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学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1 / 30 第十五章 轴对称 知识点一 轴对称图形 1. 基础概念 1) 轴对称图形 单个图形沿一条直线对折，直线两侧部分能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，这条直线叫对 称轴。 例：圆、等腰三角形、正方形、角、线段。 2) 两个图形成轴对称 两个独立图形，沿某条直线折叠后能够完全重合，称这两个图形关于这条直线对称。 2. 核心性质 ① 对称点连线被对称轴垂直平分； ② 对称线段相等、对称角相等，对称的两个图形全等； ③ 若两条对称线段相交，交点一定落在对称轴上。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 2 / 30 3. 画轴对称图形步骤 ① 标出原图顶点、拐点等关键点； ② 过每个关键点作对称轴垂线，延长截取等长，得到对称点； ③ 按原图顺序依次连接所有对称点，得到对称图形。 知识点二 线段垂直平分线 1. 定义 既垂直于线段，又平分该线段的直线，叫做线段的垂直平分线（中垂线）。 2. 性质定理 若点在线段垂直平分线上，则该点到线段两个端点的距离相等。 用途：直接证明两条线段相等。 3. 判定定理 若一个点到一条线段两个端点距离相等，则这个点一定在这条线段的垂直平分线上。 用途：证明直线是垂直平分线、证明点共线。 4. 拓展 任意三角形三条边的垂直平分线交于同一点，叫外心；外心到三角形三个顶点距离相等，是外接圆圆 心。 知识点三 等腰三角形 1. 定义 两边长度相等的三角形称为等腰三角形； 相等两边：腰；第三条边：底边； 两腰夹角：顶角；腰与底边夹角：底角。 2. 两大核心性质 1) 等边对等角：等腰三角形两底角度数相等； 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 3 / 30 2) 三线合一：等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是同一条直线，这条直线也是等腰 三角形唯一对称轴。 3. 判定方法 1) 定义判定：有两边相等的三角形是等腰三角形； 2) 等角对等边：三角形中两个内角相等，则这两个角所对的边长相等，三角形为等腰三角形。 4. 特殊等腰三角形——等边三角形 1. 性质：三边全部相等，三个内角都是 60∘；三条对称轴，同样满足三线合一； 2. 判定： ① 三边都相等； ② 三个内角都相等； ③ 有一个内角是 60∘ 的等腰三角形。 知识点四 最短路径（将军饮马） 1.核心原理 两点之间线段最短；垂线段最短。 基础模型 1：直线同侧两点，求直线上一点使 𝑷𝑨+ 𝑷𝑩 最小 解题方法：作点 𝐴 关于直线 𝑙 的对称点 𝐴′，连接 𝐴′𝐵，与直线 𝑙 交点即为所求 𝑃，此时 𝑃𝐴+ 𝑃𝐵 最 小。 原理：𝑃𝐴= 𝑃𝐴′，𝑃𝐴+ 𝑃𝐵= 𝐴′𝐵，两点之间线段最短。 基础模型 2：直线两侧两点 直接连接两点，线段与直线交点即为最短点，无需作对称。 2.拓展模型 1. 造桥选址：两条平行线间搭建垂直桥梁，平移端点转化为将军饮马； 2. 周长最小问题：三角形、四边形周长最小，需作两次对称，拼接线段求最短； 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 4 / 30 易错点1 求等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系产生易错 易错提醒 易错点总结 1. 已知等腰三角形两边长，直接默认谁是腰、谁是底，不分类讨论。 2. 求出边长后忘记检验三边关系，出现“两短边之和小于第三边”的无效三角形，不舍去错解。 3. 只算一种情况，漏掉另一组合法周长，导致答案不完整。 注意事项总结 1. 等腰三角形边长未知时，必须分两类讨论：① 已知长为腰；② 已知长为底。 2. 每一种情况必须检验三边关系，不满足“两边之和大于第三边”直接舍去。 3. 最终只保留合法图形的周长，杜绝无效解。 【对点训练】1．已知等腰三角形ABC 的底边BC 长为10cm，AC 上的中线BD把其周长分为差是6cm 的两 部分，求等腰三角形ABC 的周长． 【答案】42cm 【分析】本题考查了三角形的周长求解，三角形中线的性质以及三角形三边的关系，分类讨论两部分是哪 一部分减哪一部分是解决本题的关键． 根据中线的性质可得AD CD = ，再分类讨论求出另外两边长度，结合三角形三边的关系进行取舍即可． 【详解】解： BD 为ABC 的边AC 上的中线， AD CD = ． 分两种情况讨论： ①当( ) ( ) 6cm AB AD BD BC CD BD + + − + + = 时， 即 6cm AB BC − = ． 10cm BC = ， ( ) 10 6 16 cm AB = + = ， 周长为 ( ) 16 16 10 42 cm AB AC BC + + = + + = ； ②当( ) ( ) 6cm BC CD BD AB AD BD + + − + + = 时， 即 6cm BC AB − = ． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 5 / 30 10cm BC = ， ( ) 10 6 4 cm AB = − = ， 当 4cm AB = 时，三边长分别为4cm 4cm10cm , , ， 而4 4 10 + ，不能构成三角形，故舍去． 