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2021 年辽宁省辽宁省本溪，辽阳，葫芦岛中考数学试卷
一、选择题（本题共10 个小题，每小题3 分，共30 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
1. －5 的相反数是( )
A.
B.
C. 5
D. -5
【答案】C
【解析】
【分析】根据相反数的定义解答即可.
【详解】-5 的相反数是5
故选C
【点睛】本题考查了相反数，熟记相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数是关键.
2. 下列漂亮的图案中似乎包含了一些曲线，其实它们这种神韵是由多条线段呈现出来的，这些图案中既是
中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据中心对称图形及轴对称图形的概念即可解答．
【详解】选项A，是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意；
选项B，不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
选项C，不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
选项D，不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意．
故选A．
【点睛】本题考查了中心对称图形及轴对称图形的概念，熟练运用中心对称图形及轴对称图形的概念是解
决问题的关键．
3. 下列运算正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据同底数幂乘法法则、积的乘方的运算法则、同底数幂的除法法则及合并同类项法则逐一计算
即可得答案．
【详解】选项A，根据同底数幂乘法法则可得
，选项A 错误；
选项B，根据积的乘方的运算法则可得
，选项B 正确；
选项C，根据同底数幂的的除法法则可得
，选项C 错误；
选项D，
与x 不是同类项，不能合并，选项D 错误．
故选B．
【点睛】本题考查了同底数幂乘法法则、积的乘方的运算法则、同底数幂的除法法则及合并同类项法则，
熟练运用法则是解决问题的关键．
4. 如图，该几何体的左视图是（ ）
A.
B.
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2
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】画出从左面看到的图形即可．
【详解】解：该几何体的左视图是一个长方形，并且有一条隐藏的线用虚线表示，如图所示：
，
故选：D．
【点睛】本题考查三视图，具备空间想象能力是解题的关键，注意看不见的线要用虚线画出．
5. 如表是有关企业和世界卫生组织统计的5 种新冠疫苗的有效率，则这5 种疫苗有效率的中位数是
（ ）
疫苗名称
克尔来福
阿斯利康
莫德纳
辉瑞
卫星V
有效率
79%
76%
95%
95%
92%
A. 79%
B. 92%
C. 95%
D. 76%
【答案】B
【解析】
【分析】根据中位数的定义，对5 种新冠疫苗的有效率从小到大（或从大到小）进行排序，取中间（第三
个）的有效率即可．
【详解】解：根据中位数的定义，将5 种新冠疫苗的有效率从小到大进行排序，如下：
76%，79%，92%，95%，95%
数据个数为5，奇数个，处于中间的数为第三个数，为92%
故答案为B．
【点睛】此题考查了中位数的定义，求中位数之前不要忘记对原数据进行排序是解决本题的关键．
6. 反比例函数
的图象分别位于第二、四象限，则直线
不经过的象限是（ ）
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3
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】先根据反比例函数y=
的图象在第二、四象限内判断出k 的符号，再由一次函数的性质即可得出
结论．
【详解】解：∵反比例函数y=
的图象在第二、四象限内，
∴k＜0，
∴一次函数y=kx+k 的图象经过二、三、四象限，不经过第一象限．
故选：A．
【点睛】本题考查的是反比例函数的性质和一次函数的性质，注意：反比例函数y=
中，当k＜0，双曲
线的两支分别位于第二、第四象限．
7. 如图为本溪、辽阳6 月1 日至5 日最低气温的折线统计图，由此可知本溪，辽阳两地这5 天最低气温波
动情况是（ ）
A 本溪波动大
B. 辽阳波动大
C. 本溪、辽阳波动一样
D. 无法比较
【答案】C
【解析】
【分析】分别计算两组数据的方差，比较，即可判断．
【详解】解：辽阳的平均数为：
，
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4
方差为：
，
本溪的平均数为：
，
方差为：
，
∴
，
∴本溪、辽阳波动一样，
故选：C．
【点睛】本题考查了方差，正确理解方差的意义是解题的关键．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．
方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越
好．
8. 一副三角板如图所示摆放，若
，则
的度数是（ ）
A. 80°
B. 95°
C. 100°
D. 110°
【答案】B
【解析】
【分析】由三角形的外角性质得到∠3=∠4=35°，再根据三角形的外角性质求解即可．
【详解】解：如图，∠A=90°-30°=60°，
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5
∵∠3=∠1-45°=80°-45°=35°，
∴∠3=∠4=35°，
∴∠2=∠A+∠4=60°+35°=95°，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的外角性质，正确的识别图形是解题的关键．
9. 如图，在
中，
，由图中的尺规作图痕迹得到的射线
与
交于点E，点F 为
的中点，连接
，若
，则
的周长为（ ）
A.
