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大题 01 三角函数、三角恒等变换与解三角形
根据近几年的高考情况，三角函数、三角恒变换与解三角形是高考必考点.虽然八省联考中调整了试题顺序，
但今年高考仍然会考.在高考中，解答题主考考察解三角形，利用正弦余弦定理去解决三角行中一些综合问
题.三角函数及其性质一般会考查小题.预计2025年高考中三角函数余解三角形必然会出现，解答题也会一
常规形式出现.
题型一：三角恒等变形与三角函数图象问题
（2025·上海·模拟预测）已知 ， .
(1)若函数 的最小正周期为 ，求 的值；
(2)当 时，设 .若函数 和 在 上有相同的最大值，求 的取值范围.
【思路分析】（1）利用三角恒等变换化简函数 的解析式，结合正弦型函数的周期公式可求得正数
的值；
（2）当 时，求出函数 在区间 上的最大值，可知，当 时，函数
在 内取得最大值，可得出 ，然后对整数 的取值进行分类讨论，可得出关于实数 的不等式组，求解后结合 ，即得实数 的取值范围.
【规范答题】（1）
，
因为 且函数 的最小正周期为 ，故 .
（2）当 时， .
若 时， ，
当 时，函数 取得最大值，即 .
而函数 与 存在相同的最大值，
故当 时，函数 在 内取得最大值，
因此可得 ，
①当 时，可得 ，则有 ，解得 ；
②当 时，可得 ，则有 ，解得 .
当 时， ，此时， ，
当 时， ，此时， .
综上所述， 的取值范围为 .此类题型考察恒等变形和三角函数函数性质，涉及到三角恒等变形的公式比较多.
1、首先要通过降幂公式降幂，二倍角公式化角：
（1）二倍角公式：sin 2α＝2sin αcos α (S )；cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α (C )
2α 2α
（2）降幂公式：cos2α＝，sin2α＝，
2、再通过辅助角公式“化一”，化为
3、辅助角公式：asin α＋bcos α ＝sin(α＋φ)，其中tan φ＝.
4、最后利用三角函数图象和性质，求解计算：
一般将 看做一个整体，利用换元法和数形结合的思想解题.与三角函数相关的方程根的问题（零点
问题），通常通过函数与方程思想转化为图象交点问题，再借助图象进行分析.
1．（24-25高三下·天津南开·阶段练习）已知 的内角 、 、 的对边分别为 、
、 且 ．
(1)求角 的大小；
(2)若 ， ，求 的面积；
(3)若 ，求 的值．
【答案】(1) (2) (3)
【详解】（1）由 结合正弦定理得： ，
，
因为 ，则 ，则 ，
又 ，故 .
（2）因为 ， ，由余弦定理可得 ，整理可得 ，
又 ，解得 ，
所以 的面积为 .
（3）由正弦定理得： ，则 ，
因为 ，即 ，则 ，故 为锐角，
则 ，
所以 ，
，
所以 .
2．（24-25高三下·北京·开学考试）已知函数 ， .
(1)求 的最小正周期及单调递减区间；
(2)直线 与曲线 、 分别交于点 、 ，求 的最大值．
【答案】(1)最小正周期为 ，递减区间为
(2) 【详解】（1）因为 ，则 的最小正周期为 .由 可得 ，
所以，函数 的单调递减区间为 .
（2）由题意可知， 、 两点的坐标为 、 ，
则 ，即 ，
故
，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 在 时的最大值为 .
题型二：三角形中边长及周长问题
1．（2025·山东临沂·一模）已知 分别为 三个内角 的对边，且
.
(1)求 ；
(2)若 ，求 .
【思路分析】（1）由正弦定理、两角和的正弦公式可得 ，由此即可得解；
（2）由正弦定理得 ，再由余弦定理即可求解.
【规范答题】（1）由正弦定理边化角可得 ，
即 ，
所以 ，因为 ，所以 ，又 ，解得 ；
（2）若 ，则 ，这里 是三角形 外接圆的
半径，
解得 ，
由余弦定理可得 .
2．（24-25高三下·江苏苏州·开学考试）在 中，角 所对的边分别为 ，
已知 ．
(1)求角 的大小；
(2)若 ， ，求 的面积；
(3)若 ，且 为锐角三角形，求 的周长的取值范围．
【思路分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式得到 ，即可得解；
（2）利用余弦定理求出 ，再由面积公式计算可得；
（3）利用正弦定理将 转化为关于 的三角函数，结合三角形为锐角三角形求出 的范围，即可求出
的取值范围.
【规范答题】
（1）因为 ，
由正弦定理可得 ，
∴ ，
∵ ，则 ，∴ ，又 ，∴ ；
（2）因为 ， ，由余弦定理 ，即 ，
∴ ，解得 ，
∴ ；
（3）在 中，由正弦定理 ，
∴ ，
∴
，
又 为锐角三角形，∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ，
故 周长的取值范围为
利用正、余弦定理求解三角形的边长周长问题，对于求边长问题，主要是把未知边或者角度通过正弦余弦
定理用已知边或者是已知角度表示出来.
