第13 章 轴对称 B 卷
一、单选题
1. ( 3 分 ) 下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】 A
【考点】轴对称图形，中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】A.即是轴对称图形，又是中心对称图形.故该选项正确；
B.是轴对称图形，但不是中心对称图形.故该选项错误；
C.是中心对称图形，但不是轴对称图形.故该选项错误；
D.是中心对称图形，但不是轴对称图形.故该选项错误.
故答案为：A
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念即可判断.
2. ( 3 分 ) 如图，在△ABC 中，BC=8，AB 的垂直平分线交AB 于点D，交AC 于点E，△BCE 的周长为
18，则AC 的长等于（ ）
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
【答案】 C
【考点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】由已知条件，利用线段垂直平分线的性质得AE+CE=BE+CE，再利用给出的周长即可求
出AC 的长．
BCE
△
∵
的周长等于18cm，BC=8cm
∴ BE+ EC =10cm
DE
∵
垂直平分AB
AE
∴
＝BE
∴ AE+ EC =10cm ，即 AC =10cm
【分析】由△BCE 的周长及BC 的长可求出BE 与EC 的和，根据相段的垂直平分线的性质可求出AE=BE,
进而求出AC 的长。
3. ( 3 分 ) 点P（2，﹣3）关于x 轴的对称点是（ ）
A. （﹣2，3） B. （2，3）
C. （﹣2，-3） D. （2，﹣
3）
【答案】 B
【考点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点P（2，﹣3）关于x 轴的对称点坐标为：（2，3）．
故选：B．
【分析】根据平面直角坐标系中对称点的规律解答．
4. ( 3 分 ) 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】 B
【考点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：B．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，
这条直线叫做对称轴；把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这
个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．进行分析即可．
5. ( 3 分 ) 用两个完全相同的直角三角形拼下列图形：(1)平行四边形，(2)矩形，(3)菱形，(4)正方形，(5)等
腰三角形，(6)等边三角形，一定可以拼成的图形是（ ）
A. (1)(4)(5); B. (2)(5)(6); C. (1)(2)(3); D. (1)(2)(5).
【答案】 D
【考点】三角形全等及其性质，等腰三角形的判定，平行四边形的判定，矩形的判定
【解析】【解答】解：根据题意，用形状和大小完全相同的直角三角形一定能拼出平行四边形、矩形和等
腰三角形，共3 种图形.
画出图形如下所示：
故答案为：D.
【分析】根据全等三角形的性质、平行四边形的判定方法、矩形的判定方法、菱形的判定方法、正方形的
判定方法、等腰三角形的判定方法、等边三角形的判定方法，动手操作或画图即可判断.
6. ( 3 分 ) 等腰三角形的一个内角是70°,则它顶角的度数是( )
A. 70° B. 70° 或 40°
C. 70° 或 50°
D. 40°
【答案】 B
【考点】三角形内角和定理，等腰三角形的性质
【解析】【解答】解： 本题可分两种情况：
①当 70° 角为底角时， 顶角为 180°−2×70° = 40° ；
② 70° 角为等腰三角形的顶角；
因此这个等腰三角形的顶角为 40° 或 70° ．
故答案为：B．
【分析】首先要进行分析题意， “等腰三角形的一个内角”没明确是顶角还是底角， 所以要分两种情况
进行讨论 ．
7. ( 3 分 ) 下列与防疫有关的图案中不是轴对称图形的有（ ）
A. 1 个 B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
【答案】 B
【考点】轴对称图形
【解析】【解答】解：AB、为轴对称图形，对称轴为等边三角形的高，符合题意；
CD、没有对称轴，不是轴对称图形，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据轴对称图形特点分析判断，轴对称图形沿一条轴折叠180°，被折叠两部分能完全重合.
8. ( 3 分 ) 若a、b、c 为△ABC 的三条边，且满足条件：点（a+c，a）与点（2b，﹣b）关于x 轴对称，则
△ABC 的形状是（ ）
A. 等腰三角形 B. 等边三角形
C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
【答案】 B
【考点】等边三角形的判定，关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】∵点（a+c，a）与点（2b，﹣b）关于x 轴对称，
a+c=2b
∴
，a=b，
a=b=c
∴
，
ABC
∴△
的形状是等边三角形．
故答案为：B
【分析】根据关于x 轴对称的点横坐标相同、纵坐标互为相反数的特征，可得a+c=2b，a=b，可得a=b=c，
判定△ABC 的形状是等边三角形。
9. ( 3 分 ) 在△ABC 中，AB＝AC，AB 的垂直平分线与AC 所在直线相交所得的锐角为40°，∠B 的度数
为（ ）
A. 20°或70° B. 30°或60° C. 25°或65° D. 35°或65°
【答案】 C
【考点】线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当AB 的中垂线MN 与AC 相交时，如图：
AMD=90°
∵∠
A=90°
∴∠
－40°=50°
AB=AC
∵
B= C==65°
∴∠
∠
；
当AB 的中垂线MN 与CA 的延长线相交时，如图：
DAB=90°
∴∠
－40°=50°
AB=AC
∵
B= C= DAB=25°.