综上，等腰三角形ABC 的周长为42cm ． 易错点2 当等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论产生易错 易错提醒 易错点总结 1. 题目只给一个内角度数，不区分该角是顶角还是底角，直接单解作答。 2. 忽略底角必须是锐角，出现“底角≥90°“的错误角度，不会排除。 3. 角度计算后不验证内角和为 180°，出现逻辑错误。 注意事项总结 1. 已知一个内角求等腰三角形角度，固定分两种情况：该角为顶角 / 该角为底角。 2. 严格遵守规则：等腰三角形最多一个钝角或直角（只能是顶角）。 3. 算出角度后必须验证：三个角和为 180°、底角必须为锐角，不合理解舍去。 【对点训练】2．若等腰三角形的一个角是110，则它的一个底角是______． 【答案】35 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，由题意可得，等腰三角形的顶角为110，再 根据三角形内角和定理及等腰三角形的性质即可求解，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：若110为底角时， 由于110 110 220 180 + = ， ∴110不可能为底角， ∴等腰三角形的顶角为110， ∴等腰三角形的底角为( ) 180 110 2 35 − = ， 故答案为：35． 易错点3 求有关等腰三角形中的多解题没有分类讨论产生易错 易错提醒 易错点总结 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 6 / 30 1.题干只说“等腰三角形”，未明确腰、顶点、位置，学生习惯性默认一种图形，漏多解。 2.动点、找点构造等腰三角形时，不讨论哪两条边相等，导致答案不全。 3.不会三种分类模型，经常少 1～2 种情况丢分。 注意事项总结 1.构造等腰三角形必须三分类： ① PA=PB ② AP=AB ③ BP=AB 2.只要题目没有固定腰和底，一律默认多解，绝不只写一个答案。 3.每种分类单独计算，最后统一舍去不成立、超范围的解。 【对点训练】3．等腰三角形周长为21cm ，若有一边长为9cm，则等腰三角形其它两边长为____． 【答案】6cm，6cm或9cm，3cm 【分析】根据已知周长和一边长，而没有指明这边是否为腰长，分两种情况进行分析求解即可． 【详解】当9cm为腰长时，则另一腰长为9cm， ∴底边长为：21 9 9 3cm −−= ， ∵9 3 9 + ， ∴能构成三角形； 当9cm为底边时，则腰长为：21 9 6cm 2 − = ， ∵6 6 9 + ， ∴能构成三角形． 则等腰三角形其他两边长分别为6cm，6cm或9cm，3cm ． 故答案为：6cm，6cm或9cm，3cm ． 【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系的综合运用，关键是利用三角形三边关系进行 检验． 易错点4 三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论产生易错 易错提醒 易错点总结 1. 题干只说“三角形高线”，默认是锐角三角形的高，忽略钝角三角形高在外部。 2. 高线位置不确定，不区分高在形内、形外，导致角度、边长计算完全错误。 3. 等腰三角形一腰上的高，不会区分顶角锐角、顶角钝角两种图形。 注意事项总结 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 7 / 30 1. 无图题、形状不明题，必须双分类：锐角三角形（高在内部）、钝角三角形（高在外部）。 2. 等腰三角形腰上的高：顶角锐角→高在形内；顶角钝角→高在形外。 3. 有高线参与的角度、长度计算，必须画图辅助，避免思维定式。 【对点训练】4．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40，它的底角为________． 【答案】 65或25 【分析】需分等腰三角形为锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论，分别计算即可得到结果． 【详解】解：分两种情况讨论：当等腰三角形为锐角三角形时，腰上的高在三角形内部，设等腰三角形 AB AC = ，BD为AC 边上的高， BD AC ⊥ ， 90 ADB = ， 40 ABD = ， 90 40 50 A = − = ， AB AC = ， 180 180 50 65 2 2 A ABC C − − = = = = ； 当等腰三角形为钝角三角形时，腰上的高在三角形外部，设等腰三角形AB AC = ，BD为AC 延长线上的高， BD AC ⊥ ， 90 ADB = ， 40 ABD = ， 90 40 50 BAD = − = ， 180 50 130 BAC = − = ， AB AC = ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 8 / 30 180 180 130 25 2 2 BAC ABC C − − = = = = ； 综上所述，该等腰三角形的底角为65或25． 易错点5 等腰三角形中与新定义型问题的多解题没有分类讨论产生易错 易错提醒 易错点总结 1. 