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让更多的孩子得到更好的教育
轴对称全章复习与巩固（提高）
责编：杜少波
【学习目标】
1. 认识轴对称、轴对称图形，理解轴对称的基本性质及它们的简单应用；
2. 了解垂直平分线的概念，并掌握其性质；
3. 了解等腰三角形、等边三角形的有关概念，并掌握它们的性质以及判定方法.
【知识网络】
【要点梳理】
【高清课堂：389304 轴对称复习，本章概述】
要点一、轴对称
1.轴对称图形和轴对称
（1）轴对称图形
如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴
对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对
对应点所连线段的垂直平分线.
（2）轴对称
定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两
个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质：
①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形；
②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分
线；
③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在
对称轴上.
（3）轴对称图形与轴对称的区别和联系
区别: 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴
对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对
称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个
整体，那么它就是一个轴对称图形．
2.线段的垂直平分线
线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反
过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
要点二、作轴对称图形
1.作轴对称图形
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（1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连
接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形；
（2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端
点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.
2.用坐标表示轴对称
点（
,
）关于
轴对称的点的坐标为（
,－
）；点（
,
）关于
轴对称的点的坐
标为（－
,
）；点（
,
）关于原点对称的点的坐标为（－
,－
）.
要点三、等腰三角形
1.等腰三角形
（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.
（2）等腰三角形性质
①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；
②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三
线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.
（3）等腰三角形的判定
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等
边”）.
2.等边三角形
（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.
（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.
（3）等边三角形的判定：
①三条边都相等的三角形是等边三角形；
②三个角都相等的三角形是等边三角形；
③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形.
3.直角三角形的性质定理：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
【典型例题】
类型一、轴对称的性质与应用
1、如图，由四个小正方形组成的田字格中，△ABC 的顶点都是小正方形的顶点．在田字
格上画与△ABC 成轴对称的三角形，且顶点都是小正方形的顶点，则这样的三角形
（不包含△ABC 本身）共有（ ）
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
【思路点拨】分别以正方形的对角线和田字格的十字线为对称轴，来找三角形.
【答案】C；
【解析】先把田字格图标上字母如图，确定对称轴找出符合条件的三角形，再计算个数．
△HEC 与△ABC 关于CD 对称；△FDB 与△ABC 关于BE 对称；△GED 与△ABC 关于HF 对
称；关于AG 对称的是它本身．所以共3 个．
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【总结升华】本题考查了轴对称的性质；确定对称轴然后找出成轴对称的三角形是解题的关
键．
举一反三：
【变式】如图，△ABC 的内部有一点P，且D，E，F 是P 分别以AB，BC，AC 为对称轴的对称点．若
△ABC 的内角∠A＝70°，∠B＝60°，∠C＝50°，则∠ADB＋∠BEC＋∠CFA＝（
）
A.180° B.270° C.360° D.480°
【答案】C；
解：连接AP，BP，CP，
∵D，E，F 是P 分别以AB，BC，AC 为对称轴的对称点
∴∠ADB＝∠APB，∠BEC＝∠BPC，∠CFA＝∠APC，
∴∠ADB＋∠BEC＋∠CFA＝∠APB＋∠BPC＋∠APC＝360°．
2、已知∠MON＝40°，P 为∠MON 内一定点，OM 上有一点A，ON 上有一点B，当△PAB 的周
长取最小值时，求∠APB 的度数.
【思路点拨】求周长最小，利用轴对称的性质，找到P 的对称点来确定A、B 的位置，角度的计
算，可以通过三角形内角和定理和等腰三角形的性质计算.
【答案与解析】
解：分别作P 关于OM、ON 的对称点
，
，连接
交OM 于A，ON 于B.则△PAB 为符合条件
的三角形.
∵∠MON＝40°
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∴∠
＝140°.
∠
＝
∠PAB,∠
＝
∠PBA.
∴
(∠PAB＋∠PBA)＋∠APB＝140°
∴∠PAB＋∠PBA＋2∠APB＝280°
∵∠PAB＝∠
＋∠
, ∠PBA＝∠
＋∠
∴∠
＋∠
＋∠
＝180°
∴∠APB＝100°
【总结升华】将实际问题抽象或转化为几何模型，将周长的三条线段的和转化为一条线段，这
样取得周长的最小值.
