文档文本内容
1
【斜边中线的应用及构造】题集【B】
知识回顾
由矩形的性质可以推出，直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
【拓展】
（）已知，在
中，
，则
．
（）已知，在
中，
，则
．
（）已知，
是直角三角形，
，
，则
，
．
【总结】
① 在直角三角形中，如果遇到斜边中点，优先考虑应用直角三角形斜边中线的性质．
② 遇到直角三角形，可尝试取斜边中点，并连接直角顶点，应用直角三角形斜边中线的性质．
③ 直角三角形斜边中线一般可以用来证明线段的倍分关系及角的倍分关系．
④ 注意一定在已知直角三角形的前提下才能应用直角三角形斜边中线的性质．
⑤ 注意在应用直角三角形拓展的时候一定要证明，不可以当定理直接使用的．
1. 有直角、有中点、直接应用
【典型模型】：
遇存在公共边的两个直角三角形时，要想到构造两个直角三角形斜边的中线．
如图，
和
有公共斜边
．
辅助线作法：取
中点
，连接
、
，可证明
=
．
2
（1 ）
（2 ）
（3 ）
1.
（1 ）
【解析】
如图，在锐角
中，
、
分别是
、
边上的高，
、
分别是线段
、
的中
点．
图
求证：
．
连接
，
，猜想
与
之间的关系，并证明猜想．
当
变为钝角时，如图，上述（）（）中的结论是否都成立，若结论成立，直接回答，
不需证明；若结论不成立，说明理由．
图
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
．
结论（）成立，结论（）不成立．证明见解析．
证明：如图，连接
，
，
∵
、
分别是
、
边上的高，
是
的中点，
∴
，
，
3
（2 ）
（3 ）
【标注】
∴
，
又∵
为
的中点，
∴
．
在
中，
，
∵
，
∴
，
∴
．
结论（）成立，结论（）不成立．
理由如下：
连接
、
，
在
中，
，
∵
，
∴
，
∴
．
【能力】推理论证能力
【知识点】直角三角形斜边中线性质以及应用
【知识点】判断三角形的高，中线和角平分线
【知识点】等腰三角形的性质-等边对等角
4
（1 ）
（2 ）
2.
（1 ）
（2 ）
【解析】
填写下列各题：
如下图，
中，
，
于
，
于
，
、
分别为
、
的
中点，若
，则
的长为 ．
如下图，四边形
中，
，取
中点
，
中点
，连接
、
、
，
，则
．
【答案】（1 ）
（2 ）
提示：连接
、
．
在
中，
∵点
是
中点，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
为
中点，点
是
中点，
∴
，
5
【标注】
∴
，
∴
，
故答案为
．
【知识点】作三角形的高，中线和角平分线
（1 ）
（2 ）
（3 ）
3.
（1 ）
【解析】
在
中，
，点
在直线
上，
与直线
垂直，垂足为
，且点
为
中
点，连接
、
．
图
图
如图，若点
在线段
上，探究线段
与
及
与
所满足的数量关系，
并直接写出你得到的结论．
如图，若点
在
延长线上，你认为（）中的结论是否发生变化？写出你的猜想并证明．
若点
在
延长线上，请你根据条件画出相应的图形，并直接写出线段
与
及
与
所满足的数量关系．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
，
．
结论不变，证明见解析．
，
或
，
．
∵
，
分别是
，
的斜边上的中线，
∴
．
又∵
，
∴
，即
．
同理可得
，
∴
，即
．
6
（2 ）
（3 ）
【标注】
结论不变，由题意知
，
∴
，
，
两式相减，得
．
如图，
，
．
如图，
，
．
图
图
【知识点】直角三角形斜边中线性质以及应用
（1 ）
1
2
（2 ）
（3 ）
4. 在
中，
是
边的中点．
如图，
，
分别是
的两条高，连接
，
，则
与
的数量关系
是 ；若
，则
．
图
如图，点
，
在
的外部，
和
分别是以
，
为斜边的直角三角
形，且
，连接
，
．
图
判断（）中
与
的数量关系是否仍然成立，并证明你的结论．
求
的度数．
如图，点
，
在
的内部，
和
分别是以
，
为斜边的直角三角
形，且
，连接
，
．直接写出
的度数（用含的式子表
7
（1 ）
1
（2 ）
【解析】
示）．
图
【答案】（1 ）
1
2
（2 ）
（3 ）
;
仍然成立，证明见解析．
．
．
∵
，
分别是
的两条高，
是
边的中点，
∴
，
∴
，
，
∴
，
，
，
∴
．
故答案为：
，
．
仍然成立；
分别取
，
的中点
，
，连接
，
，
，
，
图
∵点
，
分别是
，
的中点，
∴
是
的中位线．
∴
，
．
∴
．
8
2
（3 ）
∵
是
的中点，
∴
是
的中线．
∴
．
∴
．
同理可证，
，
，
∴
．
∴
．
∵
，
∴
∴
．
同理可证，
．
∴
．
在
和
中，
，
∴
≌
．
∴
．
∵
，
∴
．
∵
≌
，
∴
，
∴
．
图
取
，
的中点
，
，连接
，
，
，
，
由（）可知，
≌
，
9
【标注】
∴
，
∴
．
【知识点】中点类综合计算与证明
2. 有直角、无中点、取中点、连接出中线
【典型模型】：
如图，在
中，
为
中点，以
、
为斜边构建
、
，
，
，则
．
【证明】斜边中线
中位线法
证明：取
、
中点
、
，连接
、
、
、
，
∵
和
是直角三角形，
∴
，
，
∴
，
，
∵
，
∴
．
∵点
，
、
分别为
，
、
的中点，
∴
，
，
，
，
10
∴
，
，四边形
为平行四边形，
∴
，
∴
，
∴
≌
，
∴
．
1.