遇到新定义（优美三角形、倍角三角形、特征三角形等），只会套常规等腰模型，不会结合新定义分类。 2. 不清楚新定义对应的边、角关系，盲目计算，漏多种符合条件的情况。 3. 忽略新定义限制条件，算出不符合题意的解不剔除。 注意事项总结 1. 新定义题型第一步：先翻译定义，列出边角关系，再结合等腰三角形分类讨论。 2. 严格按照“腰底不明、角度不明、位置不明”三原则全面分类。 3. 所有解必须双重检验：符合等腰性质 + 符合题目新定义要求。 【对点训练】5．定义：经过三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个三角形是 等腰三角形，另外一个三角形和原三角形的三个内角分别相等，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分 割线”． (1)如图1，Rt ABC △ ， 90 C = ， 30 B = ，请在图中画出“和谐分割线”，与Rt ABC △ 一边交于点D ，则 _________是等腰三角形，底角为______度． (2)如图2，在ABC 中，线段CD是ABC 的“和谐分割线”，若ACD 是等腰三角形， 42 A = ，求 B 的度 数． 【答案】(1) ；ADB ；30 (2) B 的度数为54或27． 【分析】 （1）作 CAB 的平分线AD交BC 于点D ，根据三角形内角和得到 30 CAD DAB = = ，可知ACD 的三个内角与ABC 的三个内角相等，根据 DAB B = 可知ABD 是等腰三角形，则AD是“和谐分割线”； 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 9 / 30 （2）分三种情况根据“和谐分割线”的定义计算即可． 【详解】（1）解：作 CAB 的平分线AD交BC 于点D ，图略； 90 C = ， 30 B = ， 60 CAB = ， 30 CAD DAB = = ， 在Rt ACD 中， 60 ADC = ， ACD 的三个内角与ABC 的三个内角相等， 30 DAB B = = ， ∴AD BD = ， ABD △ 是等腰三角形， AD 是“和谐分割线”； （2）解：如图，分三种情况： ①当DA DC = 时， 42 ACD A = = ， ∵CD是ABC 的“和谐分割线”， ∴ 42 42 84 ACB BDC = = + = ∴ 180 42 84 54 B = − − = ； ②当DA AC = 时， ∵ 42 A = ， ∴ 69 ACD ADC = = ， ∵CD是ABC 的“和谐分割线”， ∴ 42 BCD A = = ， 则 69 42 111 ACB = + = ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 10 / ∴ 27 B = ； ③当AC DC = 时， 42 ADC A = = ，则 180 42 138 BDC ACB = − = = ， 那么 180 42 138 0 B = − − = （舍去）， 故 B 的度数为54或27． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 11 / 一、单选题 1．一个等腰三角形的底角是50，则它的顶角为（ ） A．50 B．80 C．50或80 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及内角和； 等腰三角形两个底角相等，已知底角为50，结合三角形内角和180，可求顶角． 【详解】解：∵ 等腰三角形两底角相等，且底角为50， ∴ 两底角之和为50 50 100 + = ， ∴ 顶角 180 100 80 = − = ， 故选：B． 2．如果等腰三角形有一个角是40，则它的顶角是（ ） A．40 B．100 C．140 D．40或100 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形性质，三角形内角和定理，掌握相关知识是解决问题的关键．等腰三角形中， 已知角可能是顶角或底角，需分情况讨论顶角． 【详解】解：∵等腰三角形有一个角是40， ∴当40为顶角时，顶角为40； 当40为底角时，另一个底角也为40，顶角为180 40 40 100 − − = ． ∴顶角为40或100， 故选D． 3．一个等腰三角形的一个内角为70，则它的顶角为（ ） A．70 B．40 C．70或40 D．110 【答案】C 【分析】已知内角没有说明是顶角还是底角，因此需要分两种情况讨论计算． 【详解】分两种情况讨论：情况1：当70的内角为顶角时，顶角就是70； 情况2：当70的内角为底角时， ∴ 顶角为180 2 70 40 − = ； 综上，该等腰三角形的顶角为70或40． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 12 / 4．如图，在等腰ABC 中， , 60 , 90 , AB BC ACB E D AE CD = = = = = ，则 EAD 的值为（ ） A．120 B．135 C．145 D．150 【答案】D 【分析】先证明ABC 为等边三角形，得出AB AC = ， 60 BAC = ，再证明 ( ) Rt Rt HL ABE CAD ≌ ，得 出 CAD ABE = ，求出 90 CAD BAE + = ，即可得出答案． 