对于周长问题通常牵涉到两种题型，周长或者是周长范围问题，
类型一：一般来说如果求周长或者是边长的最值问题可采用基本不等式+余弦定理求解决.
类型二：常规三角形的周长范围问题也可采用余弦定理+基本不等式解决，或者是通过正弦定理把边装化
成角度，利用辅助角公式从而转化为三角函数问题类型三：锐角三角形中周长或者是边长以及其他的范围问题，则一般采用边角转化，把边长转化成角度，
从而利用辅助角公式，转化成三角函数问题去解决，但是因注意角度的取值范围问题
1．（24-25高三下·北京·阶段练习）在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、
， ．
(1)求 ；
(2)若 的面积为 ，且 ，求 的周长．
【答案】(1) (2)
【详解】（1）解法1：因为 ，由正弦定理得 ，
即 ，
因为 ，则 ，故 ；
解法2：因为 ，由余弦定理得 ，
整理得 ，可得 ，
由余弦定理可得 .
（2）因为 ，且 ，则 ，
，所以 ，
因为由余弦定理得 ，
于是 ，
因为 ，则 ，所以 ，
因此 ，于是 的周长 .2．（2025·福建·模拟预测）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ．
(1)证明： ；
(2)若 ，且 为锐角三角形，求 的周长的取值范围．
【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）由正弦定理， ，所以 ．
又 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
因 ，所以 ，即 .
（2）因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ．
因为 ，所以 ，
∵ 为锐角三角形，∴ ，∴ ，∴
因为 ，由余弦定理 ，两式联立得 ，
又因为 ，代入上式 ，得到 ，则 ，且 ，
所以 ，即 ．
所以周长的取值范围为 ．
3．（2025高三·全国·专题练习）在 中， 为 边上一点，已知 ， ，
．
(1)若 ，求 的值；(2)若 ，求边 的长．
【答案】(1) (2)
【详解】（1）设 ，则 ，因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，
在 中，由余弦定理 ，
所以 ，
再由正弦定理 ，所以 ．
（2）在 中，由正弦定理 ，即 ，同理 ，
因为 ，所以 ，即 ，
化解得 ，于是 ，
即 ，即 ，
因为 ，所以 ， ，
从而 ， ，再由正弦定理 ，得 ，
所以 ， ，故 ．
题型三：三角形中面积问题
1．（2025·江西·一模）设向量 ， ，
．
(1)求 的单调递减区间；
(2)在锐角 中，角 所对的边分别为 ，若 ， ， ，求
的面积
【思路分析】（1）应用向量数量积的坐标表示及三角恒等变换化简求得 ，再利用正弦
型函数的性质求递减区间；
（2）由 得 ，结合正弦定理可得 ，结合余弦定理有 ，联立求得
，最后应用三角形面积公式求面积.
【规范答题】（1）由题意得
，
令 ，解得 ，
所以 的单调递增区间为 .
（2）因为 为锐角三角形，由 得 ，由 可得 ，
所以 ，故 ，
在 中，由正弦定理得 ，所以 ，
所以 ①，
由余弦定理得 ，得 ②，
由①②解得 ，
所以 的面积为 .
2．（2025·陕西汉中·二模）在 中， ， ， 分别是角的对边，已知 .
(1)若 ，求实数 的值；
(2)若 ，求 面积的最大值.
【思路分析】（1）首先求出 ，再利用余弦定理即可得到 ；
（2）根据余弦定理和基本不等式以及三角形面积公式即可求出最值.
【规范答题】（1）由 ，且 ，得 ，
可变形为 .
依据余弦定理，可知 ，即 .
所以 .
（2）因为 ，
根据余弦定理得 ，
所以 ，即 ，当且仅当 时等式成立，故 ，当且仅当 等号成立，
即所求 面积的最大值是 .
利用正、余弦定理求解三角形的面积问题，两种题型，一种十求面积：另外一种是求面积范围.一般思路
是：
1、选定理.对于求面积问题，一般是余弦定理或者是正弦定理加上面积公式即可解决.
2、面积范围问题：第一为求面积最值，一般采用余弦定理加基本不等式.第二类为锐角三角形中的面积范
围问题.则一般采用边角转化，把边长转化成角度，从而利用辅助角公式，转化成三角函数问题去解决，但
是因注意角度的取值范围问题
1．（24-25高三下·浙江·开学考试）在 中，角 的对边分别为 ，已知
.
(1)求角A的大小；
(2)若BC边上的高为3，求 面积的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理角化边，再由余弦定理即可求解；
（2）由面积公式得到 ，再由 得到 ，求得 的范围即可求解；
【详解】（1）因为 ，
由正弦定理可得 ，整理得 ，
由余弦定理可得 ，
又 ，所以
（2）因为BC边上的高为3，所以 ，又因为 ，所以 .
