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第十五章 轴对称
知识点一 轴对称图形
1. 基础概念
1)
轴对称图形
单个图形沿一条直线__________，直线两侧部分能够__________，这个图形就是轴对称图形，这条
直线叫__________。
例：圆、等腰三角形、正方形、角、线段。
2)
两个图形成轴对称
两个独立图形，沿某条直线折叠后能够完全重合，称这两个图形关于这条直线对称。
2. 核心性质
① 对称点连线被对称轴__________；
② 对称线段__________、对称角__________，对称的两个图形__________；
③ 若两条对称线段相交，交点一定落在对称轴上。
3. 画轴对称图形步骤
① 标出原图顶点、拐点等关键点；
② 过每个关键点作对称轴垂线，延长截取等长，得到对称点；
③ 按原图顺序依次连接所有对称点，得到对称图形。
知识点二 线段垂直平分线
1. 定义
既__________于线段，又__________该线段的直线，叫做线段的垂直平分线（中垂线）。
2. 性质定理
若点在线段垂直平分线上，则该点到线段两个端点的__________相等。
用途：直接证明两条线段相等。
3. 判定定理
若一个点到一条线段两个端点距离相等，则这个点一定在这条线段的垂直平分线上。
用途：证明直线是垂直平分线、证明点共线。
4. 拓展
任意三角形三条边的垂直平分线交于同一点，叫__________；外心到三角形三个顶点__________相
等，是外接圆圆心。
知识点三 等腰三角形
1. 定义
两边__________相等的三角形称为等腰三角形；
相等两边：__________；第三条边：__________；
两腰夹角：__________；腰与底边夹角：__________。
2. 两大核心性质
1)
等边对等角：等腰三角形两底角__________相等；
2)
三线合一：等腰三角形顶__________、底边上的__________、底边上的__________是同一条直
线，这条直线也是等腰三角形唯一__________。
3. 判定方法
1)
定义判定：有__________相等的三角形是等腰三角形；
2)
等角对等边：三角形中两个__________相等，则这两个角所对的__________相等，三角形为等腰
三角形。
4. 特殊等腰三角形——等边三角形
1.
性质：三边全部相等，三个内角都是 60∘；三条对称轴，同样满足三线合一；
2.
判定：
① __________都相等；
② __________都相等；
③ 有一个内角是__________ 的__________三角形。
知识点四 最短路径（将军饮马）
1.核心原理
两点之间线段最短；垂线段最短。
基础模型 1：直线同侧两点，求直线上一点使 𝑷𝑨+ 𝑷𝑩 最小
解题方法：作点 𝐴 关于直线 𝑙 的对称点 𝐴′，连接 𝐴′𝐵，与直线 𝑙 交点即为所求 𝑃，此时 𝑃𝐴+ 𝑃𝐵
最小。
原理：𝑃𝐴= 𝑃𝐴′，𝑃𝐴+ 𝑃𝐵= 𝐴′𝐵，两点之间线段最短。
基础模型 2：直线两侧两点
直接连接两点，线段与直线交点即为最短点，无需作对称。
2.拓展模型
1.
造桥选址：两条平行线间搭建垂直桥梁，平移端点转化为将军饮马；
2.
周长最小问题：三角形、四边形周长最小，需作两次对称，拼接线段求最短；
易错点1 求等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系产生易错
易错提醒
易错点总结
1. 已知等腰三角形两边长，直接默认谁是腰、谁是底，不分类讨论。
2. 求出边长后忘记检验三边关系，出现“两短边之和小于第三边”的无效三角形，不舍去错解。
3. 只算一种情况，漏掉另一组合法周长，导致答案不完整。
注意事项总结
1. 等腰三角形边长未知时，必须分两类讨论：① 已知长为腰；② 已知长为底。
2. 每一种情况必须检验三边关系，不满足“两边之和大于第三边”直接舍去。
3. 最终只保留合法图形的周长，杜绝无效解。
【对点训练】1．已知等腰三角形ABC 的底边BC 长为10cm，AC 上的中线BD 把其周长分为差是6cm 的两
部分，求等腰三角形ABC 的周长．
易错点2 当等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论产生易错
易错提醒
易错点总结
1. 题目只给一个内角度数，不区分该角是顶角还是底角，直接单解作答。
2. 忽略底角必须是锐角，出现“底角≥90°“的错误角度，不会排除。
3. 角度计算后不验证内角和为 180°，出现逻辑错误。
注意事项总结
1. 已知一个内角求等腰三角形角度，固定分两种情况：该角为顶角 / 该角为底角。
2. 严格遵守规则：等腰三角形最多一个钝角或直角（只能是顶角）。
3. 算出角度后必须验证：三个角和为 180°、底角必须为锐角，不合理解舍去。
【对点训练】2．若等腰三角形的一个角是110°，则它的一个底角是______．