【详解】解：∵ , 60 AB BC ACB = = ， ∴ABC 为等边三角形， ∴AB AC = ， 60 BAC = ， ∵ 90 , E D AE CD = = = ， ∴ ( ) Rt Rt HL ABE CAD ≌ ， ∴ CAD ABE = ， ∵ 180 90 90 ABE BAE + = − = ， ∴ 90 CAD BAE + = ， ∴ 90 60 150 EAD CAD BAE BAC = + + = + = ． 5．如图，在Rt ABC △ 中， 90 , 5, 15, C AC AB AD = = = 平分 BAC 交BC 于点D，过点D 作DE AD ⊥ 交AB 于点E，点P 是DE 上的动点，点Q 是BD上的动点，则BP PQ + 的最小值为（ ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【分析】过点D 作DH AB ⊥ 于H，并延长DH ，先判断出 ( ) AAS ADH ADC ≌ ，再判断出 BDE HDE = ， 在DH 上取一点Q，使DQ DQ = ，连接PQ BQ ， ，进而判断出 ( ) SAS QDP Q DP ≌ ，得出PQ PQ = ，即 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 13 / 可判断出BQ DH ⊥ 时，BP PQ + 最小，即可求出答案． 【详解】解：如图，过点D 作DH AB ⊥ 于H，并延长DH ， ∴ 90 AHD C = = ， ∵AD是 BAC 的平分线， ∴ DAH DAC = ， ∵AD AD = ， ∴ ( ) AAS ADH ADC ≌ ， ∴ 5 ADH ADC AH AC = = = ， ， ∴ 15 5 10 BH AB AC = − = −= ， ∵DE AD ⊥ ， ∴ 90 ADE = ， ∴ 90 ADC BDE ADH EDH + = = + ， ∴ BDE HDE = ， 在DH 上取一点Q，使DQ DQ = ，连接PQ BQ ， ， ∵DP DP = ， ∴ ( ) SAS QDP Q DP ≌ ， ∴PQ PQ = ， ∴BP PQ BP PQ BQ + = + ，当点B、P、Q共线时取等号， ∵点Q 是动点， ∴当BQ DH ⊥ 时，即点Q与点H 重合，BP PQ + 的值最小，最小值为 10 BH = ． 二、填空题 6．如图，将两个全等的等腰三角形ABC 和ADE 的顶角顶点A重合，且 120 BAC DAE = = ．点A、D 分别在BC 的两侧，AD与BC 交于点M ，DE 分别与BC 、AC 交于点O、N ．当 DOM △ 为等腰三角形时， BAD 的度数为______． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 14 / 【答案】30或75 【分析】先得出 30 B C D E = = = = ，AB AC AE AD = = = ，再分三种情况：①OM DM = ，② OD DM = 和③OM OD = ，根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵在两个全等的等腰三角形ABC 和ADE 中， 120 BAC DAE = = ， ∴ 180 120 30 2 B C D E − = = = = = ，AB AC AE AD = = = ， ①如图1，当OM DM = 时， DOM △ 为等腰三角形， ∴ 30 DOM D = = ， ∴ 180 120 DMO DOM D = − − = ， ∴ 120 AMB DMO = = ， ∴ 180 30 BAD AMB B − − = = ； ②如图2，当OD DM = 时， DOM △ 为等腰三角形， ∴ 180 75 2 D DMO DOM − = = = ， ∴ 75 AMB DMO = = ， ∴ 180 75 BAD AMB B − − = = ； 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 15 / ③如图3，当OM OD = 时， DOM △ 为等腰三角形， ∴ 30 DMO D = = ， ∴ 30 AMB DMO = = ， ∴ 8 120 1 0 AMB BAD B BAC = − −= = ，此时AD与AC 重合，不符合题意，舍去； 综上， BAD 的度数为30或75． 7．等腰三角形的两边长a、b 满足( ) 2 4 8 0 a b − + − = ，则该等腰三角形的周长是________． 【答案】 20 【分析】根据非负数的性质求出a ，b 的值，分情况讨论等腰三角形的腰长，结合三角形三边关系判断能否 构成三角形，进而计算周长. 【详解】解： 2 ( 4) 8 0 a b − + − = ，且 2 ( 4) 0 a − ， 8 0 b − ， 4 0, 8 0 a b − = − = ，解得 4, 8 a b = = ， 该三角形是等腰三角形， 三边长为4,4,8 或8,8,4 ， 4 4 8 + = ，不满足三角形三边关系，该情况不合题意，舍去， 等腰三角形的周长为8 8 4 20 + + = ． 8．如图，在ABC 中，AB AC = ， 120 BAC = ，D 为BC 边上一点，将ABD 沿AD折叠，点B 落在点E 处，AB 的对应边AE 与线段BC 相交于点F ，若DEF 为等腰三角形，则 ADB 的度数为______________． 