∴∠
∠
∠
故答案为：C.
【分析】分情况讨论：当AB 的中垂线MN 与AC 相交时，利用三角形的内角和定理求出∠A 的度数，再
利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠B 的度数；当AB 的中垂线MN 与CA 的延长线相交时，
利用三角形的内角和定理求出∠DAB 的度数，然后求出∠B 的度数。
10. ( 3 分 ) 如图，□ABCD 中，AE 平分∠BAD，交BC 于E，DE AE
⊥
，下列结论：①DE 平分∠ADC；
②E 是BC 的中点；③AD=2CD；④四边形ADCE 的面积与△ABE 的面积比是3：1，其中正确的结论的
个数有（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】 A
【考点】等腰三角形的判定，平行四边形的性质
【解析】【解答】①∵四边形ABCD 是平行四边形，
AB CD
∴
∥
，
BAD+ ADC=180°
∴∠
∠
，
AE
∵
平分∠BAD，
EAD= BAE=
∴∠
∠
1
2
BAD
∠
，
DE
AE
∵
⊥
，
AED=90°
∴∠
，
EAD+ ADE=90°
∴∠
∠
，
BAE+ CDE=90°
∴∠
∠
，
ADE= CDE
∴∠
∠
，
DE
∴
平分∠ADC，故①正确；
②∵四边形ABCD 是平行四边形，
AD BC
∴
∥
，AB=CD
DAE= AEB
∴∠
∠
，
EAD= BAE
∠
∠
∵
，
BAE= BEA
∴∠
∠
，
AB=EB
∴
，
同理EC=DC，
EB=EC
∴
，
E
∴
是BC 的中点，故②正确；
③∵四边形ABCD 是平行四边形，
AD=BC
∴
，
BE=EC
∵
，
AD=2CD
∴
，故③正确；
④∵四边形ABCD 是平行四边形
S
∴
AED
△
= 1
2S 平行四边形ABCD ，
S
∴
ABE
△
+S
EDC
△
═ 1
2S 平行四边形ABCD ，
EB=EC
∵
，
S
∴
ABE
△
=S
EDC
△
，
∴四边形ADCE 的面积与△ABE 的面积比是3：1，故④正确，
故选：A
【分析】①根据平行四边形的性质得到平行线，再根所平行线的性质及角平分线的性质即可得到；
②根据等腰三角形的判定得到边之前的关系；
③根据②推得；
④根据平行线间的距离相等证明，
二、填空题
11. ( 4 分 ) 如图，在 RtΔABC 中，角 A =90
°，AB =3, AC = 4 , P 是 BC 边上的一点，作 PE 垂直
AB , PF 垂直 AC ,垂足分别为 E、F ,则 EF 的最小值是________.
【答案】 12
5
【考点】垂线段最短，矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接AP,
∵∠BAC =90° , PE⊥AB , PF ⊥AC ,
∴∠BAC =∠AEP=∠AFP=90° ,
∴ 四边形AFPE 是矩形，
∴EF = AP ,
要使EF 最小，只要AP 最小即可，
过点A 作 AP⊥BC 于P，此时AP 最小，
在直角三角形 △BAC 中， ∠BAC =90° , AC = 4 , AB =3,
由勾股定理得：BC=5，
由三角形面积公式得： 1
2 ×4×3= 1
2 ×5× AP ,
∴AP = 12
5 ,
即 EF = 12
5 ，
故答案为： 12
5 .
【分析】根据已知条件得出四边形AEPF 为矩形，得出EF=AP,要使EF 最小，只要AP 最小即可，根据垂
线段最短得出即可.
12. ( 4 分 ) 如图，三角形纸片ABC，AB=11cm，BC=7cm，AC=6cm，沿过点B 的直线折叠这个三角形，
使顶点C 落在AB 边上的点E 处，折痕为BD，则△AED 的周长为________cm．
【答案】 10
【考点】轴对称的性质
【解析】【解答】由△BDE 由△BDC 折叠得到，
BDE
BDC
∴△
△
≌
CD=ED BC=BE=7cm
C
∴△ADE=AD+DE+AE=AD+CD+AB-BE=6+11-7=10(cm)
【分析】折叠即为轴对称，易得△BDE
BDC
≌△
，利用等量代换可得周长为10cm.