易错点3 求有关等腰三角形中的多解题没有分类讨论产生易错
易错提醒
易错点总结
1.题干只说“等腰三角形”，未明确腰、顶点、位置，学生习惯性默认一种图形，漏多解。
2.动点、找点构造等腰三角形时，不讨论哪两条边相等，导致答案不全。
3.不会三种分类模型，经常少 1～2 种情况丢分。
注意事项总结
1.构造等腰三角形必须三分类：
① PA=PB ② AP=AB ③ BP=AB
2.只要题目没有固定腰和底，一律默认多解，绝不只写一个答案。
3.每种分类单独计算，最后统一舍去不成立、超范围的解。
【对点训练】3．等腰三角形周长为21cm ，若有一边长为9cm ，则等腰三角形其它两边长为____．
易错点4 三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论产生易错
易错提醒
易错点总结
1. 题干只说“三角形高线”，默认是锐角三角形的高，忽略钝角三角形高在外部。
2. 高线位置不确定，不区分高在形内、形外，导致角度、边长计算完全错误。
3. 等腰三角形一腰上的高，不会区分顶角锐角、顶角钝角两种图形。
注意事项总结
1. 无图题、形状不明题，必须双分类：锐角三角形（高在内部）、钝角三角形（高在外部）。
2. 等腰三角形腰上的高：顶角锐角→高在形内；顶角钝角→高在形外。
3. 有高线参与的角度、长度计算，必须画图辅助，避免思维定式。
【对点训练】4．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，它的底角为________．
易错点5 等腰三角形中与新定义型问题的多解题没有分类讨论产生易错
易错提醒
易错点总结
1. 遇到新定义（优美三角形、倍角三角形、特征三角形等），只会套常规等腰模型，不会结合新定义分类。
2. 不清楚新定义对应的边、角关系，盲目计算，漏多种符合条件的情况。
3. 忽略新定义限制条件，算出不符合题意的解不剔除。
注意事项总结
1. 新定义题型第一步：先翻译定义，列出边角关系，再结合等腰三角形分类讨论。
2. 严格按照“腰底不明、角度不明、位置不明”三原则全面分类。
3. 所有解必须双重检验：符合等腰性质 + 符合题目新定义要求。
【对点训练】5．定义：经过三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个三角形是
等腰三角形，另外一个三角形和原三角形的三个内角分别相等，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分
割线”．
(1)如图1，Rt
ABC
△
，
90
C
Ð
=
° ，
30
B
Ð
=
° ，请在图中画出“和谐分割线”，与Rt
ABC
△
一边交于点D ，则
_________是等腰三角形，底角为______度．
(2)如图2，在ABC
V
中，线段CD是ABC
V
的“和谐分割线”，若ACD
V
是等腰三角形，
42
A
Ð
=
° ，求
B
Ð 的度
数．
一、单选题
1．一个等腰三角形的底角是50°，则它的顶角为（ ）°
A．50°
B．80°
C．50°或80°
D．不能确定
2．如果等腰三角形有一个角是40°，则它的顶角是（ ）
A．40°
B．100°
C．140°
D．40°或100°
3．一个等腰三角形的一个内角为70°，则它的顶角为（ ）
A．70°
B．40°
C．70°或40°
D．110°
4．如图，在等腰ABC
V
中，
,
60 ,
90 ,
AB
BC
ACB
E
D
AE
CD
=
Ð
=
° Ð
= Ð
=
°
=
，则
EAD
Ð
的值为（ ）
A．120°
B．135°
C．145°
D．150°
5．如图，在Rt
ABC
△
中，
90 ,
5,
15,
C
AC
AB
AD
Ð
=
°
=
=
平分
BAC
Ð
交BC 于点D，过点D 作DE
AD
^
交AB
于点E，点P 是DE 上的动点，点Q 是BD 上的动点，则BP
PQ
+
的最小值为（ ）
A．5
B．10
C．15
D．20
二、填空题
6．如图，将两个全等的等腰三角形ABC
V
和ADE
V
的顶角顶点A 重合，且
120
BAC
DAE
Ð
= Ð
=
° ．点A 、D
分别在BC 的两侧，AD 与BC 交于点M ，DE 分别与BC 、AC 交于点O 、N ．当
DOM
△
为等腰三角形时，
BAD
Ð
的度数为______．
7．等腰三角形的两边长a、b 满足
2
4
8
0
a
b
-
+
-
=
，则该等腰三角形的周长是________．
8．如图，在ABC
V
中，AB
AC
=
，
120
BAC
Ð
=
° ，D 为BC 边上一点，将ABD
V
沿AD 折叠，点B 落在点E
处，AB 的对应边AE 与线段BC 相交于点F ，若DEF
V
为等腰三角形，则
ADB
Ð
的度数为______________．
9．如图，等腰ABC
V
的底边AB 的长为4 ，面积为12，BC 的垂直平分线MN 分别交BC ，AC 于点M ，