【答案】127.5或105 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 16 / 【分析】由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出 30 B C = = ，由折叠的性质得出 30 B E = = ， ADB ADE = ， DAB DAF = ， 设 ( ) 0 DAB DAF = = ，由角的和差关系以及三角形内角和定理，三角形外角的定义和性质等知识表 示出 , , E DFE FDE ，再根据等腰三角形的定义分三种情况求解即可． 【详解】解：∵AB AC = ， 120 BAC = ， ∴ ( ) 1 180 30 2 B C BAC = = − = 由折叠的性质可知： 30 B E = = ， ADB ADE = ， DAB DAF = ， 设 ( ) 0 DAB DAF = = ， ∴ 180 150 ADB ADE B DAB = = −− = − ， 2 BAF = ， 30 ADF DAB B = += + ， ∴ ( ) 150 30 120 2 FDE ADE ADF = − = − − + = − ， 30 2 AFC B FAB = + = + ， ∴ 30 2 AFC DFE = = + ， 当DF DE = 时， 则 E DFE = ，即30 30 2 = + ， 解得 0 = ，不符合题意，舍去． 当 = DF EF 时， 则 FDE E =，即120 2 30 − = ， 解得 45 = ， ∴ 150 105 ADB = − = ， 当DE EF = 时， 则 FDE DFE = ，即120 2 30 2 − = + ， 解得 22.5 = ， ∴ 150 127.5 ADB = − = ． 综上： ADB 的度数为127.5或105． 9．如图，等腰ABC 的底边AB 的长为4 ，面积为12，BC 的垂直平分线MN 分别交BC ，AC 于点M ，N ， 若点D为AB 的中点，P 为线段MN 上一动点，则PBD 的周长的最小值为___________． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 17 / 【答案】8 【分析】连接CD，PBD 的周长为BD BP DP + + ，DB为定值，要使PBD 的周长最小，则BP DP + 的值 最小，BC 的垂直平分线为MN ，得到BP CP = ，说明BP DP CP DP CD + = + ，当 , , C P D 三点共线时， CP DP CD + = ，最小，进行求解即可． 【详解】解：∵PBD 的周长为BD BP DP + + ，DB为定值， ∴当BP DP + 的值最小时，PBD 的周长最小， 连接CD PC ， ， ∵BC 的垂直平分线为MN ， ∴BP CP = ， ∴BP DP CP DP CD + = + ， ∴当 , , C P D 三点共线时，CP DP CD + = ， ∵点D 为AB 的中点，AC BC = ， ∴CD AB ⊥ ， 1 2 2 BD AB = = ， ∴ 1 1 4 12 2 2 ABC S AB CD CD = = = ， ∴ 6 CD = ， ∴PBD 的周长的最小值为： 2 6 8 BD BP DP BD CD + + = + = + = ． 10．如图，在ABC 中， 120 BAC = ，AB 的垂直平分线交AB 于点E，交BC 于点F，AC 的垂直平分线 交AC 于点G，交BC 于点H．则 FAH =____________． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 18 / 【答案】 60 【分析】根据三角形内角和定理求出 B C + 的度数，利用线段垂直平分线的性质得出 FAB B =， HAC C = ，最后利用角的和差关系求解． 【详解】解： 在ABC 中， 120 BAC = ， 根据三角形内角和定理，得 180 180 120 60 B C BAC + = − = − = EF 是AB 的垂直平分线， FA FB = . FAB B = 同理可得HA HC = ， HAC C = BAC FAB FAH HAC = + + ， ( ) FAH BAC FAB HAC = − + ( ) FAH BAC B C = − + 120 60 60 FAH = − = ． 三、解答题 11．如图，已知：E 是 AOB 的平分线上一点，EC OB ⊥ ，ED OA ⊥ ，C 、D 是垂足，连接CD，且交OE 于 点F ． (1)求证：OE 是CD的垂直平分线． (2)若 60 AOB = ，请你探究线段OF 与线段EF 之间有什么数量关系？并证明你的结论． 【答案】(1) E 是 AOB 的平分线上一点，EC OB ⊥ ，ED OA ⊥ ， DE CE = ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 19 / ∵OE OE = ， Rt Rt (HL) ODE OCE ≌ ， OD OC = ， DOC △ 是等腰三角形， OE 是 AOB 的平分线， OE 是CD的垂直平分线； (2) OE 是 AOB 的平分线， 60 AOB = ， 30 AOE BOE = = ， EC OB ⊥ ，ED OA ⊥ ， 2 OE DE = ， 60 ODF OED = = ， 30 EDF = ， 2 DE EF = ， 4 OE EF = ， 3 OF EF = ． 