13. ( 4 分 ) 在 △ ABC 中，AB＝AC ， AB 的垂直平分线DE 与AC 所在的直线相交于点E ， 垂足为D
， 连接BE ． 若AE＝5，tan∠AED＝ 3
4 ，则CE＝________．
【答案】 1 或11
【考点】线段垂直平分线的性质，解直角三角形
【解析】【解答】解：分两种情形：
当DE 与AC 边相交时，如图，
∵DE 是AB 的垂直平分线，
∴AD＝BD ， AD⊥DE ．
在Rt△ADE 中，tan∠AED＝ AD
DE ．
∵tan∠AED＝ 3
4 ，
∴AD
DE = 3
4 ．
设AD＝3k ， 则DE＝4k ．
∴ AE =√A D
2+ D E
2=5k ．
∵AE＝5，
5
∴k＝5．
∴k＝1．
∴AD＝3k＝3．
∴AB＝2AD＝6．
∵AB＝AC ，
∴AC＝6．
∴CE＝AC﹣AE＝6
5
﹣＝1．
当DE 与CA 的延长线相交时，如图，
∵DE 是AB 的垂直平分线，
∴AD＝BD ， AD⊥DE ．
在Rt△ADE 中，tan∠AED＝ AD
DE ．
∵tan∠AED＝ 3
4 ，
∴AD
DE = 3
4 ．
设AD＝3k ， 则DE＝4k ．
∴ AE =√A D
2+ D E
2=5k ．
∵AE＝5，
5
∴k＝5．
∴k＝1．
∴AD＝3k＝3．
∴AB＝2AD＝6．
∵AB＝AC ，
∴AC＝6．
∴CE＝AC+AE＝6+5＝11．
综上，CE 的长为1 或11．
故答案为：1 或11．
【分析】分两种情况讨论：当DE 与AC 边相交时，当DE 与CA 的延长线相交时，即可得出。
14. ( 4 分 ) 如图，矩形ABCD 中，AB=8，点E 是AD 上的一点，有AE=4，BE 的垂直平分线交BC 的延长
线于点F，连接EF 交CD 于点G.若G 是CD 的中点，则BC 的长是________
【答案】 7
【考点】全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，矩形的性质
【解析】【解答】解：∵FH 垂直平分BE，
BF=EF
∴
，
D= BCD= GCF=90°
∴∠
∠
∠
，CG=DG=1
2×8=4，
在△DEG 和△CFG 中，
{
∠D =∠DCF
CG = DG
∠DGE =∠CGF)
DEG
CFG(ASA)
∴△
△
≌
，
DE=CF
∴
，EG=FG，
设DE=x，
则BF=BC+CF=AD+CF=4+x+x=4+2x，
在Rt
DEG
△
中，
EG=√D E
2+ DG
2=√x
2+16
EF=
∴
2 EG =2√x
2+16
4+2x=
∴
2√x
2+16
解之：x=3
经检验x=3 是原方程的解
即DE=3
BC=AE+ED=4+3=7
∴
故答案为：7
【分析】利用线段垂直平分线的性质，可知BF=EF，再利用矩形的性质，可证∠D= BCD= GCF
∠
∠
，
CG=DG，利用ASA 证明△DEG
CFG
≌△
，利用全等三角形的性质易证DE=CF，EG=FG，设DE=x，用含x
的代数式分别表示出EF、BF 的长，
∵矩形ABCD 中，G 是CD 的中点，AB=8，好友EF=BF，建立关于x 的方程，解方程求出x 的值，继而
可求出BC 的长。
15. ( 4 分 ) 在矩形 ABCD 中， AB =3, AD =9 ， P 是矩形 ABCD 边上的点，且 PB = PD ，则
AP 的长是________.
【答案】 4 或 √34
【考点】勾股定理，线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】∵PB=PD，
∴点P 在BD 的垂直平分线上，
作BD 的垂直平分线，分别交A
D、BC 于P、P′，如图所示：
∵四边形ABCD 是矩形，
BAD= ABC=90°
∴∠
∠
，DC=AB=3，BC=AD=9，
设AP 为x，则PB=PD=9-x，
根据勾股定理得：AB2+AP2=PB2 ，
即32+x2=(9-x)2 ，
解得：x=4，
AP=4
∴
；
同理CP′=4，
P′B=5
∴
，
AP′=
∴
√A B
2+ P' B
2=√3
2+5
2=√34 ，
故答案为：4 或 √34 ．
【分析】由PD=PB 可知点P 在BD 的中垂线上，由此作BD 的中垂线分别交AD、BC 于P、P′，继而根据
勾股定理进行求解即可.
