40 C．70或40 D．110 4．如图，在等腰ABC 中， , 60 , 90 , AB BC ACB E D AE CD = = = = = ，则 EAD 的值为（ ） A．120 B．135 C．145 D．150 5．如图，在Rt ABC △ 中， 90 , 5, 15, C AC AB AD = = = 平分 BAC 交BC 于点D，过点D 作DE AD ⊥ 交AB 于点E，点P 是DE 上的动点，点Q 是BD上的动点，则BP PQ + 的最小值为（ ） A．5 B．10 C．15 D．20 二、填空题 6．如图，将两个全等的等腰三角形ABC 和ADE 的顶角顶点A重合，且 120 BAC DAE = = ．点A、D 分别在BC 的两侧，AD与BC 交于点M ，DE 分别与BC 、AC 交于点O、N ．当 DOM △ 为等腰三角形时， BAD 的度数为______． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 8 / 11 7．等腰三角形的两边长a、b 满足( ) 2 4 8 0 a b − + − = ，则该等腰三角形的周长是________． 8．如图，在ABC 中，AB AC = ， 120 BAC = ，D 为BC 边上一点，将ABD 沿AD折叠，点B 落在点E 处，AB 的对应边AE 与线段BC 相交于点F ，若DEF 为等腰三角形，则 ADB 的度数为______________． 9．如图，等腰ABC 的底边AB 的长为4 ，面积为12，BC 的垂直平分线MN 分别交BC ，AC 于点M ，N ， 若点D 为AB 的中点，P 为线段MN 上一动点，则PBD 的周长的最小值为___________． 10．如图，在ABC 中， 120 BAC = ，AB 的垂直平分线交AB 于点E，交BC 于点F，AC 的垂直平分线 交AC 于点G，交BC 于点H．则 FAH =____________． 三、解答题 11．如图，已知：E 是 AOB 的平分线上一点，EC OB ⊥ ，ED OA ⊥ ，C 、D 是垂足，连接CD，且交OE 于 点F ． (1)求证：OE 是CD的垂直平分线． (2)若 60 AOB = ，请你探究线段OF 与线段EF 之间有什么数量关系？并证明你的结论． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 9 / 11 12．（1）如图1，线段OA的一个端点O 在直线l 上，且与直线l 所成的锐角为50°，以OA为一边画等腰三 角形，并且使另一个顶点P 在直线l 上，这样的等腰三角形能画 个． （2）如图1，如果OA与直线l 所成的锐角为60°，以OA为一边画等腰三角形，并使另一个顶点P 在直线l 上，这样的等腰三角形能画 个． 想一想：如图2，ABC 中， 20 50 A B = = ， ，过顶点C 作一条直线，分割出一个等腰三角形这样的 直线最多可以画 条． 算一算：如图3，在ABC 中， 10 BAC = ，若存在过点C 的一条直线，能把该三角形分成两个等腰三角 形，试求∠B 的度数． 13．【阅读材料】小明同学发现一个规律：两个共顶点且顶角相等的等腰三角形，底角顶点连起来，在相对 位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，小明把具有这种规律的图形称为“手拉手模型”． 【材料理解】（1）如图1，ABC 与ADE 都是等腰三角形，AB AC = ，AD AE = ，且 BAC DAE = ，证 明：BD CE = ． 【深入研究】（2）ABC 与ADE 都是等腰三角形，AB AC = ，AD AE = ，且 90 BAC DAE = = ，证明： BD CE ⊥ ； 【深化模型】（3）如图3，AB BC = ， 60 ABC BDC = = ， 16 7 BD CD = = ， ，求AD的长． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 10 / 14．阅读与思考 下面是小明同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 内嵌共边等腰三角形组【概念理解】 如果两个等腰三角形有一条公共边，且其中较小的等腰三角形的另一个顶点落在外侧较 大等腰三角形的某一边上，那么称二者为内嵌共边等腰三角形组． 例如，图1 中的ABC 和CBD 均为等腰三角形，AB AC = ，CD CB = ，且CBD 的顶点D 在ABC 的边AB 上，我们称图1 中ABC 和CBD 为内嵌共边等腰三角形组． 【问题解决】 问题1：在如图1 中，若CD平分 ACB ，则 A =__________°． 问题2：如图2，ABC 中， 30 ACB = ，点E 为平面内ABC 外一点（与点A不重合）， 连接AE ，CE ，CE AC = ．作CE 的垂直平分线FG ，垂足为G ，交直线BC 于F ，当点 F 在直线AE 上时，求 AEC 的度数． 在研究过程中，小明同学利用图形的旋转得到满足条件的图形，如图3． 任务： (1)问题1 中的 A =__________°； (2)求出图3 中 AEC 的度数； (3)补全问题2 的情况，在草稿纸上画出图形并在答题纸上直接写出 AEC 的度数． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 11 / 15．【理解问题】 如图1，在ABC 和DBC 中，AB AC = ，DB DC = ，点A，D 在底边BC 的同侧．我们把具有这种位置关 系的两个等腰三角形．叫做美好等腰三角形，在美好等腰三角形中，两个三角形中腰的夹角叫做腰角，连 接顶角顶点的线段叫做轴线．如图1 中 ABD 和 ACD 是腰角，线段AD是轴线． (1)【拟定计划】 小颖通过测量、折纸的方法猜想美好等腰三角形有以下性质：美好等腰三角形的两个腰角相等，轴线所在 的直线垂直平分底边．小颖利用图1 给出如下已知、求证，请帮助小颖完成证明． 已知：如图1，ABC 和DBC 是美好等腰三角形，连接AD．求证：ABD ACD = ，AD所在直线是线段BC 的垂直平分线． (2)【实施计划】 如图2，在ABC 中，AB AC = ，点D 在AB 上， 45 ACD = ，AE CD ⊥ ，垂足为E ，AE 的延长线与BC 交于点F ，点G 在线段DC 上，且EG EF = ，连接BG ．求证：ABC 和GBC 是美好等腰三角形． (3)【回顾反思】小颖反思证明思路，在图2 的基础上继续探究：分别连接DF ，FG ，若DF FG = ，请直 接写出 BAC 的度数．