【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质得出Rt Rt (HL) ODE OCE ≌ ，OD OC = ，确定DOC 是等腰三角形， 再由等腰三角形的性质即可证明； （2）根据题意得出 30 AOE BOE = = ，确定 2 OE DE = ， 60 ODF OED = = ，确定 4 OE EF = ，即可 证明． 【详解】（1）略 （2）略 12．（1）如图1，线段OA的一个端点O 在直线l 上，且与直线l 所成的锐角为50°，以OA为一边画等腰三 角形，并且使另一个顶点P 在直线l 上，这样的等腰三角形能画 个． （2）如图1，如果OA与直线l 所成的锐角为60°，以OA为一边画等腰三角形，并使另一个顶点P 在直线l 上，这样的等腰三角形能画 个． 想一想：如图2，ABC 中， 20 50 A B = = ， ，过顶点C 作一条直线，分割出一个等腰三角形这样的 直线最多可以画 条． 算一算：如图3，在ABC 中， 10 BAC = ，若存在过点C 的一条直线，能把该三角形分成两个等腰三角 形，试求∠B 的度数． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 20 / 【答案】（1）4；（2）2；想一想：5；算一算：5°或20°或80°或140°或42.5°． 【分析】（1）根据等腰三角形的定义，两条边相等的三角形是等腰三角形即可得到结论； （2）同（1）原理，理论上可以画4 个，但是 2 3 4 P P P 、、 重合，由此即可得到答案； 想一想：分五种情况：①当AC AF = ，②当BC BE = ，③当CB CG = ，④当AD CD = ，⑤CH BH = 时， 于是得到结论； 算一算：如图3，当AD CD = ，分三种情况：①当CD BD = 时；②当CD BC = 时；③当BD BC = 时；如图 4，当AC AE CE BE = = ， 时；如图5，当AC CE CE BE = = ， 时，根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：（1）如图1，① 1 AO OP = ，② 2 AO AP = ；③ 3 AO OP = ，④ 4 4 AP OP = ，这样的等腰三角形能 画4 个． 故答案为：4； （2）同（1）可知满足题意的点有4 个， ∵OA与直线l 所成的锐角为60°， ∴ 2 3 4 AOP AOP AOP △ 、△ 、△ 都是等边三角形， ∴ 2 3 4 P P P 、、 三点重合， ∴满足题意的点只有2 个， 故答案为：2； 想一想：①当AC AF = ，②当BC BE = ，③当CB CG = ，④当AD CD = ，⑤CH BH = 时，过顶点C 作 一条直线，能分割出一个等腰三角形， ∴过顶点C 作一条直线，分割出一个等腰三角形这样的直线最多可以画5 条， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 21 / 故答案为：5； 算一算：如图3，当AD CD = 时， ∴ 10 ACD A = = ， ∴ 20 CDB ACD A = + = ∠ ∠ ， ∴①当CD BD = 时， 180 80 2 CDB B BCD − = = = ∠ ； ②当CD BC = 时， 20 B CDB = = ； ③当BD BC = 时， 180 20 20 140 B = − − = ； 如图4，①当AC AE = ，CE BE = 时， ∵ 10 A = ， ∴ 180 85 2 A ACE AEC − = = = ， ∴ 1 42.5 2 B BCE AEC = = = ∠ ， 如图5 所示，当AC CE CE BE = = ， 时， ∴ 10 CEA A = = ∠ ∠ ， ∴ 1 5 2 B BCE AEC = = = ∠ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 22 / 综上所述，存在过点C 的一条直线，能把该三角形分成两个等腰三角形，∠B 的度数为5°或20°或80°或140° 或42.5°． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质与定义，三角形内角和定理，熟知等腰三角形的性质是解题的 关键． 13．【阅读材料】小明同学发现一个规律：两个共顶点且顶角相等的等腰三角形，底角顶点连起来，在相对 位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，小明把具有这种规律的图形称为“手拉手模型”． 【材料理解】（1）如图1，ABC 与ADE 都是等腰三角形，AB AC = ，AD AE = ，且 BAC DAE = ，证 明：BD CE = ． 