16. ( 4 分 ) 如图所示，在△ABC 中，DE 是AC 的中垂线，AE=3cm，△ABD 的周长为13cm，则△ABC 的
周长是________ cm．
【答案】 19
【考点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC 中，DE 是AC 的中垂线，
AD=CD
∴
，AE=CE= 1
2 AC=3cm，
ABD
∴△
得周长=AB+AD+BD=AB+BC=13 ①
则△ABC 的周长为AB+BC+AC=AB+BC+6 ②
把②代入①得△ABC 的周长=13+6=19cm
故答案为：19．
【分析】由已知条件，根据垂直平分线的性质得到线段相等，进行线段的等量代换后可得到答案．
17. ( 4 分 ) 等腰三角形有一个外角是100°，这个等腰三角形的底角是________．
【答案】 50°或80°
【考点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①若100°的外角是此等腰三角形的顶角的邻角，
则此顶角为：180°
100°=80°
﹣
，
则其底角为：（180°
80°
﹣
）÷2=50°；
②若100°的外角是此等腰三角形的底角的邻角，
则此底角为：180°
100°=80°
﹣
；
故这个等腰三角形的底角为：50°或80°．
故答案为：50°或80°．
【分析】由等腰三角形的一个外角是100°，可分别从①若100°的外角是此等腰三角形的顶角的邻角；②若
100°的外角是此等腰三角形的底角的邻角去分析求解，即可求得答案．
18. ( 4 分 ) 如图，∠AOP= BOP=15°
∠
，PC OA
∥
，PQ OA
⊥
，若PC=4，则PQ=________
【答案】 2
【考点】角平分线的性质，含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：过点P 作PM OB
⊥
于M，
PC OA
∵
∥
，
COP= CPO= POQ=15°
∴∠
∠
∠
，
BCP=30°
∴∠
，
PM=
∴
1
2 PC=2，
PQ=PM
∵
，
PQ=2
∴
．
故答案为：2．
【分析】过点P 作PM OB
⊥
于M，根据平行线的性质可得到∠BCP 的度数，再根据直角三角形的性质可求
得PM 的长，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得到PM=PQ，从而求得PQ 的长．
三、作图题
19. ( 8 分 ) 如图，在平面直角坐标系中， ΔABC 的顶点 A(0,1) ， B(3,2) ， C(1,4) 均在正方形
网格的格点上.
（ 1 ）画出 ΔABC 关于x 轴的对称图形 Δ A1B1C1 ；
( 2 )将 Δ A1B1C1 ，沿 x 轴方向向左平移3 个单位、再沿 y 轴向下平移1 个单位后得到 Δ A2B2C2 ，
写出 A2 ， B2 ， C2 顶点的坐标.
【答案】 解：如图所示：△A1B1C1、△A2B2C2 ， 即为所求；
点A2（﹣3，﹣2），B2（0，﹣3），C2（﹣2，﹣5）
【考点】作图﹣轴对称，坐标与图形变化﹣平移，作图﹣平移
【解析】【分析】(1)关于x 轴的两点横坐标相同，纵坐标互为相反数，分别画出各点，然后顺次进行连接
得出图形；(2)根据平移的法则画出图形，得出各点的坐标.