B.
C.
D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据作图可知
平分
，
，由三线合一，解
，即可求得．
【详解】
平分
,
,
,
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6
点F 为
的中点
的周长为:
故选C．
【点睛】本题考查了角平分线的概念，等腰三角形性质，勾股定理，直角三角形性质，求出
边是解题
的关键．
10. 如图，在矩形
中，
，
，动点P 沿折线
运动到点B，同时动点Q
沿折线
运动到点C，点
在矩形边上的运动速度为每秒1 个单位长度，点P，Q 在矩形对角
线上的运动速度为每秒2 个单位长度．设运动时间为t 秒，
的面积为S，则下列图象能大致反映S
与t 之间函数关系的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
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7
【解析】
【分析】结合运动状态分段讨论：当点P 在AD 上，点Q 在BD 上时，
，
，过点P 作
，通过解直角三角形求出PE，表示出面积的函数表达式；当点P 在BD 上，点Q 在BC 上时，
，
，过点P 作
，通过解直角三角形求出PE，表示出面积的函
数表达式，利用二次函数的性质即可得出结论．
【详解】解：当点P 在AD 上，点Q 在BD 上时，
，
，
则
，
过点P 作
，
∵
，
∴
，
，
∴
，
，
，
∴
，
∴
的面积
，为开口向上的二次函数；
当
时，点P 与点D 重合，点Q 与点B 重合，此时
的面积
；
当点P 在BD 上，点Q 在BC 上时，
，
，
过点P 作
，
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8
则
，即
，
∴
的面积
，为开口向下的二次函数；
故选：D．
【点睛】本题考查动态问题的函数图象，根据运动状态写出函数解析式，利用二次函数的性质进行判断是
解题的关键．
二、填空题（本题共8 个小题，每小题3 分，共24 分）
11. 若
在实数范围内有意义，则
的取值范围为__________．
【答案】x≤2
【解析】
【分析】二次根式的被开方数大于等于零，据此解答．
【详解】解：依题意得 2-x≥0
解得 x≤2．
故答案为：x≤2．
【点睛】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子
（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方
数必须是非负数，否则二次根式无意义．
12. 分解因式：
________．
【答案】
【解析】
【分析】先提公因式2，再利用完全平方公式分解即可．
【详解】解：
，
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9
故答案为：
．
【点睛】本题考查因式分解，掌握提公因式法和公式法是解题的关键．
13. 有5 张看上去无差别的卡片，上面分别写着
，
，0，
，2，从中随机抽取一张，则抽出卡片
上写的数是
的概率为________．
【答案】
【解析】
【分析】利用概率公式即可求解．
【详解】解：抽出卡片上写的数是
的概率为
，
故答案为：
．
【点睛】本题考查简单事件求概率，掌握概率公式是解题的关键．
14. 若关于x 的一元二次方程
有两个相等的实数根，则k 的值为________．
【答案】
．
【解析】
【分析】根据关于x 的一元二次方程
有两个相等的实数根，得出关于k 的方程，求解即可．
【详解】∵关于x 的一元二次方程
有两个相等的实数根，
∴△=
=4+12k=0，
解得k=
．
故答案为：
．
【点睛】本题考查了运用一元二次方程根的判别式，当△>0 时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当
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10
△=0 时，一元二次方程有两个相等的实数根；当△< 0 时，一元二次方程没有实数根．
15. 为了弘扬我国书法艺术，培养学生良好的书写能力，某校举办了书法比赛，学校准备为获奖同学颁奖．
在购买奖品时发现，A 种奖品的单价比B 种奖品的单价多10 元，用300 元购买A 种奖品的数量与用240 元
购买B 种奖品的数量相同．设B 种奖品的单价是x 元，则可列分式方程为________．
【答案】
【解析】
【分析】设B 种奖品的单价为x 元，则A 种奖品的单价为（x+10）元，利用数量=总价÷单价，结合用300
元购买A 种奖品的件数与用240 元购买B 种奖品的件数相同，即可得出关于x 的分式方程．
【详解】解：设B 种奖品的单价为x 元，则A 种奖品的单价为（x+10）元，
依题意得：
，
故答案为：
【点睛】本题考查了根据实际问题列分式方程，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程．
16. 如图，由边长为1 的小正方形组成的网格中，点A，B，C 都在格点上，以