【深入研究】（2）ABC 与ADE 都是等腰三角形，AB AC = ，AD AE = ，且 90 BAC DAE = = ，证明： BD CE ⊥ ； 【深化模型】（3）如图3，AB BC = ， 60 ABC BDC = = ， 16 7 BD CD = = ， ，求AD的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）9 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定等知识，综合性强，难度较大． （1）证明 BAD CAE = ，进而证明 ( ) ABD ACE SAS ≌ ，即可得到BD CE = ； （2）证明 CAE BAD = ，进而证明 ( ) ABD ACE SAS ≌ ，得到 ABD ACE = ，根据 BPC ABD BAC ACE + = + 得到 90 BPC BAC = = ，问题得证； （3）在BD上截取 7 DE DC = = ，连接 , EC AC ，则 16 7 9 BE BD DE = − = − = ．先证明ABC ，DEC 都是 等腰三角形，得到 , , 60 BC AC EC DC BCA ECD = = = = ，进而证明 ( ) BCE ACD SAS ≌ ，即可求出 9 BE AD = = ． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 23 / 【详解】解：（1）∵ BAC DAE = ， ∴ BAC DAC DAE DAC − = − ， 即 BAD CAE = ， 在ABD 和 ACE △ 中， AB AC BAD CAE AD AE = = = ， ∴ ( ) ABD ACE SAS ≌ ， ∴BD CE = ； （2） ∵ 90 BAC DAE = = ， ∴ BAC BAE DAE BAE + = + ， ∴ CAE BAD = ， 在ABD 和 ACE △ 中， AB AC BAD CAE AD AE = = = ∴ ( ) ABD ACE SAS ≌ ， ∴ ABD ACE = ， ∵ BPC ABD BAC ACE + = + ， ∴ 90 BPC BAC = = ， ∴BD CE ⊥ ； （3）如图，在BD上截取 7 DE DC = = ，连接 , EC AC ，则 16 7 9 BE BD DE = − = − = ． ∵AB BC = ，DE DC = ， 60 ABC BDC = = ， ∴ABC ，DEC 都是等腰三角形， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 24 / ∴ , , 60 BC AC EC DC BCA ECD = = = = ， ∴ BCA ACE ECD ACE − = − ， 即 BCE ACD = ． 在BCE 和ACD 中， BC AC BCE ACD EC DC = = = ∴ ( ) BCE ACD SAS ≌ ， ∴ 9 BE AD = = ． 14．阅读与思考 下面是小明同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 内嵌共边等腰三角形组【概念理解】 如果两个等腰三角形有一条公共边，且其中较小的等腰三角形的另一个顶点落在外侧较 大等腰三角形的某一边上，那么称二者为内嵌共边等腰三角形组． 例如，图1 中的ABC 和CBD 均为等腰三角形，AB AC = ，CD CB = ，且CBD 的顶点D 在ABC 的边AB 上，我们称图1 中ABC 和CBD 为内嵌共边等腰三角形组． 【问题解决】 问题1：在如图1 中，若CD平分 ACB ，则 A =__________°． 问题2：如图2，ABC 中， 30 ACB = ，点E 为平面内ABC 外一点（与点A不重合）， 连接AE ，CE ，CE AC = ．作CE 的垂直平分线FG ，垂足为G ，交直线BC 于F ，当点 F 在直线AE 上时，求 AEC 的度数． 在研究过程中，小明同学利用图形的旋转得到满足条件的图形，如图3． 任务： (1)问题1 中的 A =__________°； (2)求出图3 中 AEC 的度数； 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 25 / (3)补全问题2 的情况，在草稿纸上画出图形并在答题纸上直接写出 AEC 的度数． 【答案】(1)36 (2)70 (3) 50 AEC = 或10 【分析】（1）设 ACD x = ，根据角平分的意义和等腰三角形两底角相等，可以用x 的代数式表示其它的角， 再根据三角形内角和等于180即可列出方程，求出答案； （2）设 AEC x = ，由垂直平分线的性质，可到等腰三角形，再根据等腰三角形两底角相等，可以用x 的 代数式表示其它的角，再利用角的等量关系列方程求解即可； （3）分两种情况，情况一：当E 在BC 下方，F 落在C 点左侧，情况二：当E 在BC 下方，F 落在C 点右 侧，画出对应图形，利用角之间的数量关系列方程求解即可． 【详解】（1） CD 平分 ACB ， 设 ACD BCD x = = ， AC AB = ， 2 B ACB x = = ， CD BC = ， 2 CDB B x = = ， 180 CDB B BCD ++ = ， 2 2 180 x x x + + = ， 36 x = ， 72 ACB B = = ， 180 36 A ACB B = − −= ． （2）设 AEC x = ， AC CE = ， EAC AEC x = = ， 180 2 ACE x = − ， 30 ACB = ， 180 2 30 210 2 ECF x x = − + = − ， FG 是EC 的垂直平分线， FC FE = ， ECF AEC = ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 