由（1）知 ，所以 ，得
所以 .
2．（24-25高三下·湖南长沙·开学考试）在 中， .
(1)求角 ；
(2)若 .
（ⅰ）求 的值；
（ⅱ）若 ，求 的面积 .
【答案】(1) (2)（ⅰ） ；（ⅱ）
【详解】（1）因为 ，即 ，
由正弦定理可得 ，
，
即 ，可得 ，
且 ，则 ，可得 ，
又因为 ，所以 .
（2）（ⅰ）∵ ，由余弦定理， ，又∵ （*），
整理得： ，即 ，代入（*）可得 ，由余弦定理， ；
（ⅱ）∵ ，由（ⅰ）得： ，
解得 ，
∴ .
题型四：解三角形中三线问题
1．（2025·吉林长春·二模）在 中， 分别为角 所对的边，且
，角A的平分线交 于D，且 ．
(1)求角A；
(2)若 ，求 的长．
【思路分析】（1）由正弦定理与和角公式化边为角，求得 ，即得角A；
（2）利用三角形角平分线定理求出 ，再根据面积相等列方程，求解即得 的长.
【规范答题】
（1）由 和正弦定理，可得 ，
因 ，
则 ，
即 ，
因为 ，则得 ，
因 ，则 ．
（2）如图，因 是 的平分线，则 ，解得 ，又 ，
则 ，
即 ，解得 .
2．（24-25高三下·山东·开学考试）在 中，角 ， ， ，所对边分别为 ， ，
，已知 ，且
(1)求
(2)若 为 边的中点，且 ， ，求 的面积.
【思路分析】（1）由正弦定理，将边转换成正弦，再利用倍角公式和辅助角公式，求出 ， 的关系.
（2）把余弦定理方程和中线的向量性质得到的方程，联立，求出 ，再利用面积公式即可求出面积.
【规范答题】
（1）因为 ，由正弦定理得： ，
则 ，
所以 ，则
所以 ， ，或 ， ，则 ，或 ，
又因为 ，所以 ，所以 ，故 .
（2）在 中由余弦定理得： ，所以 ①，
因为D为AB边的中点，所以 ，所以 ，
所以 ②，
②-①得： ，
所以 .
三线问题指的是角平分线，中线，高线.
对于角平分线：一种是采用等面积法（面积分割），或者是角平分线定理去解决.
对于中线问题 一般采用向量思想去解决.
高线问题，一般采用正弦定理或者是等面积法去解决.
1．（2025·河南郑州·一模）记 的内角A，B，C的对边为a，b，c，已知
，
(1)求
(2)设 ，求 边上的高.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）先利用余弦定理求出 ，再由 ，结合平方关系可求 的值；
（2）结合（1）可得 ，再利用三角形面积相等可求得 边上的高.
【详解】（1）在 中，
， ，
而A为三角形内角，
，
，整理得 ，得 ，
又 ，且 ，
（2）由正弦定理得 ，
得 ，
由（1）得， ， ，
，
设 边上的高为h，则 ，
边上的高为
2．（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）在 中，角 所对的边分别为 ，满足
.
(1)求角 的大小；
(2)若 的面积为 ， 的平分线 交 于点 ，且 1，求 的值.
【答案】(1) ；
(2)当 时， ；
当 时， .
【分析】（1）利用正弦定理化边为角可得 ，结合内角和公式和两角和正弦公
式化简，解方程可求结论；（2）结合关系 及三角形面积公式可得 ，解方程求 ，再求
可得结论.
【详解】（1）由正弦定理知， ，
因为
所以 ，
又 ，
所以 ，
因为 ， ，故 ， ，
所以 ，故 ，
所以 .
（2）因为 ，
即 ，
所以 ，
解得 或 ，
当 时， ；
当 时， .
3．（24-25高三上·湖北武汉·期末）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D为线段AC的
中点，A，C满足
(1)求B；(2)若 的面积为 ， ，求中线BD的长．
【答案】(1) (2)
【详解】（1）因为 ，所以，
又因为
所以， ，得 ，
所以，由余弦定理得 ，
又B为三角形内角，
所以，
（2）因为 的面积为 ， ， ，
所以， ，所以 ，又 ，
因为BD为 的中线，所以， ，
所以， ，
所以
题型五：三角形中图形类边长及范围问题
1．（24-25高三下·河南·阶段练习）在锐角三角形 中，角 、 、 对应的边分
别为 、 、 ，已知 .
(1)求 ；
(2)求 的取值范围.
【思路分析】（1）由正弦定理化简得出 的值，结合 为锐角三角形可得出角 的值；
（2）求出角 的取值范围，利用正弦定理结合三角恒等变换化简得出 ，结合正切函数的基本性质可求得 的取值范围.
【规范答题】
（1）因为 ，由正弦定理可得 ，
因为 为锐角三角形，则 ， ，
所以， ，即 ，所以， .