举一反三：
【变式】（2015•乐陵市模拟）（1）如图1，直线同侧有两点A、B，在直线上求一点C，使它到
A、B 之和最小．（保留作图痕迹不写作法）
（2）知识拓展：如图2，点P 在∠AOB 内部，试在OA、OB 上分别找出两点E、F，使△PEF 周
长最短（保留作图痕迹不写作法）
（3）解决问题：①如图3，在五边形ABCDE 中，在BC，DE 上分别找一点M，N，使得△AMN
周长最小（保留作图痕迹不写作法）
②若∠BAE=125°，∠B= E=90°
∠
，AB=BC，AE=DE，∠AMN+ ANM
∠
的度数为
．
【答案】解：（1）作A 关于直线MN 的对称点E，连接BE 交直线MN 于C，连接AC，BC，
则此时C 点符合要求．
（2）作图如下：
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（3）①作图如下：
BAE=125°
②∠
∵
，
P+ Q=180°﹣125°=55°
∴∠
∠
，
AMN= P+ PAM=2 P
∵∠
∠
∠
∠，∠ANM= Q+ QAN=2 Q
∠
∠
∠，
AMN+ ANM=2
∴∠
∠
（∠P+ Q
∠）=2×55°=110°．
3、（2016 春•浦东新区期末）在直角坐标平面内，已知在y 轴与直线x=3 之间有一点M
（a，3），如果该点关于直线x=3 的对称点M 的坐标为（5，3），那么a 的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【思路点拨】根据题意得出对称点到直线x=3 的距离为2，再利用对称点的性质得出答案．
【答案】D；
【解析】解：∵该点关于直线x=3 的对称点N 的坐标为（5，3），
∴对称点到直线x=3 的距离为2，
∵点M（a，3）到直线x=3 的距离为2，
∴a=1
【总结升华】此题主要考查了坐标与图形的性质，根据题意得出对称点到直线x=3 的距离是
解题关键．
举一反三：
【变式1】如图，若直线
经过第二、四象限，且平分坐标轴的夹角，Rt△AOB 与Rt△
关于直线
对称，已知A（1，2），则点
的坐标为（ ）
A.（－1，2） B.（1，－2） C.（－1，－2） D.（－2，－1）
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【答案】D；
提示：因为Rt△AOB 与Rt△
关于直线
对称，所以通过作图可知，
的坐
标是（－2，－1）．
【高清课堂：389304 轴对称复习：例10】
【变式2】如图，ΔABC 中，点A 的坐标为（0，1），点C 的坐标为（4，3），点B 的坐标为
（3，1），如果要使ΔABD 与ΔABC 全等，求点D 的坐标．
【答案】
解：满足条件的点D 的坐标有3 个（4，－1）；（－1，－1）；（－1，3）.
类型二、等腰三角形的综合应用
4、如图①，△ABC 中．AB=AC，P 为底边BC 上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为
E、F、H．易证PE+PF=CH．证明过程如下：
如图①，连接AP．
∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，
∴
=
AB•PE，
=
AC•PF，
=
AB•CH．
又∵
，
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∴
AB•PE+
AC•PF=
AB•CH．∵AB=AC，∴PE+PF=CH．
（1）如图②，P 为BC 延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH 又有怎样的数量关系？请写
出你的猜想，并加以证明：
（2）填空：若∠A=30°，△ABC 的面积为49，点P 在直线BC 上，且P 到直线AC 的距离为PF，当
PF=3 时，则AB 边上的高CH=______.点P 到AB 边的距离PE=________.
【答案】7；4 或10；
【解析】
解：（1）如图②，PE=PF+CH．证明如下：
∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，
∴
=
AB•PE，
=
AC•PF，
=
AB•CH，
∵
=
+
，
∴
AB•PE=
AC•PF+
AB•CH，
又∵AB=AC，
∴PE=PF+CH；
（2）∵在△ACH 中，∠A=30°，
∴AC=2CH．
∵
=
AB•CH，AB=AC，
∴
×2CH•CH=49，
∴CH=7．
分两种情况：
①P 为底边BC 上一点，如图①．
∵PE+PF=CH，
∴PE=CH-PF=7-3=4；
②P 为BC 延长线上的点时，如图②．
∵PE=PF+CH，
∴PE=3+7=10．
故答案为7；4 或10．
【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质与三角形的面积，难度适中，运用面积证明可使问
题简便，（2）中分情况讨论是解题的关键．
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5、已知，如图，∠1＝12°，∠2＝36°，∠3＝48°，∠4＝24°. 求
的度数．
【答案与解析】
解：将
沿AB 翻折，得到
，连结CE，
则
，
∴
∠1＝∠5＝12°.
