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线段、角的轴对称性—知识讲解
责编：杜少波
【学习目标】
1．理解线段的垂直平分线的概念，掌握线段的垂直平分线的性质及判定，会画已知线段的垂
直平分线，能运用线段的垂直平分线的性质解决简单的数学问题及实际问题．
2. 理解角平分线的画法，掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质，熟练运
用角的平分线的性质解决问题．
【要点梳理】
要点一、线段的轴对称性
1.线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴.
2. 线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；
3. 线段垂直平分线的性质定理的逆定理：到线段两个端距离相等的点在线段的垂直平分
线上．
要点诠释：
线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的
方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直
接或间接地为构造全等三角形创造条件.
三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接
圆的圆心——外心.
要点二、角的轴对称性
1.角的轴对称性
（1）角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴.
（2）角平分线上的点到角两边的距离相等.
（3）角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
要点诠释：
（1）用符号语言表示角平分线上的点到角两边的距离相等.
若CD 平分∠ADB，点P 是CD 上一点，且PE⊥AD 于点E，PF⊥BD 于点F，则PE＝PF.
（2）用符号语言表示角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
若PE⊥AD 于点E，PF⊥BD 于点F，PE＝PF，则PD 平分∠ADB
2.角平分线的画法
角平分线的尺规作图
（1）以O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于D，交OB 于E.
（2）分别以D、E 为圆心，大于1
2 DE 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 内部交于点C.
（3）画射线OC.
射线OC 即为所求.
【典型例题】
类型一、线段的轴对称性
1、（2016•天门）如图，在△ABC 中，AC 的垂直平分线分别交AC、BC 于E，D 两点，
EC=4，△ABC 的周长为23，则△ABD 的周长为（ ）
A．13
B．15
C．17
D．19
【思路点拨】根据线段垂直平分线性质得出AD=DC，AE=CE=4，求出AC=8，AB+BC=15，求
出△ABD 的周长为AB+BC，代入求出即可．
【答案与解析】解：∵AC 的垂直平分线分别交AC、BC 于E，D 两点，
∴AD=DC，AE=CE=4，
即AC=8，
∵△ABC 的周长为23，
∴AB+BC+AC=23，
∴AB+BC=23
8=15
﹣
，
∴△ABD 的周长为AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=15，
故选B．
【总结升华】本题考查了线段垂直平分线性质的应用，能熟记线段垂直平分线性质定理的内
容是解此题的关键，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
举一反三：
【变式】（2015•黄岛区校级模拟）某旅游景区内有一块三角形绿地ABC，如图所示，现要在道
路AB 的边缘上建一个休息点M，使它到A，C 两个点的距离相等．在图中确定休息点M 的位置．
【答案】解：作线段AC 的垂直平分线交AB 于M 点，则点M 即为所求．
2、如图所示，如果将军从马棚M 出发，先赶到河OA 上的某一位置P，再马上赶到河OB
上的某一位置Q，然后立即返回校场N．请为将军重新设计一条路线(即选择点P 和
Q)，使得总路程MP＋PQ＋QN 最短．
【思路点拨】通过轴对称变换，将MP 转化为M P，QN 转化为Q N，要使总路程MP＋PQ＋QN 最
短，就是指M P＋PQ＋Q N最短，而这三条线段在一条直线上的时候最短.
【答案与解析】见下图
作点M 关于OA 的对称点M
，作点N 关于OB 的对称点N
，连接M N
交OA 于P、交OB 于Q，
则M→P→Q→N 为最短路线．
【总结升华】本题主要是通过作对称点的方法得出结论，并利用了对称线段相等，三角形两边
之和大于第三边的性质推得所作的图形符合条件，这是道综合性的应用问题.
举一反三：
【变式】如图所示，将军希望从马棚M 出发，先赶到河OA 上的某一位置P，再马上赶到河OB 上
的某一位置Q．请为将军设计一条路线(即选择点P 和Q)，使得总路程MP＋PQ 最短．
【答案】作点M 关于OA 的对称点M ，过M 作OB 的垂线交OA 于P、交OB 于Q，侧M→P→Q 为
最短路线．如图：
类型二、角的轴对称性
3、如图, △ABC 中, ∠C ＝ 90, AC ＝ BC, AD 平分∠CAB, 交BC 于D, DE⊥AB 于E,
且AB＝6cm , 则△DEB 的周长为( )
A. 4cm
B. 6cm
C.10cm
D. 以上都不对
【答案】B；
【解析】由角平分线的性质，DC＝DE，△DEB 的周长＝BD ＋DE＋BE ＝BD＋DC＋BE＝AC＋BE＝
AE＋BE＝AB＝6.
【总结升华】将△DEB 的周长用相等的线段代换是关键.
举一反三：
【变式】已知：如图，AD 是△ABC 的角平分线，且
:
3 :
2
AB AC
，则△ABD 与△ACD 的面
积之比为（ ）
A．3：2 B．3 :
2 C．2：3 D.
2 :
3
【答案】B；
提示：∵AD 是△ABC 的角平分线，∴点D 到AB 的距离等于点D 到AC 的距离，又∵
:
3 :
2
AB AC
，则△ABD 与△ACD 的面积之比为3 :
2 ．
4、如图，OC 是∠AOB 的角平分线，P 是OC 上一点，PD⊥OA 交于点D，PE⊥OB 交于点E，F
是OC 上除点P、O 外一点，连接DF、EF，则DF 与EF 的关系如何？证明你的结论．
【思路点拨】利用角平分线的性质证明PD＝PE，再根据“HL”定理证明△OPD≌△OPE，从而得
到∠OPD＝∠OPE，∠DPF＝∠EPF．再证明△DPF≌△EPF，得到结论.
【答案与解析】
解：DF＝EF．
理由如下：
∵OC 是∠AOB 的角平分线，P 是OC 上一点，PD⊥OA 交于点D，PE⊥OB 交于点E，
∴PD＝PE，
由HL 定理易证△OPD≌△OPE，
∴∠OPD＝∠OPE，∴∠DPF＝∠EPF．
在△DPF 与△EPF 中，
PD
PE
DPF
EPF
PF
PF
，
∴△DPF≌△EPF，
∴DF＝EF.
【总结升华】此题综合运用了角平分线的性质、全等三角形的判定及性质．由角平分线的性质
得到线段相等，是证明三角形全等的关键.
5、（2015 春•启东市校级月考）如图，已知BD 为∠ABC 的平分线，AB=BC，点P 在BD 上，
PM⊥AD 于M，PN⊥CD 于N，求证：PM=PN．
【思路点拨】根据角平分线的定义可得∠ABD=∠CBD，然后利用“边角边”证明△ABD 和△CBD
全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ADB=∠CDB，然后根据角平分线上的点到角的两边
的距离相等证明即可．
【答案与解析】
证明：∵BD 为∠ABC 的平分线，
∴∠ABD=∠CBD，
在△ABD 和△CBD 中，
，
∴△ABD≌△CBD（SAS），
∴∠ADB=∠CDB，
∵点P 在BD 上，PM⊥AD，PN⊥CD，
∴PM=PN．
【总结升华】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定
与性质，确定出全等三角形并得到∠ADB=∠CDB 是解题的关键．
举一反三：
【变式】如图，AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AB，交AB 的延长线于点E，DF⊥AC 于点F，且DB＝
DC.求证：BE＝CF.
【答案】
证明：∵DE⊥AE，DF⊥AC，AD 是∠BAC 的平分线，
∴DE＝DF，∠BED＝∠DFC＝90°
在Rt△BDE 与Rt△CDF 中，
DB
DC
DE
DF
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）
∴BE＝CF