【解析】
【标注】
已知：在
中，分别以
、
为斜边作等腰直角三角形
和等腰直角三角形
，
是边
的中点．求证：
．
【答案】证明见解析．
取
中点
，
中点
，连接
，
，
，
，
∵
，
，
，
，
（两边分别垂直），
∴
，
．
【知识点】中位线定理及其应用
（1 ）
2. 在
中，
为
边的中点，在三角形内部取一点
，使得
．过点
作
于点
，
于点
．
如图，当
时，判断的
与
的数量关系，直接写出你的结论．
11
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
图
如图，当
，其它条件不变时，（）中的结论是否发生改变？请说明理由．
图
【答案】（1 ）
（2 ）
．
不发生改变．
．
不发生改变．
理由如下：分别取
、
的中点
、
，连接
、
、
、
．
∵
为
的中点，
∴
，
．
∵
，
∴
．
∴
，
．
∴
．
同理
，
，
．
∴四边形
为平行四边形．
12
【标注】
∴
．
∵
，
∴
．
∴
，
∴
≌
．
∴
．
【知识点】平行四边形与全等综合
图
（1 ）
图
（2 ）
（3 ）
3. 在
中，分别以
和
为斜边，向
的外侧作等腰直角三角形，
是
边中点，连
接
和
．
如图所示，若
，则
和
的数量关系是 ．
如图所示，若
其他条件不变，则
和
具有怎样的数量和位置关系？请给出
证明过程．
在任意
中，仍分别以
和
为斜边，向
的内侧作等腰直角三角形，
是
的中点，连接
和
，请在图中补全图形，并直接判断
的形状．
图
13
（1 ）
（2 ）
【解析】
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
，
．
是等腰直角三角形．
，
．
作
，
，垂足分别为
、
．
∵
、
分别是等腰直角
和等腰直角
斜边上的高，
∴
、
分别是
、
的中点．
又∵
是
的中点，所以
、
是
的中位线．
∴
，
，
，
．
∴
，
．
∴
，
∴
．
∵
、
分别是直角
和直角
斜边上的中线，
∴
，
．
∴
，
．
∴
≌
．
∴
．
∴
，
∴
．
∵
，
∴
．
14
（3 ）
【标注】
∵
，
∴
．
如图，
是等腰直角三角形．
【知识点】等腰直角三角形与全等
（1 ）
（2 ）
4.
（1 ）
【解析】
如图所示，已知
和
都是直角三角形，且
，连接
，设
为
的中点．
求证：
．
设
，固定
，让
移至图示位置，此时
是否
成立？请证明你的结论．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
成立，证明见解析．
如图所示，延长
交
于
．
因为
，
，
故
≌
，
15
方法一：
方法二：
（2 ）
【标注】
则
，
从而
．
结论是肯定的．
取
、
的中点
、
，连接
、
、
、
．
由
、
是
、
斜边上的中线，
可得
，
，
从而
，
．
又因为
，
，
故
，
从而
≌
，
故
．
（也可以把三角形
和三角形
各自扩大一倍边长构造两个等腰三角形顶
点重合的手拉手模型）
【知识点】辅助线综合运用
5.
16
方法一：
方法二：
【解析】
如图，已知
，分别以
、
为斜边作等腰直角
与等腰直角
，
为
中
点，连
、
．求证：
，
.
【答案】证明见解析．
取
中点
，
中点
，连
、
、
、
，
则
，
．
又
，
，
∴
，
又
，
∴
，
∴
≌
，
∴
．
设
，
，
，
∴
，
，
在
中，
，
∴
．
．
延长
到
，使
，连
．
延长
到
，使
，连
．
17
【标注】
则
、
均为等腰直角三角形．
∴
≌
，
∴
，
，
∴
．
又
，
，
，
．
∴
，
．
【知识点】直角三角形斜边中线性质以及应用；中位线定理及其应用
6.
【解析】
在
中，分别以
和
为斜边，向
的外侧作等腰直角三角形，
是
边中点，连
接
和
，则
和
具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程．
【答案】证明见解析．
，
．
作
，
，垂足分别为
、
．
∵
、
分别是等腰直角
和等腰直角
斜边上的高，
18
【标注】
∴
、
分别是
、
的中点．
又∵
是
的中点，所以
、
是
的中位线．
∴
，
，
，
．
∴
，
．
∴
，
∴
．
∵
、
分别是直角
和直角
斜边上的中线，
∴
，
．
∴
，
．
∴
≌
．
∴
．
∴
，
∴
．
∵
，
∴
．
∵
，
∴
．
【知识点】等腰直角三角形的性质
