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2026-2027 学年九年级上册数学单元自测(内蒙古专用)
第二十九章 圆
建议用时：90 分钟，满分：100 分
一、选择题（本大题共8 小题，每小题3 分，共24 分）
1.下列说法中，正确的是( )
A. 圆的每条直径都是它的对称轴
B. 与圆相交的直线是圆的对称轴
C. 与直径相交的直线是圆的对称轴
D. 经过圆心的直线是圆的对称轴
【答案】：D
【分析】：圆的对称轴定义：经过圆心的直线是圆的对称轴，直径是线段，不能称作对称轴。
【详解】：
A：直径是线段，对称轴是直线，错误；
B：仅相交不经过圆心的直线不是对称轴，错误；
C：与直径相交但不过圆心的直线不是对称轴，错误；
D：经过圆心的直线是圆的对称轴，正确。
故选 D。
2.用反证法证明“三角形的三个外角中至少有两个钝角”时，假设正确的是( )
A. 假设三个外角都是钝角
B. 假设三个外角中至少有一个钝角
C. 假设三个外角中至多有两个钝角
D. 假设三个外角中至多有一个钝角
【答案】：D
【分析】：反证法第一步，否定结论。原结论 “至少有两个钝角”，反面为 “至多有一个钝角”。
【详解】：“至少两个” 的否定是 “最多一个”，即假设三个外角中至多有一个钝角，选 D。
3.如图，CD是⊙O的直径，E是⊙O上一点，∠A = 24∘，A为DC延长线上一点，且AB = OC，则∠DOE的度
数是( )．
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A. 48∘
B. 60∘
C. 72∘
D. 84∘
【答案】C
【分析】等腰三角形性质、三角形外角定理、圆半径相等。
【详解】连接OB，
如图．∵AB = OC，OB = OC，
∴AB = OB，
∴∠A = ∠1，而∠2 = ∠A + ∠1，
∴∠2 = 2∠A.
∵OB = OE，
∴∠2 = ∠E，
∴∠E = 2∠A，
∴∠DOE = ∠A + ∠E = 3∠A = 72∘.
故选C．
4.如图，点A，B，C，D，E均在⊙O上，且BD经过圆心O，连接AB，AE，CE，若∠B + ∠E = 150°，则CD
⌢所对
的圆心角的度数为 ( )
A. 30°
B. 40°
C. 50°
D. 60°
【答案】D
【分析】圆内接四边形对角互补、圆周角定理，直径所对圆周角为直角。
【详解】连接AE，
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∵BD是直径
∴∠BAD = 90∘；
四边形ABCE内接于圆，∠ABC + ∠AEC = 180∘，∠AEC = ∠AED + ∠CED；
已知∠B + ∠AED = 150∘，
得∠CED = 30∘；
CD
⌢
所对圆心角= 2∠CED = 60∘。
故选 D。
5.已知⊙O的半径r为3，点P到圆心O的距离恰好是方程x2 −7x + 10 = 0的解，则点P与⊙O的位置关系是
( )
A. 点P在⊙O内部
B. 点P在⊙O外部
C. 点P在⊙O内部或点P在⊙O外部
D. 点P在⊙O上或点P在⊙O外部
【答案】C
【分析】解一元二次方程，比较点到圆心距离与半径大小判断位置。
【详解】
解方程x2 −7x + 10 = 0，得x1 = 2，x2 = 5，
设点P到圆心O的距离为d，则d = 2或5．
当r = 3，d = 2时，r > d，
∴点P在圆O内部;
当r = 3，d = 5时，r < d，
∴点P在圆O外部．
∴点P在⊙O内部或点P在⊙O外部，
故选C．
6.如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一动点，则线段OM的长的取值范围是( )
A. 3 ≤OM ≤5
B. 4 ≤OM ≤5
C. 3 < OM < 5
D. 4 < OM < 5
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【答案】B
【分析】分析：垂线段最短，直径为最长距离。
【详解】当点M与点A(或点B)重合时，OM最长，此时OM为半径．
∵⊙O的直径为10，∴半径为5，∴OM的最大值为5．
如图，
当OM ⊥AB时，OM最短，连接OA．
∵OM ⊥AB，∴AM = BM．∵AB = 6，∴AM = 3．
在Rt △AOM中，OM = √ OA2 −AM2 = √ 52 −32 = 4．
综上，OM的长的取值范围是4 ≤OM ≤5.