（2）因为 为锐角三角形，可得 ，解得 ，
则 ，
因为 ，则 ,所以 ，可得 ，
即 ，所以 的取值范围为
2．（2025·陕西榆林·二模）在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， .已
知 .
(1)求角 的大小；
(2)求 的取值范围.
【思路分析】（1）解法1，将已知等式中的角利用正弦定理和余弦定理统一成边的形式，再利用余弦定理
可求出角 ；解法2，利用三角函数恒等变换公式化简可求出角 ；
（2）由（1）得 ， ，则 ，化简后利用正切函数的性质可求得结果.
【规范答题】（1）解法1：在 中，由 及正弦定理得， ，
再由余弦定理，得 ，则 ，又因为 ，所以 ，
因为 ，所以 .
解法2：因为 ， ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
因为 ，所以 .
（2）因为 ，所以 ， ，
所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 .
范围问题一般包含长度范围问题，周长范围问题，面积范围问题以及其他范围问题.主要
是两类题.一类是无限制三角形的对应的范围问题，一类是
第二类为锐角三角形中的范围问题.则一般采用边角转化，把边长转化成角度，从而利用辅助角公式，转化
成三角函数问题去解决，但是因注意角度的取值范围问题
1．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知 的内角A、 、 的对边分别为 ， ， ，
且 ．
(1)求 ；(2)若 ，且 ，求 的取值范围．
【答案】(1) (2)
【详解】（1）由正弦定理可得 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ， ，
所以 .
（2）由正弦定理可得 ，
，
所以 ，
因为 在 均为单调递增，
所以 在 为单调递减，
所以当 时，最大值为 ；所以当 时，最小值为 ；
所以 的取值范围为 .
2．（24-25高三上·山西太原·期末）在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， .
(1)证明： ；
(2)若 是锐角三角形，求 的取值范围.【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1） ， ，
由正弦定理可得 ，
由余弦定理得 ， ，
或 ，
当 时，则 ， ， ， ， 成立，
综上所述， 成立.
（2）由（1）得 ， ， ，
由正弦定理可得 ，
， 是锐角三角形， ，
， 的取值范围为
题型六：三角形中证明类问题
（24-25高三上·安徽·期末）设 的内角 的对边分别为 ，
已知 ．
(1)求 的取值范围；
(2)若对任意的 ，都有 ，且 成等差数列， 也成等差数列，证明： 的
周长为定值．
【思路分析】（1）利用余弦定理及基本不等式求范围即可；
（2）由等差中项化简可得 ，再由 即可得证.
【规范答题】（1）由余弦定理得因为 ，所以 ，即 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 的取值范围是
（2）由题意知 成等差数列， 也成等差数列，
所以 ，
所以 ，
整理得 ．
又因为 ，即 ，
所以 ，即 ．
所以 的周长是 ，为定值．
（24-25高三下·安徽·阶段练习）在 中，角 的对边分别为
．
(1)求 ；
(2)若 为 边上一点，且 的面积为 ，证明： ．
【答案】(1) ；
(2)证明见解析.
【分析】（1）由余弦边角关系及已知可得 ，再由余弦定理求 ，即可得角的大小；（2）应用余弦定理求得 ，再应用面积公式有 、 ，作商即可证结
论.
【详解】（1）由 ，则 ，
所以 ， ，则 .
（2）由 ，可得 （负值舍），
则 ，而 ，
所以 ，即 ，得证.
题型七：解三角形中内切圆、外接圆问题
1．（24-25高三下·河北沧州·阶段练习）在 中，角A、B、C的对边分别为a、
b、c，且 .
(1)若 的面积 ，求角A；
(2)若 ， 的面积 ，求 的外接圆的面积.
【思路分析】（1）结合余弦定理和三角形的面积公式，可求角 的值.
（2）作 边上的高，利用（1）中的结论结合两角和的正切公式，可求边 ，再利用 可求三角
形外接圆的半径，进而求外接圆的面积.
【规范答题】（1）由余弦定理得 ，
∴ ，∴ .
又 ，
∵ ，∴ .
（2）设边 上的高为 ，如图：
由（1）知 ，则 ，
∴ ， ，
，解得 ，
∴ ，∴ ，
由 ，得 ，
设 的外接圆半径为R，
则 ，得 ，故 的外接圆的面积为 .
2．（24-25高三下·河北张家口·开学考试）已知 中，角 的对边分别是
， .
(1)证明： 成等差数列；
(2)若 ， 内切圆半径为r，求r的最大值.
【思路分析】（1）利用正弦定理把已知条件化为角的关系，再由诱导公式得 ，由两角和
的正弦公式化简后可得的正切值，从而得B角大小，进而得证；
（2）利用余弦定理及基本不等式可得 的范围，利用面积相等可得 ，变形后再次利用基本不等式即可求解 的范围.