∴
60°
∵
48°∴
．
又∵∠2＝36°，
72°，
∴
∴BE＝BC
∴
为等边三角形.
∴
又
垂直平分BC．
∴AE 平分
．
∴
30°
∴∠ADB＝30°
【总结升华】直接求
很难，那就想想能不能通过翻折或旋转构造一个与
全等
的三角形，从而使其换个位置，看看会不会容易求．
举一反三：
【变式】在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝80°，D 为形内一点，且∠DAB＝∠DBA＝10°，
求∠ACD 的度数.
【答案】
解：作D 关于BC 中垂线的对称点E，连结AE，EC，DE
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A
C
D
1
2
3
B
5
E
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∴△ABD≌△ACE
∴AD＝AE, ∠DAB＝∠EAC＝10°
∵∠BAC=80°，
∴∠DAE＝60°，△ADE 为等边三角形
∴∠AED＝60°
∵∠DAB＝∠DBA＝10°
∴AD＝BD＝DE＝EC
∴∠AEC＝160°，
∴∠DEC＝140°
∴∠DCE＝20°
∴∠ACD＝30°
类型三、等边三角形的综合应用
6、
（2014 秋•辛集市期末）已知，在等边三角形ABC 中，点E 在AB 上，点D 在CB 的延
长线上，且ED=EC．
（1）【特殊情况，探索结论】
如图1，当点E 为AB 的中点时，确定线段AE 与DB 的大小关系，请你直接写出结论：AE
DB（填“＞”、“＜”或“=”）．
（2）【特例启发，解答题目】
如图2，当点E 为AB 边上任意一点时，确定线段AE 与DB 的大小关系，请你直接写出结论，
AE
DB（填“＞”、“＜”或“=”）；理由如下，过点E 作EF BC
∥
，交AC 于点F．（请
你完成以下解答过程）．
（3）【拓展结论，设计新题】
在等边三角形ABC 中，点E 在直线AB 上，点D 在直线CB 的延长线上，且ED=EC，若
△ABC 的边长为1，AE=2，求CD 的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）．
【思路点拨】（1）由E 为等边三角形AB 边的中点，利用三线合一得到CE 垂直于AB，且CE
为角平分线，由ED=EC，利用等边对等角及等腰三角形的性质得到一对角相等，利用等角对
等边即可得证；
（2）AE=DB，理由如下，过点E 作EF BC
∥
，交AC 于点F，由三角形ABC 为等边三角形，得到
三角形AEF 为等边三角形，进而得到AE=EF=AF，BE=FC，再由ED=EC，以及等式的性质得
到夹角相等，利用SAS 得到三角形BDE 与三角形EFC 全等，利用全等三角形对应边相等得
到DB=EF，等量代换即可得证；
（3）点E 在AB 延长线上时，如图所示，同理可得△DBE
EFC
△
≌
，由BC+DB 求出CD 的长即
可．
【答案与解析】
解：（1）当E 为AB 的中点时，AE=DB；
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（2）AE=DB，理由如下：
过点E 作EF BC
∥
，交AC 于点F，
证明：∵△ABC 为等边三角形，
AEF
∴△
为等边三角形，
AE=EF
∴
，BE=CF，
ED=EC
∵
，
D= ECD
∴∠
∠
，
DEB=60°
D
∵∠
﹣∠，∠ECF=60°
ECD
﹣∠
，
DEB= ECF
∴∠
∠
，
在△DBE 和△EFC 中，
，
DBE
EFC
∴△
△
≌
（SAS），
DB=EF
∴
，
则AE=DB；
（3）点E 在AB 延长线上时，如图所示，同理可得△DBE
EFC
≌△
，
DB=EF=2
∴
，BC=1，
则CD=BC+DB=3．
【总结升华】此题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及等腰三角
形的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解本题的关键．
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