故选B．
7.如图，在△ABC中，∠ACB = 90°，∠ABC = 30°，AB = 2.将△ABC绕直角顶点C逆时针旋转60°得△A′B′C，
则点B转过的路径长为( )
A.
π
3
B. √ 3π
3
C.
2π
3
D. π
【答案】B
【分析】旋转路径为扇形弧长，弧长公式l =
nπR
180。
【详解】
Rt △ABC，∠ABC = 30∘, AB = 2，
∴BC = √3；
旋转角n = 60∘，半径BC = √3；
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弧长l =
60⋅π⋅√3
180
= √3π
3 ，
选 B。
8.如图，蒙古包可以近似看成是由圆锥和圆柱两部分组成，若用毛毡搭建一个底面半径为5m、圆柱高3m、
圆锥高2m的蒙古包，则需要毛毡的面积为( )
A. (30 + 5√ 29)πm2
B. 40πm2
C. (30 + 5√ 21)πm2 D. 55πm2
【答案】A
【分析】蒙古包毛毡 = 圆柱侧面积 + 圆锥侧面积，不含底面。
【详解】底面半径r = 5，圆柱高h1 = 3，圆锥高h2 = 2；
圆锥母线l = √52 + 22 = √29；
圆柱侧面积：2πrh1 = 30π；
圆锥侧面积：πrl = 5√29π；
总面积：(30 + 5√29)πm2，
选 A。
二、填空题：本题共4 小题，每小题3 分，共12 分。
9.如图，点A，B，C，D，E都在⊙O上，BE是直径，BE//CD，若∠E = 24∘，则∠A的度数为 。
【答案】66∘
【分析】平行线内错角、同弧所对圆周角相等。
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【详解】
∵𝐵𝐸∥𝐶𝐷
∴∠C = ∠E = 24∘；
∵DE
⌢
对应∠C、∠DAE，
∴∠DAE=∠C = 24∘
∵BE直径
∴∠BAE = 90∘，
∴∠BAD = 90∘−24 = 66∘。
10.圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺按如图所示的方式进行测量，
测得AB = 12cm，BC = 5cm，则圆形镜面的半径为 ．
【答案】
13
2 cm
【分析】90° 圆周角所对弦为直径，勾股定理。
【详解】∠ABC = 90∘，AC为圆形镜面直径；
AC = √AB2 + BC2 = √122 + 52 = 13，
∴半径=
13
2 cm。
11.如图是一个古代车轮的一部分，小明为求其外圆半径，连接外圆上的两点A，B，作外圆半径OC ⊥弦AB于
点D.测得CD = 10cm，AB = 60cm，则这个车轮的外圆半径长是 ．
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【答案】50cm
【分析】本题考查了垂径定理与勾股定理
【详解】如图，连接OA．
∵外圆半径OC ⊥弦AB，AB = 60cm，
∴AD =
1
2 AB = 30cm．
设外圆半径为rcm，则OD = (r −10)cm，
在Rt △ADO中，根据勾股定理得
r2 = (r −10)2 + 302，
解得r = 50．
∴这个车轮的外圆半径长为50cm．
12.如图，圆锥的底面圆圆心为O，顶点为A，母线l长为4，母线l与高AO的夹角为30∘，那么圆锥侧面展开图
的面积为 ．
【答案】8π
【分析】圆锥侧面积公式S = πrl。
【详解】∵母线l与高AO的夹角为30∘，母线l长为4，
∴圆锥的底面圆的半径=
1
2 × 4 = 2，
∴圆锥侧面展开图的面积= π × 2 × 4 = 8π．
三、解答题：本题共6 小题，共64 分。
13.(10 分)
如图，破残的圆形轮片上有三点A，B，C．
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(1)请用直尺和圆规画出该轮片的圆心(不写作法，保留作图痕迹);
(2)若△ABC是等腰三角形，底边BC = 16cm，腰AB = 10cm，求圆片的半径R．
【答案】
(1)【解】如图,点O 即为所求.
(2)如图,连接OA 交BC 于点D.连接OB,OC.
∵AB=AC,OB=OC,
∴OA⊥BC,BD=CD=
1
2BC=
1
2 ×16=8(cm).
∵AB=AC=10cm,
∴AD=√ AB2 −BD2=√ 102 −82=6(cm).
在Rt△OBD 中,R2=(R −6)2+82,
解得R=
25
3 cm.
14.(7 分)
如图，AB是⊙O的直径，P，C是⊙O上的点，PA
⏜= PBC
⏜，弦PC交AB于点D，连接PA，OC．
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(1)求证：∠A = ∠C;
(2)若OD = DC，求∠A的度数．
【答案】
(1)【证明】如图,连接OP.