【规范答题】（1） ，
，
，
，
，
，
， ，即 ，
， ，
， ，
成等差数列；
（2）由余弦定理可得 ，即 ，
，当且仅当 时等号成立，
因为 ，
，
，
当且仅当 ，即 时等号成立，
即 ，
的取大值为 ．解三角形中的内切球与外接球问题，与外接球问题，对于内切圆圆心是三个角角平分线的交点，外接圆则
是三边中垂线的交点，对于内切圆的半径则采用等面积发，即 对于外接球半径问题 一般采
a b c
用正弦定理 = = =2R 解决.
sinA sinB sinC
1．（24-25高三下·山西·开学考试）已知 的内角A， ， 所对的边分别为 ，
， ， ，且 ， ， 成等比数列．
(1)求 ；
(2)若点 满足 ， 的外接圆半径为 ，求 的内切圆半径．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）由题，根据倍角公式及正弦定理边角互化可得 ，然后根据 ， ， 成等比数列
可得三角形为等边三角形，即可得答案；
（2）由（1）及余弦定理可得 边长，然后用两种方式表示 面积可得答案.
【详解】（1）∵ ，
∴ ，即 ．
∵在 中由正弦定理得 ， ， ，
为 外接圆半径．∴ ①．
又∵ ， ， 成等比数列，∴ ②．
由①②得 ，则 ，
∵ ，∴ ；
（2）由（1）得 ．
∵ ，∴ ，∴ ．
∴在 中， ， ， ，∴ ．∴ ．
设 的内心为 ，内接圆半径为 ，如图
则 ，
即 ．
∴ ， ．
2．（24-25高三下·河北保定·开学考试）在 中，已知角 的对边分别为
的平分线交 于点 ， 的外接圆的半径分别为 ，且 .
(1)证明： ；
(2)求 ；
(3)若 ，求 的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）利用正弦定理表示 ，根据 可证明结论.
（2）利用正弦定理可得 ，根据二倍角公式结合三角形内角取值范围可得结果.
（3）设 ，利用等面积法可得 ，结合余弦定理得 ，构造函数，根据函数单调
性可求 的取值范围.
【详解】（1）在 中，由正弦定理得， ，
∴ ，同理得， ，
∴ ，即 .
（2）在 中，由正弦定理得， ，∴ ，
∴ ，即 ，
由 得， ，
∴ ，故 ，∴ .
（3）设 ，由 ，得 ，故 .
∵ ， ，∴ ，故 ，
∴ ，
令 ，则 ，
∵ ，当且仅当 时等号成立，∴ ，故 ，
∵ 在 上单调递增，当 时， ，当 时， ，
∴ 的取值范围是 .
题型八：解三角形中图形类问题1．（24-25高三下·重庆沙坪坝·开学考试）已知 的内角 ， ， 的对边分别是
， ， ，已知 ．
(1)求角 ;
(2)若 为 外一点，在四边形 中，边长 ， 求边 的最小值．
【思路分析】（1）由余弦定理得到 ，再由正弦定理将边化角，结合两角和的
正弦公式及诱导公式求出 ，即可得解；
（2）设 ， ，再表示其他角，两个三角形中根据正弦定理表示 ，结合三角函数恒
等变换，以及三角函数性质，即可求解.
【规范答题】（1）因为 ，
由余弦定理 ，
所以 ，即 ，
由正弦定理可得 ，
即 ，所以 ，
又 ，所以 ，所以 ，即 ，
又 ，所以 ；
（2）在 和 中，由正弦定理可得 ， ，
设 ， ，则 ， ， ，故两式相除可得 ，
即 ，
因此 ，
故当 时，即 时，此时 取最大值1，故 取最小值 .
2．（24-25高三上·福建福州·期末）如图，在等边三角形 中， 为边 上一点，
，点 ， 分别是边 上的动点（不包括端点），若 ，且设
(1)求证：不论 为何值， 为定值.
(2)当 和 的面积相等时，求 的值.
【思路分析】（1）首先得到 ，即 ，再在 、 分别利用正
弦定理即可证明；
（2）首先表示出 、 ，结合（1）即可得到 ，最后由两角差的正弦公
式化简计算可得.
【规范答题】（1）在 中， ，又 ，所以 ，
在 中 ，所以 ，
在 中，由正弦定理得 ，即 ，
在 中，由正弦定理得 ，即 ，
所以 ，即不论 为何值， 恒成立；
（2）因为 ，
，
又 ， ，由（1）可得 ，
所以 ，
即 ，
整理得 ，所以 .
利用正、余弦定理求解三角形的图形类问题，此类题目比较难，这类题目的实质是实现边角的转化，解题
的思路是：利用角度的等量关系，将未知边长利用正弦定理转换成一直角度及已知边长的形式，最后变成
关于一个未知角度的三角函数关系，在利用三角函数的函数及性质，利用角度的范围，从而求出变成或者
是对应面范围问题.