20. ( 8 分 ) 图①、图②均是8×8 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、M、N 均落在
格点上，在图①、图②给定的网格中按要求作图．
（1）在图①中的格线MN 上确定一点P，使PA 与PB 的长度之和最小
（2）在图②中的格线MN 上确定一点Q，使∠AQM＝∠BQM．
要求：只用无刻度的直尺，保留作图痕迹，不要求写出作法．
【答案】 （1）解：如图①，作A 关于MN 的对称点A′，连接BA′，交MN 于P，此时PA+PB＝PA′+PB＝
BA′，根据两点之间线段最短，此时PA+PB 最小；
（2）解：如图②，作B 关于MN 的对称点B′，连接AB′并延长交MN 于Q，此时∠AQM＝∠BQM．
【考点】勾股定理，轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】 (1) 如图 ① ，作A 关于MN 的对称点A′，连接 BA' ，交MN 于P，P 点即为所求；
(2) 如图 ③ ，作B 关于MN 的对称点B′，连接 AB' 并延长交MN 于Q，Q 点即为所求．
四、解答题
21. ( 15 分 ) 已知：如图，△ABC，分别画出与△ABC 关于x 轴、y 轴对称的图形△A1B1C1和△A2B2C2 ．
【答案】 解：如图所示：
【考点】作图﹣轴对称
【解析】【分析】根据题意作出△ABC 关于x 轴、y 轴对称的图形△A1B1C1和△A2B2C2即可．
22. ( 10 分 ) 如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（4，2），C
（3，5）（每个方格的边长均为1 个单位长度）．
①请画出△A1B1C1 ， 使△A1B1C1与△ABC 关于x 轴对称；
②将△ABC 绕点O 逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2 ， 并直接写出点B 旋转到点B2所经过
的路径长．
【答案】 解：如图所示，△A1B1C1、△A2B2C2即为所求；
OB=
∵
√4
2+2
2=2√5 ，∠BOB2=90°，
∴点B 旋转到点B2所经过的路径长为 90⋅π ⋅2√5
180
=√5 π ．
【考点】扇形面积的计算，作图﹣轴对称，作图﹣旋转
【解析】【分析】根据轴对称的性质及旋转的性质按要求画出图形即可；点B 旋转到点B2所经过的路径长
是以O 为圆心，圆心角为90°，OB 的长为半径的弧，因此先利用勾股定理求出OB 的长，再根据扇形的面
积公式求出弧BB2的长即可。
23. ( 5 分 ) 如图是某区部分街道示意图，其中 CE 垂直平分 AF , AB// DC ,BC // DF .从 B 站乘车
到 E 站只有两条路线有直接到达的公交车，路线1 是 B⇒D⇒A ⇔E ，且长度为5 公里，路线2 是
B⇒C ⇒F ⇒E ，求路线2 的长度.
【答案】 解：如图，延长FD 交AB 于点G，
BC DF
∵
∥
，AB DC
∥
，
∴四边形BCDG 是平行四边形，
DG
∴
＝BC，
CE
∵
垂直平分AF，
FE
∴
＝AE，DE AG
∥
，
FD
∴
＝DG，
CB
∴
＝FD，
又∵BC DF
∥
，
∴四边形BCFD 是平行四边形，
CF
∴
＝BD，
CE
∵
垂直平分AF，
AE
∴
＝FE，FD＝DA，
BC
∴
＝DA，
∴路线2 的长度：BC＋CF＋FE＝AD＋BD＋AE＝5（公里）.
【考点】线段垂直平分线的性质，平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】延长FD 交AB 于点G，易得四边形BCDG 是平行四边形，根据平行四边形的性质以及
垂直平分线的性质可推出BC=DA，FE=AE，CF=BD，然后根据路线2 的长度为BC＋CF＋FE 进行计算即
可.
24. ( 6 分 ) 如图，在Rt
ABC
△
中，∠C=90°，DE 垂直平分AB 分别交BC、AB 于点D、E，且CD=DE，
求∠B 的度数．
【答案】 解：∵DE 是AB 的垂直平分线，
AE=BE
∴
，
A= ABE
∴∠
∠
，
DE=CE
∵
，∠C=90°，DE AB
⊥
，
ABE= CBE
∴∠
∠
，
A= ABE= CBE
∴∠
∠
∠
，
C=90°
∵∠
，
3 CBE=90°
∴∠
，
CBE=30°
∴∠
，
即∠A=30°
【考点】线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据线段的垂直平分线的性质可得AE=BE，再根据等腰三角形的性质和判定可求出∠B
的度数。
25. ( 6 分 ) 如图，已知AB=AC ， D 是AB 上一点，DE⊥BC 于E ， ED 的延长线交CA 的延长线于F
， △ADF 是等腰三角形吗？请说明理由。
【答案】 证明：∵AB=AC,
B= C
∴∠
∠（等边对等角）, DE
BC
∵
⊥
于E,
FEB= FEC=90°,
∴∠
∠
B+ EDB= C+ EFC=90°,
∴∠
∠
∠
∠
EFC= EDB
∴∠
∠
（等角的余角相等）,
EDB= ADF
∵∠
∠
（对顶角相等）,
EFC= ADF,
∴∠
∠
ADF
∴△
是等腰三角形．
【考点】余角、补角及其性质，等腰三角形的性质，等腰三角形的判定
【解析】【分析】根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C,再根据等角的余角相等得到∠EFC=∠EDB,再由
∠EDB=∠ADF ， 根据等角对等边判定△ADF 是等腰三角形．