26 / 210 2x x − = ， 70 x = ， 即 70 AEC = ． （3）解：当E 在BC 下方，F 落在C 点左侧时，如图所示 设 EAC x = . AC CE = ， E x = ， FG 是EC 的垂直平分线， EF CF = ， BCE E x = = ， 30 ACE ACB BCE x = + = + ， 180 E ACE EAC + + = ， 30 180 x x x + + + = ， 50 x = ， 50 AEC = ， 当E 在BC 下方，F 落在C 点右侧时，如图所示， 设 AEC x = ， AC CE = ， CAE x = ， FG 垂直平分CE ， CF EF = ， FCE AEC x = = ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 27 / 2 AFC AEC FCE x = + = ， 3 ACB CAE AFC x = + = ， 3 30 x = ， 10 x = ， 10 AEC = ， 50 AEC = 或10． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和垂直平分线的性质，解决第三小题的关键是根据条件进行分类讨 论并画出对应的图形． 15．【理解问题】 如图1，在ABC 和DBC 中，AB AC = ，DB DC = ，点A，D 在底边BC 的同侧．我们把具有这种位置关 系的两个等腰三角形．叫做美好等腰三角形，在美好等腰三角形中，两个三角形中腰的夹角叫做腰角，连 接顶角顶点的线段叫做轴线．如图1 中 ABD 和 ACD 是腰角，线段AD是轴线． (1)【拟定计划】 小颖通过测量、折纸的方法猜想美好等腰三角形有以下性质：美好等腰三角形的两个腰角相等，轴线所在 的直线垂直平分底边．小颖利用图1 给出如下已知、求证，请帮助小颖完成证明． 已知：如图1，ABC 和DBC 是美好等腰三角形，连接AD．求证：ABD ACD = ，AD所在直线是线段BC 的垂直平分线． (2)【实施计划】 如图2，在ABC 中，AB AC = ，点D 在AB 上， 45 ACD = ，AE CD ⊥ ，垂足为E ，AE 的延长线与BC 交于点F ，点G 在线段DC 上，且EG EF = ，连接BG ．求证：ABC 和GBC 是美好等腰三角形． (3)【回顾反思】小颖反思证明思路，在图2 的基础上继续探究：分别连接DF ，FG ，若DF FG = ，请直 接写出 BAC 的度数． 【答案】(1)证明： ABC 和DBC 是美好等腰三角形， AB AC = ，DB DC = ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 28 / DBC DCB = ， B ABC AC = ∠ ， ABC DBC ACB DCB − = − ，即 ACD ABD = ． AB AC = ∵ ， 点A在线段BC 的垂直平分线上． DB DC = ， 点D 在线段BC 的垂直平分线上， ABD ACD = ，AD所在直线是线段BC 的垂直平分线； (2)证明：如图，作射线AG 交BC 于点H ． AE CD ⊥ ， 90 AEG CEF = = ． 90 GAE AGE + = . 45 ACE = ， 90 45 CAE ACE = − = ． CAE ACE = ． AE CE = ． EF EG = ， ( ) SAS AEG CEF ≌ ． FCE GAE = ． = CGH AGE， 90 + = FCE CGH ． 180 90 GHC CGH FCE = − − = ． AH BC ⊥ ． AB AC = ∵ ， BH CH = ． GB GC = ． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 29 / 点G 在线段DC 上，且EG EF = ，则ABC 和GBC 是美好等腰三角形 (3) 60 BAC = 【分析】（1）利用美好等腰三角形的性质得 , AB AC DB DC = = ，得 ABC ACB = ，DBC DCB = ，从而有 ABD ACD = ；再由 , AB AC DB DC = = ，结合线段垂直平分线的判定即可证明； （2）作射线AG 交BC 于点H ．由已知 CAE ACE = ，则AE CE = ．再证明 AEG CEF ≌ △ △ 得 GAE FCE = ， 即可得证； （3）证明AF 垂直平分DG 得AD AG = ，从而 DAE GAE = ，设 DAE GAE = = ，根据 45 CAE = 可 求出 15 = ，进而可求出 BAC 的度数. 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图3， ∵AE CD ⊥ ， ∴FE DG ⊥ ， ∵EG EF = ， ∴ 45 EGF EFG = = ． ∵DF FG = ，FE DG ⊥ ， ∴AF 垂直平分DG ， ∴AD AG = ， ∴ DAE GAE = ． 设 DAE GAE = = ． ∵AB AC = ，AH BC ⊥ ， ∴ 2 CAH BAH = = ． ∵ 45 CAE = ， ∴ 2 45 + = ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 30 / ∴ 15 = ， ∴ 4 15 60 BAC = = .