为直径的圆经过点C 和
点D，则
________．
【答案】
【解析】
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11
【分析】根据同弧所对的圆周角相等可得
，再利用正切的定义求解即可．
【详解】解：∵
，
∴
，
故答案为：
．
【点睛】本题考查同弧所对的圆周角相等、求角的正切值，掌握同弧所对的圆周角相等是解题的关键．
17. 如图，
是半圆的直径，C 为半圆的中点，
，
，反比例函数
的图象经过
点C，则k 的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】连接CD，并延长交x 轴于点P，分别求出PD，PO，CD 和PC 的长，过点C 作CF⊥x 轴于点F，
求出PF，CF 的长，进一步得出点C 的坐标，从而可得出结论．
【详解】解：连接CD，并延长交x 轴于点P，如图，
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12
∵C 为半圆的中点，
∴CP⊥AB，即∠ADP=90°
又∠AOB=90°
∴∠APD=∠ABO
∵A（2，0），B（0，1）
∴AO=2，OB=1
∴
∴
又
∴
∴
∴
∴
过点C 作CF⊥x 轴于点F，
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13
∴
∴
∴
∴
∴点C 的坐标为（
，
）
∵点C 在反比例函数
的图象上
∴
，
故答案为：
【点睛】本题考查反比例函数
解析式，解题的关键是利用过某个点，这个点的坐标应适合这个函数解析
式；求出点C 坐标是关键．
18. 如图，将正方形纸片
沿
折叠，使点C 的对称点E 落在边
上，点D 的对称点为点F，
交
于点G，连接
交
于点H，连接
．下列四个结论中：①
；②
；③
平分
；④
，正确的是________（填序号
即可）．
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14
【答案】①③④．
【解析】
【分析】①用有两个角对应相等的两个三角形相似进行判定即可；
②过点C 作CM⊥EG 于M，通过证明△BEC≌△MEC 进而说明△CMG≌△CDG，可得
S△CEG=S△BEC+S△CDG>S△BEC＋S 四边形CDQH ；
③由折叠可得:∠GEC=∠DCE，由AB∥CD 可得∠BEC=∠DCE，结论③成立；
④连接DH，MH，HE，由△BEC≌△MEC，△CMG≌△CDG 可知：∠BCE=∠MCE,∠MCG=∠DCG，则
∠ECG=∠ECM+∠GCM=
∠BCD，由于EC⊥HP，则∠CHP=45°，由折叠可得:∠EHP=∠CHP=45°，
利用勾股定理可得 EG2-EH2=GH2，由CM⊥EG，EH⊥CG，得到∠EMC=∠EHC=90°，所以E，M，H，C
四点共圆，通过△CMH≌△CDH，易证△GHQ∽△GDH，则得GH2=GQ·GD，从而说明④成立．
【详解】解：①∵四边形ABCD 是正方形,
∴∠A=∠B=∠BCD=∠D=90°由折叠可知:
∠GEP=∠BCD=90°，∠F=∠D=90
∴∠BEP+∠AEG=90°，
∵∠A=90°
∴∠AEG+∠AGE=90°，
∴∠BEP=∠AGE，
∵∠FGQ=∠AGE，
∴∠BEP=∠FGQ，
∵∠B=∠F=90，
∴△PBE~△QFG，
故①说法正确，符合题意；
②过点C 作CM⊥EG 于M，
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15
由折叠可得:∠GEC=∠DCE，
∵AB∥CD，
∴∠BEC=∠DCE，∠BEC=∠GEC，
在△BEC 和△MEC 中，
∵∠B=∠EMC=90°，∠BEC=∠GEC， CE= CE
∴△BEC≌△MEC(AAS)
∴CB=CM，S△BEC=S△MBC ，
∵CG=CG，
∴Rt△CMG≌Rt△CDG(HL)，
∴S△CMG=S△CDG ，
∴S△CEG=S△BEC+S△CDG>S△BEC +S 四边形CDQH
∴②说法不正确，不符合题意；
③由折叠可得:∠GEC=∠DCE，
∵AB∥CD，
∴∠BEC=∠DCE，
∴∠BEC=∠GEC，即EC 平分∠BEG
∴③说法正确，符合题意；
④连接DH，MH，HE，如图：
∵△BEC≌△MEC，△CMG≌△CDG，
∴∠BCE=∠MCE，∠MCG=∠DCG，
∴∠ECG=∠ECM+∠GCM=
∠BCD=45°，
∵EC⊥HP，
∴∠CHP=45°，
∴GHQ=∠CHP=45°，
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16
由折叠可得:∠EHP=∠CHP=45°，
∴EH⊥CG
∴EG2 -EH2=GH2
由折叠可知:EH=CH
∴EG2 -CH2= GH2，
∵CM⊥EG，EH⊥CG，
∴∠EMC=∠EHC=90°，
∴E，M，H，C 四点共圆，
∴∠HMC=∠HEC=45°，
在△CMH 和△CDH 中，
∵CM=CD，∠MCG=∠DCG， CH= CH
∴△CMH≌△CDH(SAS)
∴∠CDH=∠CMH=45 °，
∵∠CDA=90°，
∴∠GDH=45°
∵∠GHQ=∠CHP=45°，