∵PA
⏜=PBC
⏜,∴PA=PC.
又∵OA=OC,OP=OP,
∴△POA≌△POC(SSS).
∴∠A=∠C.
(2)【解】设∠A=∠C=x∘.
∵OA=OP,
∴∠A=∠OPA=x∘.
∴∠POB=2∠A=2x∘.
∵OD=DC,
∴∠DOC=∠C=x∘.
∵OP=OC,
∴∠OPC=∠C=x∘.
在△POC 中,x+x+2x+x=180,
解得x=36.
∴∠A=36∘.
15.(本小题10 分)
如图，A，P，B，C是半径为8的⊙O上的四点，且满足∠BAC = ∠APC = 60∘．
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10 /
(1)求证：△ABC是等边三角形;
(2)求圆心O到BC的距离OD．
【答案】
(1)证明:∵∠CBA=∠APC=60∘.
∴∠CBA=∠BAC=60∘.
∴∠ACB=180∘-60∘-60∘=60∘=∠CBA=∠BAC.
∴△ABC 是等边三角形;
(2)连接OB,OC,则∠BOC=2∠BAC=120∘.
∵OD⊥BC,OB=OC=8,
∴∠BOD=∠COD=60∘,BD=DC.
在Rt△COD 中,∠OCD=180∘-90∘-60∘=30∘,OC=8,
∴OD=
1
2OC=4,
即圆心O 到BC 的距离OD 为4.
16.(12 分)
如图，AB是⊙O的直径，D，E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD = BD，连接AC
交⊙O于点F，连接AE，DE，DF．
(1)求证：∠CFD = ∠C；
(2)若∠E = 50°，求∠BDF的度数．
【答案】
(1) 证明：如图，连接AD，
∵AB 是⊙O 的直径，
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11 /
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC．
∵CD＝BD，
∴AD 垂直平分BC．
∴AB＝AC．
∴∠B＝∠C．
又∵∠B＝∠E，
∴∠E＝∠C．
∵四边形AEDF 是⊙O 的内接四边形，
∴∠CFD＝∠E．
∴∠C＝∠CFD；
(2)∵∠C＝∠CFD＝∠E＝50°，
∴∠BDF＝∠C+∠CFD＝100°
17.(12 分)
如图，AD为⊙O的直径，E为弦BC的中点，连结AB，AC。
(1)求证：△ABC为等腰三角形。
(2)连结BD，CD，若AD = 10，四边形ABDC的面积为40，求DE的长。
【答案】
证明:（1）
∵E 为弦BC 的中点,AD 为直径,
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12 /
∴AD⊥BC,BE=CE,
∴AB=AC,
∴△ABC 为等腰三角形。
(2)如图,连结OB,
由条件可得
1
2 ×10×BC=40,
∴BC=8,
∴BE=4。
∵AD=10,
∴OB=OD=5。
在Rt△OBE 中,
OE=√ OB2 −BE2=√ 52 −42=3,
∴DE=OD-OE=5-3=2。
18.(13 分)
如图1，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图2是
一款拱门的示意图，其中C为AB中点，D为拱门最高点，线段CD经过圆心，已知拱门的半径为1.5 m，拱门
最下端AB = 1.8 m．
(1)求拱门最高点D到地面的距离；
(2)现需要给房间内搬进一个长和宽为2 m，高为1.2 m的桌子，已知搬桌子的两名工人在搬运时所抬高度相
同，且高度为0.5 m，判断搬运该桌子时是否能够通过拱门．(参考数据：√ 5 ≈2.236)
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【答案】
(1) 解：如图2 中，连接AO．
∵CD⊥AB，CD 经过圆心O，
∴AC＝CB＝0.9 m，
∴OC = √ AO2 −AC2 = √ 1. 52 −0. 92 = 1.2(m)，
∴CD＝OD+PC＝1.5+1.2＝2.7(m)，
∴拱门最高点D 到地面的距离为2.7 m；
(2)如图2-1，弦EF＝2 m，且EF⊥CD，连接OE．
∵CD⊥EF，CD 经过圆心，
∴EJ＝JF＝1 m，
∴OJ = √ OE2 −EJ2 = √ 1. 52 −12 = √ 5
2 ≈1.118，
∴CJ＝1.2-1.118＝0.082(m)，
∵0.5＞0.082，
∴搬运该桌子时能够通过拱门．