1．（24-25高三上·安徽亳州·期末）如图，在平面四边形 中， ，
， 平分 .(1)若 ， ，求 ；
(2)若 ，求 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件求 的长，在 中，由余弦定理可求 .
（2）设 ， ，表示 ，在 中利用余弦定理结合同角三角函数基
本关系可求 和 ，由此可得结果.
【详解】（1）∵ 平分 ，∴ ，故 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
在 中，由余弦定理得 .
（2）设 ，则 .
设 ，则 ， ，
在 中，由余弦定理得 ，
∵ ，∴ ，∴ ， ，
∴ .
2．（24-25高三上·山东菏泽·期末）如图，平面四边形ABCD中
AC平分
(1)若 求 ；
(2)若
（ⅰ）求 ；
（ⅱ）求
【答案】(1)
(2)（ⅰ） ；（ⅱ）
【分析】（1）由已知可得 ，进而利用余弦定理可求得 ；
（2）（ⅰ）设 则 ，设 ，利用余弦定理可求得 ，求解即
可；（ⅱ）由于在直角三角形ACD中 为锐角，可求得 ，进而利用二倍角的正弦公式可求得
.
【详解】（1）由题意可知AC平分 因此
则 ，
而 ，故在 中，由余弦定理可得 .
（2）（ⅰ）设 则 ，设 ，则 ，
由余弦定理可得 ，
所以 ，解得 .
（ⅱ）由于在直角三角形ACD中 为锐角，
则
故 .
一、解答题
1．（2025·黑龙江·模拟预测）在锐角 中， ， ，
(1)求 ；
(2)若 为 的中点，求 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理即可得到答案.
（2）先由余弦定理求得， 或 ，再利用余弦定理即可求得结果，将不符合题意的舍去即可.
【详解】（1） ， ，由正弦定理得： ， ，
又因为 为锐角， .
（2）在 中由余弦定理得：
， 或
若 ，则 ，则 为钝角，舍去
，因为 为中点，
在 中，
在 中，
2．（24-25高三上·贵州黔东南·期末）在 中，角 的对边分别为 ，且
(1)求 ；
(2)若 ，求 面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理，将边转化为角，再根据三角函数的性质即可求解;
（2）根据余弦定理，结合基本不等式，即可求解.
【详解】（1）因为 ，
所以由正弦定理得 ，因为 ，所以 ，
整理得 ，即 .
因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，
（2）在 中， ,由余弦定理得 ,
所以 ,
当且仅当 时等号成立，
所以 ,
即 面积的最大值为 .
3．（24-25高三上·辽宁·期末）在 中，已知 .
(1)求 ；
(2)若在 边上存在点 ，使 为锐角三角形，求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）已知三边求角，利用余弦定理即可求解；
（2）利用余弦定理求出 ，设 ，利用正弦定理有
，
即 ，利用函数 即可求解.
【详解】（1）因为 由余弦定理有：，
因为 为 的内角，所以
（2）因为 由余弦定理有：
= ，
所以
设 ，由点 在 边上，且 为锐角三角形，所以 ，
所以 .
在 中，由 ，
所以 ，所以 ，
所以
由 是定义域上的减函数，所以 ，
所以 的范围为 .
4．（24-25高三上·山西·期末）已知函数 ．
(1)求 的单调递减区间；(2)若 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1)
(2) ．
【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦函数的性质计算可得；
（2）参变分离可得 在 上恒成立，求出 ，即可得解.
【详解】（1）因为 ．
令 ，解得 ，
所以 的单调递减区间为 ．
（2）当 时，不等式 恒成立，即不等式 在 上恒成立，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，即实数 的取值范围为 ．
5．（2025·贵州六盘水·一模）在 中，内角 的对边分别为 ，若 ．
(1)求角 的大小；
(2)若 ，点 是边 上的一点， 平分 ，且 ，求 的面积．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用余弦定理角化边可求得 ，由此可得 ；
（2）利用正弦定理可求得 ，进而求得 ，利用三角形面积公式可求得结果.
【详解】（1）由余弦定理得： ，
整理可得： ，
，又 ，
.
（2）
由正弦定理 得： ，
，
平分 ，
，又 ，
，
， ，
.6．（2025·陕西西安·一模）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， ，D为BC上一动点.
(1)若AD平分 ，求证： ；
(2)若D为BC上靠近B的三等分点，当 ， 时，求AD的长.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据三角形面积公式，结合三角形面积的性质进行证明即可；
（2）根据平面向量加法的几何意义，结合平面向量数量积的运算律和定义进行求解即可.
【详解】（1）设 ，垂足为 ，
在 中， ，
在 中， ，
因为AD平分 ，
所以 ，于是有 ，
因此有 ；
（2）因为D为BC上靠近B的三等分点，
所以 ，
因为 ，
所以
7．（2025·湖南岳阳·一模）已知 分别为 的内角 的对边，且 ，点为 边的中点，若 ，且 .