∴∠GHQ=∠GDH=45°，
∵∠HGQ=∠DGH，
∴△GHQ∽△GDH ，
∴
，
∴GH2=GQ·GD
∴GE2-CH2=GQ·GD
故④说法正确，符合题意；
综上可得，正确的结论有:①③④
故答案为：①③④．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、翻折问题、勾股定理、三角形全等的判定与性质、三角形的相似
的判定与性质．翻折问题是全等变换，由翻折得到对应角相等，对应边相等是解题的关键．
三、解答题（第19 题10 分，第20 题12 分，共22 分）
19. 先化简，再求值：
，其中
．
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17
【答案】
，
【解析】
【分析】先把分式化简后，再求出
的值代入求出分式的值即可．
【详解】
当
时，原式
．
【点睛】本题考查了分式的化简值，特殊角的三角函数值，熟练分解因式是解题的关键．
20. 为迎接建党100 周年，某校组织学生开展了党史知识竞赛活动．竞赛项目有：A．回顾重要事件；B．
列举革命先烈；C．讲述英雄故事；D．歌颂时代精神．学校要求学生全员参加且每人只能参加一项，为了
解学生参加竞赛情况，随机调查了部分学生，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图
中信息解答下列问题：
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18
（1）本次被调查的学生共有________名；
（2）在扇形统计图中“B 项目”所对应的扇形圆心角的度数为________，并把条形统计图补充完整；
（3）从本次被调查的小华、小光、小艳、小萍这四名学生中，随机抽出2 名同学去做宣讲员，请用列表或
画树状图的方法求出恰好小华和小艳被抽中的概率．
【答案】（1）60；（2）90°，补全条形统计图见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）根据条形统计图和扇形统计图可知A 项目的有9 人，占15%，即可求出总人数；
（2）作差求出B 项目的人数，按照比例求出其圆心角度数并补全条形统计图；
（3）列出表格，利用概率公式即可求解．
详解】解：（1）
；
（2）B 项目的总人数为
人，
∴“B 项目”所对应的扇形圆心角的度数为
，
补全条形统计图如下：
；
（3）列出表格如下：
小华
小光
小艳
小萍
小华
小华，小光
小华，小艳
小华，小萍
小光
小华，小光
小光，小艳
小光，小萍
小艳
小华，小艳
小光，小艳
小萍，小艳
小萍
小华，小萍
小光，小萍
小萍，小艳
共有12 种情况，其中恰好小华和小艳的有2 种，
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19
∴P(恰好小华和小艳)
．
【点睛】本题考查条形统计图与扇形统计图综合，从统计图中获取相关信息是解题的关键．
四、解答题（第21 题12 分，第22 题12 分，共24 分）
21. 某班计划购买两种毕业纪念册，已知购买1 本手绘纪念册和4 本图片纪念册共需135 元，购买5 本手绘
纪念册和2 本图片纪念册共需225 元．
（1）求每本手绘纪念册和每本图片纪念册的价格分别为多少元？
（2）该班计划购买手绘纪念册和图片纪念册共40 本，总费用不超过1100 元，那么最多能购买手绘纪念册
多少本？
【答案】（1）每本手绘纪念册35 元，每本图片纪念册25 元；（2）最多能购买手绘纪念册10 本．
【解析】
【分析】（1）设每本手绘纪念册x 元，每本图片纪念册y 元，根据题意列出二元一次方程组，求解即可；
（2）设购买手绘纪念册a 本，则购买图片纪念册
本，根据题意列出不等式，求解不等式即可．
【详解】解：（1）设每本手绘纪念册x 元，每本图片纪念册y 元，
根据题意可得：
，
解得
，
答：每本手绘纪念册35 元，每本图片纪念册25 元；
（2）设购买手绘纪念册a 本，则购买图片纪念册
本，根据题意可得：
，
解得
，
∴最多能购买手绘纪念册10 本．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用、不等式的实际应用，根据题意列出方程组和不等式是解题的关
键．
22. 如图，某地政府为解决当地农户网络销售农特产品物流不畅问题，计划打通一条东西方向的隧道
．
无人机从点A 的正上方点C，沿正东方向以
的速度飞行15s 到达点D，测得A 的俯角为60°，然后
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20
以同样的速度沿正东方向又飞行50s 到达点E，测得点B 的俯角为37°．
（1）求无人机的高度
（结果保留根号）；
（2）求
的长度（结果精确到1m）．（参考数据：
，
，
，
）
【答案】（1）无人机的高度AC=
；（2）AB 的长度为382m．
【解析】
【分析】（1）在Rt△CDA 中，利用正切函数即可求解；
（2）先证明四边形ABFC 为矩形，在Rt△BFE 中，求得EF
m，即可求解．
【详解】（1）根据题意得：CD=8
(m)，
在Rt△CDA 中，∠ACD=90°，∠ADC=60°，