N ，若点D 为AB 的中点，P 为线段MN 上一动点，则PBD
V
的周长的最小值为___________．
10．如图，在ABC
V
中，
120
BAC
Ð
=
° ，AB 的垂直平分线交AB 于点E，交BC 于点F，AC 的垂直平分线
交AC 于点G，交BC 于点H．则
FAH
Ð
= ____________．
三、解答题
11．如图，已知：E 是
AOB
Ð
的平分线上一点，EC
OB
^
，ED
OA
^
，C 、D 是垂足，连接CD，且交OE
于点F ．
(1)求证：OE 是CD的垂直平分线．
(2)若
60
AOB
Ð
=
°，请你探究线段OF 与线段EF 之间有什么数量关系？并证明你的结论．
12．（1）如图1，线段OA的一个端点O 在直线l 上，且与直线l 所成的锐角为50°，以OA为一边画等腰三
角形，并且使另一个顶点P 在直线l 上，这样的等腰三角形能画 个．
（2）如图1，如果OA与直线l 所成的锐角为60°，以OA为一边画等腰三角形，并使另一个顶点P 在直线l
上，这样的等腰三角形能画 个．
想一想：如图2，ABC
V
中，
20
50
A
B
Ð
=
°
Ð
=
°
，
，过顶点C 作一条直线，分割出一个等腰三角形这样的
直线最多可以画 条．
算一算：如图3，在ABC
V
中，
10
BAC
Ð
=
° ，若存在过点C 的一条直线，能把该三角形分成两个等腰三角
形，试求∠B 的度数．
13．【阅读材料】小明同学发现一个规律：两个共顶点且顶角相等的等腰三角形，底角顶点连起来，在相对
位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，小明把具有这种规律的图形称为“手拉手模型”．
【材料理解】（1）如图1，ABC
V
与ADE
V
都是等腰三角形，AB
AC
=
，AD
AE
=
，且
BAC
DAE
Ð
= Ð
，证
明：BD
CE
=
．
【深入研究】（2）ABC
V
与ADE
V
都是等腰三角形，AB
AC
=
，AD
AE
=
，且
90
BAC
DAE
Ð
= Ð
=
°，证明：
BD
CE
^
；
【深化模型】（3）如图3，AB
BC
=
，
60
ABC
BDC
Ð
= Ð
=
°，
16
7
BD
CD
=
=
，
，求AD 的长．
14．阅读与思考
下面是小明同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务．
内嵌共边等腰三角形组【概念理解】
如果两个等腰三角形有一条公共边，且其中较小的等腰三角形的另一个顶点落在外侧较
大等腰三角形的某一边上，那么称二者为内嵌共边等腰三角形组．
例如，图1 中的ABC
V
和CBD
V
均为等腰三角形，AB
AC
=
，CD
CB
=
，且CBD
V
的顶点D
在ABC
V
的边AB 上，我们称图1 中ABC
V
和CBD
V
为内嵌共边等腰三角形组．
【问题解决】
问题1：在如图1 中，若CD平分
ACB
Ð
，则
A
Ð
= __________°．
问题2：如图2，ABC
V
中，
30
ACB
Ð
=
o，点E 为平面内ABC
V
外一点（与点A 不重合），
连接AE ，CE ，CE
AC
=
．作CE 的垂直平分线FG ，垂足为G ，交直线BC 于F ，当点
F 在直线AE 上时，求
AEC
Ð
的度数．
在研究过程中，小明同学利用图形的旋转得到满足条件的图形，如图3．
任务：
(1)问题1 中的
A
Ð
= __________°；
(2)求出图3 中
AEC
Ð
的度数；
(3)补全问题2 的情况，在草稿纸上画出图形并在答题纸上直接写出
AEC
Ð
的度数．
15．【理解问题】
如图1，在ABC
V
和DBC
V
中，AB
AC
=
，DB
DC
=
，点A ，D 在底边BC 的同侧．我们把具有这种位置关
系的两个等腰三角形．叫做美好等腰三角形，在美好等腰三角形中，两个三角形中腰的夹角叫做腰角，连
接顶角顶点的线段叫做轴线．如图1 中
ABD
Ð
和
ACD
Ð
是腰角，线段AD 是轴线．
(1)【拟定计划】
小颖通过测量、折纸的方法猜想美好等腰三角形有以下性质：美好等腰三角形的两个腰角相等，轴线所在
的直线垂直平分底边．小颖利用图1 给出如下已知、求证，请帮助小颖完成证明．
已知：如图1，ABC
V
和DBC
V
是美好等腰三角形，连接AD ．求证：ABD
ACD
Ð
= Ð
，AD 所在直线是线段BC
的垂直平分线．
(2)【实施计划】
如图2，在ABC
V
中，AB
AC
=
，点D 在AB 上，
45
ACD
Ð
=
° ，AE
CD
^
，垂足为E ，AE 的延长线与BC
交于点F ，点G 在线段DC 上，且EG
EF
=
，连接BG ．求证：ABC
V
和GBC
V
是美好等腰三角形．
(3)【回顾反思】小颖反思证明思路，在图2 的基础上继续探究：分别连接DF ，FG ，若DF
FG
=
，请直
接写出
BAC
Ð
的度数．