(1)求 ；
(2)求 的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理结合 ，辅助角公式得到 ，从而求出 ；
（2）根据 和余弦定理得 ，结合 ， 得到
，根据 求出 ，由三角形面积公式求出答案.
【详解】（1） ，利用正弦定理可得
，
又 ，
故 ，
即 ，
因为 ，所以 ，故 ，
由辅助角公式得 ，
又 ，故 ，
即 ，所以 ；
（2） ，故 ，
由余弦定理得 ，由 为 中点，化简得 ，
，故 ，
又 ，所以 ，
又 ，故 ，
将 代入上式得 ，即 ，
解得 ，负值舍去，
则 的面积为
8．（2025高三下·全国·专题练习）如图，在平面四边形 中，
，且 成等差数列．
(1)求 ；
(2)求 的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据三项成等差数列得出 ，再应用余弦定理及正弦定理计算求解；（2）先应用同角三角关系得出 ，再结合两角差的余弦公式计算即可.
【详解】（1）设 ．
因为 成等差数列，所以 ，又 ，所
以 ．
在 中，由余弦定理得 ，
即 ，即 ，解得 （ 舍去）．
在 中，由正弦定理得 ，
于是 ，即 ．
（2）由题设知 ，由（1）知 ，
又 ，
所以 ．
在 中， ，所以 ．
9．（24-25高三下·河北·期末）在锐角 中， ， ， 分别是内角 ， ， 的对边，且 .
(1)若 ，求 周长的最大值.
(2)设 ， .
（ⅰ）求 外接圆的半径 ；
（ⅱ）求 的面积.
【答案】(1)6
(2) ，【分析】（1）根据余弦定理得 ，利用基本不等式即可求解，
（2）（ⅰ）利用正弦定理边角互化可得 ，（ⅱ）根据正弦定理可得 ，进而由同角关系可得
， ，由和差角公式可得 ，即可由面积公式求解.
【详解】（1）由余弦定理得 ，即 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
则 ，当且仅当 时，等号成立，
所以 周长的最大值为6.
（2）（ⅰ）由正弦定理得 ， ，
代入 ，得 ，
即 .
因为 ，所以 .
（ⅱ） 的面积 .
因为 ，所以 .因为 是锐角，所以 ，则 ，所以 .
因为 ，所以 .
又因为 是锐角，所以 ，
所以 ，所以 ，
则 ，所以
故 .
10．（2025·山西吕梁·一模）如图，已知三角形 的内角 的对边分别为 ，且
.
(1)求 的大小；
(2)若 ，设 为三角形 的角平分线，求 的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理边化角，利用两角和的正弦公式和三角形内角和公式求解；
（2）利用面积方法和三角形的面积公式计算.
【详解】（1）由 得 ,
又因为 ，
所以 ,又因为 ，
所以 ,
又因为 ,
所以 .
（2）因为 ，
所以 ,
又因为 ,
所以 ,
所以 ,
故答案为： .
11．（24-25高三下·宁夏石嘴山·阶段练习）如图， 是边长为 的正三角形 所在平面上一点（点 、
、 、 逆时针排列），且满足 ，记 .
(1)若 ，求 的长；
(2)用 表示 的长度；
(3)求 的面积 的取值范围.
【答案】(1)(2)
(3)
【分析】（1）由余弦定理直接计算即可；
（2）在 中，直接利用正弦定理可得出 关于 的表达式；
（3）利用三角形面积公式，结合辅助角公式及三角函数值域求出面积范围.
【详解】（1）由 ，且 是边长为 的正三角形，
则 ，且 ，
所以在 中，由余弦定理得 ，
所以 .
（2）由 ，则 ，则 ，
在 中，由正弦定理有 ，
得 ，
（3）由三角形的面积公式得
，
又 ，且 ，则 ，所以 ，
所以 ，则 ，
故 的取值范围为 .
12．（24-25高三下·天津滨海新·阶段练习）在 中， .
(1)求 ；(2)已知 ，
①若 ，求 的面积；
② 若 ，求 .
【答案】(1)
(2)① ； ②
【分析】（1）在 中，由正弦定理及二倍角公式，结合题中条件即可求得 ，即可求解；
（2）①由余弦定理结合题中条件可解得 ，利用三角形面积公式即可求解；
②根据同角三角函数的平方关系，结合 与三角形中 ，可求得 ，再利用二倍角公式与两角
和的余弦公式即可求解.
【详解】（1）在 中， ，
∴由正弦定理及二倍角公式可得 .
， ，即 .
， .
（2）由（1）知 ， .
①在 中， ， ，
∴由余弦定理可得 ，
即 ，解得 .
.
② ， .， ，
.．
一、解答题
1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）记 的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知 ，
(1)求B；
(2)若 的面积为 ，求c．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出 ，最后结合已知 得 的值即
可；
（2）首先求出 ，然后由正弦定理可将 均用含有 的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程
求解.
【详解】（1）由余弦定理有 ，对比已知 ，
可得 ，
因为 ，所以 ，
从而 ，
又因为 ，即 ，注意到 ，
所以 .