∴
，
∴AC=120
(m)，
答：无人机的高度AC=
；
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21
（2）根据题意得：DE=8
(m)，
则CE= DE+CD=520(m)，
过点B 作BF⊥CE 于点F，
则四边形ABFC 为矩形，
∴AB=FC，BF=AC=
，
在Rt△BFE 中，∠BFE=90°，∠BEF=37°，
∴
，
∴EF=
=138.4
(m)，
∴AB=FC=CE-EF=520-138=382(m)，
答：AB 的长度为382m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的性质．注意能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形
是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．
五、解答题（满分12 分）
23. 某网店销售一款市场上畅销的蒸蛋器，进价为每个40 元，在销售过程中发现，这款蒸蛋器销售单价为
60 元时，每星期卖出100 个．如果调整销售单价，每涨价1 元，每星期少卖出2 个，现网店决定提价销售，
设销售单价为x 元，每星期销售量为y 个．
（1）请直接写出y（个）与x（元）之间的函数关系式；
（2）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润是2400 元？
（3）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）y=-2x+220；（2）当销售单价是70 元或80 元时，该网店每星期的销售利润是2400 元；
（3）当销售单价是75 元时，该网店每星期的销售利润最大，最大利润是2450 元．
【解析】
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22
【分析】（1）根据题意中销售量y（个）与售价x（元）之间的关系即可得到结论；
（2）根据题意列出方程（-2x+220）（x-40）=2400，解方程即可求解；
（3）设每星期利润为w 元，构建二次函数模型，利用二次函数性质即可解决问题．
【详解】（1）由题意可得，y=100-2（x-60）=-2x+220；
（2）由题意可得，
（-2x+220）（x-40）=2400，
解得，
，
，
∴当销售单价是70 元或80 元时，该网店每星期的销售利润是2400 元．
答：当销售单价是70 元或80 元时，该网店每星期的销售利润是2400 元．
（3）设该网店每星期的销售利润为w 元，由题意可得
w=（-2x+220）（x-40）=
，
当
时，w 有最大值，最大值为2450，
∴当销售单价是75 元时，该网店每星期的销售利润最大，最大利润是2450 元．
答：当销售单价是75 元时，该网店每星期的销售利润最大，最大利润是2450 元．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是构建二次函数模型，利用二次函数的性质解决最值问
题．
六、解答题（满分12 分）
24. 如图，在
中，
，延长
到点D，以
为直径作
，交
的延长线于点
E，延长
到点F，使
．
（1）求证：
是
的切线；
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（2）若
，
，
，求
的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）连接OE，通过倒角得到
，即可得证；
（2）连接DE、OF，通过证明
求出AB 的长度，在
和
中应用勾股
定理，得出方程，即可求解．
【详解】解：（1）连接OE，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
即
，
∴
是
切线；
（2）连接DE、OF，
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24
∵
，
，
∴
的半径为5，
∴
∵AD 为直径，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
设BF 的长为x，则
，
，
在
中，
，
在
中，
，
∴
，
解得
．
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25
【点睛】本题考查切线的判定、相似三角形的判定与性质，掌握上述基本性质定理、并作出合适的辅助线
是解题的关键．
七、解答题（满分12 分）
25. 在▱
中，
，
平分
，交对角线
于点G，交射线
于点E，将线段
绕点E 顺时针旋转
得线段
．
（1）如图1，当
时，连接
，请直接写出线段
和线段
的数量关系；
（2）如图2，当
时，过点B 作
于点，连接
，请写出线段
，
，
之间的数
量关系，并说明理由；
（3）当
时，连接
，若
，请直接写出
与
面积的比值．
【答案】（1）
；（2）
,理由见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）延长
，交
于点
，根据已知条件证明
即可；
（2）连接
，过F 作
交
的延长线于点
，由
，得
，在
由 三边关系利用勾股定理可得；
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（3）证明
，得
值，
与
的面积分别与
的面积成比例，可得
与
面积的比值．
【详解】（1）如图,延长
，交
于点
，
由题意，将线段
绕点E 顺时针旋转
，
四边形
是平行四边形
四边形
是平行四边形
平分
四边形
是菱形
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是等边三角形
,
，
，
四边形
是平行四边形
=
在
和
中
．
（2）连接
，过F 作
交
的延长线于点
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四边形
是矩形，
，
，
，
平分
四边形
是矩形
在
和
中
设
则
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在
中
即
整理得：
．
（3）如图
由（1）可知
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平分
四边形
是平行四边形
．
【点睛】本题考查了轴对称
性质，旋转的性质，三角形全等的性质与判定，三角形相似，勾股定理，锐
角三角函数，相似比的概念，平行四边形的性质与判定，菱形的性质与判定，矩形的性质与判定，知识点
比较多，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
八、解答题（满分14 分）
26. 如图，抛物线
与x 轴交于点A 和点
，与y 轴交于点
，连接
，
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，点P 是抛物线第一象限上的一动点，过点P 作
轴于点D，交
于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，作
于点P，使
，以
，
为邻边作矩形
．当矩形
的面积是
面积的3 倍时，求点P 的坐标；
（3）如图2，当点P 运动到抛物线的顶点时，点Q 在直线
上，若以点Q、A、B 为顶点的三角形是锐
角三角形，请直接写出点Q 纵坐标n 的取值范围．
【答案】（1）
（2）（1，
）或（3，3）；（3）-
＜n＜
或
＜n
＜5．
【解析】
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）先求出直线AB 的解析式，表示出P，E 的坐标，故可表示出PE 的长，再根据矩形
是
面积的3 倍，得到方程，故可求解；
（3）当∠ABQ 为直角时，求出直线BQ 的解析式，得到n 的值，当∠BQA 为直角时，利用解直角三角形
的方法求出此时n 的值，同理求出当∠BAQ 为直角时n 的值，故可求解．
【详解】（1）把
，
代入解析式得
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解得
∴抛物线的解析式为
（2）对于
，令y=0
解得x=4 或-1
∴A（4,0），则
=2
设直线AB 的解析式为y=px+q
把A（4，0），
代入得
，解得
∴直线AB 的解析式为
设P（x，
），则E（x，
）
∴矩形
的面积=
=3
解得x=1 或3
∴P 点坐标为（1，
）或（3，3）；
（3）由
可得其对称轴为x=
，设Q 点坐标为（
，n）
①当∠ABQ 为直角时，如图2-1
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设BQ 交x 轴于点H，
在Rt△ABO 中，tan∠ABO=
，
∵∠ABO+∠BAO=∠BAO+∠BHO=90°
∴∠BHO =∠ABO
tan
∴
∠BHO= tan∠ABO =
可设直线BQ 的解析式为y=
x+t，代入
可得t=3
∴直线BQ 的解析式为y=
x+3
当x=
时，y=
x+3=5
故n=5；
②当∠BQA 为直角时，如图2-2，过点Q 作直线MN∥y 轴于点N，交过点A 与y 轴的平行线于点M，
∵∠BQN+∠MQA=90°，∠MQA+∠MAQ=90°，
∴∠BQN=∠MAQ
∴tan∠BQN=tan∠MAQ
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即
，则
解得n=
③当∠BAQ 为直角时，同理可设直线AQ 的解析式为y=
x+h
代入A（4，0）得h=-
∴直线AQ 的解析式为y=
x-
当x=
时，y=
x-
=-
故n=-
；
综上，以点Q、A、B 为顶点的三角形是锐角三角形，则△ABQ 不为直角三角形，故点Q 纵坐标n 的取值
范围为-
＜n＜
或
＜n＜5．
【点睛】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知待定系数法、矩形的特点及面积公式、解直角三
角形的方法及数形结合的特点．
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