（2）由（1）可得 ， ， ，从而 ， ，
而 ，
由正弦定理有 ，
从而 ，
由三角形面积公式可知， 的面积可表示为
，
由已知 的面积为 ，可得 ，
所以 .
2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)求A．
(2)若 ， ，求 的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据辅助角公式对条件 进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角
三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决；（2）先根据正弦定理边角互化算出 ，然后根据正弦定理算出 即可得出周长.
【详解】（1）方法一：常规方法（辅助角公式）
由 可得 ，即 ，
由于 ，故 ，解得
方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）
由 ，又 ，消去 得到：
，解得 ，
又 ，故
方法三：利用极值点求解
设 ，则 ，
显然 时， ，注意到 ，
，在开区间 上取到最大值，于是 必定是极值点，
即 ，即 ，
又 ，故
方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）
设 ，由题意， ，
根据向量的数量积公式， ，
则 ，此时 ，即 同向共线，
根据向量共线条件， ，
又 ，故方法五：利用万能公式求解
设 ，根据万能公式， ，
整理可得， ，
解得 ，根据二倍角公式， ，
又 ，故
（2）由题设条件和正弦定理
，
又 ，则 ，进而 ，得到 ，
于是 ，
，
由正弦定理可得， ，即 ，
解得 ，
故 的周长为
3．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知在 中， ．
(1)求 ；
(2)设 ，求 边上的高．
【答案】(1) (2)6
【详解】（1） ，
，即 ，
又 ，
，，
，
即 ，所以 ，
.
（2）由（1）知， ，
由 ，
由正弦定理， ，可得 ，
，
.
4．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）记 的内角 的对边分别为 ，已知 的面积为 ，
为 中点，且 ．
(1)若 ，求 ；
(2)若 ，求 ．
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）方法1，利用三角形面积公式求出 ，再利用余弦定理求解作答；方法2，利用三角形面积
公式求出 ，作出 边上的高，利用直角三角形求解作答.
（2）方法1，利用余弦定理求出a，再利用三角形面积公式求出 即可求解作答；方法2，利用向量
运算律建立关系求出a，再利用三角形面积公式求出 即可求解作答.【详解】（1）方法1：在 中，因为 为 中点， ， ，
则 ，解得 ，
在 中， ，由余弦定理得 ，
即 ，解得 ，则 ，
，
所以 .
方法2：在 中，因为 为 中点， ， ，
则 ，解得 ，
在 中，由余弦定理得 ，
即 ，解得 ，有 ，则 ，
，过 作 于 ，于是 ， ，
所以 .
（2）方法1：在 与 中，由余弦定理得 ，
整理得 ，而 ，则 ，又 ，解得 ，而 ，于是 ，
所以 .
方法2：在 中，因为 为 中点，则 ，又 ，
于是 ，即 ，解得 ，
又 ，解得 ，而 ，于是 ，
所以 .
5．（2023·全国乙卷·高考真题）在 中，已知 ， ， .
(1)求 ；
(2)若D为BC上一点，且 ，求 的面积.
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】(1)首先由余弦定理求得边长 的值为 ，然后由余弦定理可得 ，最后由同角
三角函数基本关系可得 ；
(2)由题意可得 ，则 ，据此即可求得 的面积.
【详解】（1）由余弦定理可得：
，
则 ， ，
.（2）由三角形面积公式可得 ，
则 .
6．（2022·全国乙卷·高考真题）记 的内角 的对边分别为 ，已知
．
(1)证明： ；
(2)若 ，求 的周长．
【答案】(1)见解析
(2)14
【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证；
（2）根据（1）的结论结合余弦定理求出 ，从而可求得 ，即可得解.
【详解】（1）证明：因为 ，
所以 ，
所以 ，
即 ，
所以 ；
（2）解：因为 ，
由（1）得 ，
由余弦定理可得 ，
则 ，
所以 ，故 ，
所以 ，
所以 的周长为 .
7．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)若 ，求B；
(2)求 的最小值．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将 化成 ，再
结合 ，即可求出；
（2）由（1）知， ， ，再利用正弦定理以及二倍角公式将 化成
，然后利用基本不等式即可解出．
【详解】（1）因为 ，即
，
而 ，所以 ；
（2）由（1）知， ，所以 ，
而 ，所以 ，即有 ，所以
所以
．
当且仅当 时取等号，所以 的最小值为 ．
8．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c
为边长的三个正三角形的面积依次为 ，已知 ．
(1)求 的面积；
(2)若 ，求b．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先表示出 ，再由 求得 ，结合余弦定理及平方关系求
得 ，再由面积公式求解即可；
（2）由正弦定理得 ，即可求解.
【详解】（1）由题意得 ，则
，
即 ，由余弦定理得 ，整理得 ，则 ，又 ，
则 ， ，则 ；
（2）由正弦定理得：，则，则，.
