文档文本内容
重难点专训03 图形类解三角形问题
解题方法及技巧提炼............................................................................................................................1
题型通法及变式提升............................................................................................................................3
题型一：平面四边形模型（含可求解六要素的三角形）................................................................................3
题型二：平面四边形模型（不含可求解六要素的三角形）............................................................................7
题型三：两次使用余弦定理...............................................................................................................................11
题型四：解三角形的中线问题..........................................................................................................................15
题型五：解三角形中的角平分线问题..............................................................................................................18
题型六：解三角形中的垂线问题......................................................................................................................21
题型七：三角形的外心和外接圆问题..............................................................................................................24
题型八：三角形的内心和内切圆问题..............................................................................................................28
重难专题分层过关练..........................................................................................................................32
巩固过关...............................................................................................................................................................32
创新提升...............................................................................................................................................................40
一、解决图形类解三角形问题的方法：
（1）余弦定理迭代运用法
此方法聚焦三角形边角的定量关系，通过两次或多次套用余弦定理，建立边与角的方程组来突破难点。
核心是利用余弦定理“用边表角”或“用角表边”的双向转化特性，尤其适用于已知两边及夹角求第三边、
或已知三边求多个内角的复杂场景。例如在非特殊三角形中，若已知两条中线长度及夹角，可通过对两个
小三角形分别应用余弦定理，联立方程求解原三角形的边长。
（2）等积转化法
以“面积守恒”为核心逻辑，通过同一三角形不同面积表达式的等价转换简化问题，常与相似性质结
合使用。其本质是利用“同底等高面积相等”“分割面积和等于整体面积”等性质，将边、高的关系转化
为面积等式。典型应用包括：由中线构造等积三角形求面积比、利用直角三角形的双高（如斜边上的高）
建立边长关系，或通过面积桥证明线段比例。
（3）正余弦定理协同法
作为解三角形的基础工具组合，通过正弦定理的“边角比例转换”与余弦定理的“边角定量计算”形
成互补。正弦定理擅长处理“已知两角一边”“已知两边及一对角”的情境，余弦定理则适用于“已知两
边及夹角”“已知三边”的场景，二者结合可覆盖绝大多数斜三角形的边角求解问题，尤其在涉及多三角
形嵌套的复杂图形中效果显著。
（4）辅助线构造相似法
遵循“条件集中”原则，通过添加辅助线构造相似三角形，结合余弦定理实现边长比例的精准求解。
辅助线添加需紧扣已知条件：有中点可连中位线（构造相似比1:2 的三角形），有角平分线可作平行线
（构造等腰三角形与相似三角形），或延长中线至等长构造全等进而推导相似关系。通过相似的对应边成
比例特性，可将未知边与已知边建立关联，再用余弦定理补充定量计算。
（5）向量与余弦定理融合法
借助平面向量的工具性，将几何关系转化为向量运算，再结合余弦定理破解难题。核心是利用向量的
数量积公式，其本质与余弦定理同源但表达更灵活。适用场景包括：利用向量分解表示未知边、通过向量
垂直的数量积为零建立等式，或结合向量基本定理将边角关系转化为向量系数的方程组。
（6）坐标解析法
通过建立平面直角坐标系实现“几何问题代数化”，是数形结合的典型应用。操作关键在于合理定位
顶点坐标（如将直角顶点置于原点、让一边与坐标轴重合），再利用距离公式（求边长）、斜率公式（判
垂直/平行）、中点公式（找对称点）等工具挖掘几何性质。例如在直角三角形中，通过坐标表示顶点后，
可直接用勾股定理验证边长关系，或通过坐标运算求截面面积。
二、三角形的中线问题
如图，
中，
为
的中线，则有以下两种方法：
D
A
B
C
①向量法：
,平方即可；
②余弦定理：邻补角余弦值为相反数，即
注：若或将条件“AD 为BC 的中线”换为“
”，也可同样的原理进行求解
三、三角形的角平分线问题
如图
中，
平分
，则有以下两种方法：
①角平分线定理：
证明方法：（等面积法）
，得
注：
为A 到BC 的距离，
为D 到AB,AC 的距离.
②等面积法：
四、三角形的垂线问题
如图
中，
平分
，则有以下三个结论：
①等面积法：
；②
③
题型一：平面四边形模型（含可求解六要素的三角形）
典例1-1．如图，在平面四边形ACBD 中，
，
，
，
，则CD
的长为（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
在
中，
，
，
，
由余弦定理得，
，
即
，
，
又在
中，
，
，
，
由正弦定理得，
，即
，
解得
.
故选：B.
典例1-2．在平面四边形
中，
，
，
，
，则
.
【答案】
【详解】由题意，在
中，由正弦定理得
，
即
，
在
中，
，所以
，
在
中，由余弦定理得
，
，解得
.
故答案为：
.
变式1-1．平面四边形
中，
，
，
，
，
，则
的面积为 .
【答案】
【详解】因为
，
，
，
所以
四点共圆，
在
中，
，
，
，
由正弦定理得
，即
，
解得
，所以
，
故
，即
为直径，故
，
，
由勾股定理得
，
所以
，
在
中，由余弦定理得
，
即
，解得
，
由于
为钝角，故
，所以
舍去，
故
，
所以
的面积为
故答案为：
变式1-2．在四边形
中，
，
，
，
．
(1)求
的周长
(2)求四边形
的面积．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为
，
所以
因为
，所以
．
又因为
，所以
，
所以
，
因为
，故
，所以
，
，
且
，
由正弦定理
，所以
，
则
，
故
，
所以
的周长为
.
（2）连接
，
因为
，
，
，
所以
，
，所以
，且
，
所以四边形
为等腰梯形，所以，
，
则
，
又因为
，即
，设
，
所以四边形
的面积
.
题型二：平面四边形模型（不含可求解六要素的三角形）
典例2-1．如图：四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O，已知
，
，
，且
(1)求BO 的长；
(2)若
，求
的值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设
，
，所以
，
，
在
中，
，
在
中，
，
因为
，解得
，所以BO 的长为；
（2）由（1）知
，设
,
，
，
在
中，
，
在
中，
，
所以
，
若
，则
与
全等，所以
，
所以
，所以
，
不成立，所以
所以
，
因为
，所以
，
所以
，所以
，
所以
的值为
.
典例2-2．如图，在平面四边形ABCD 中，
，
．
(1)若
，
，求
的值；
(2)若
，
，求三角形ABD 的面积．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）在
中，
，
，则由余弦定理得
，
所以
，
在
中，
，
，
，所以由正弦定理得
，得
,
，得
；
（2）在
中，
，由余弦定理得
，
在
中，
，
，则余弦定理得
,
因为
，所以
，
化简得
，解得
，
所以
，
因为
，所以
，
所以
的面积
.
变式2-1．如图，在平面四边形
中，
，
，
，
，则
.
【答案】
/
【详解】设
，在
中，由正弦定理可得
①，
由
可得
，则
，
，
在
中，由正弦定理可得
②，
①②两式相除，得
，即
，
整理得
，故
.
故答案为：
变式2-2．在①
， ②
面积
，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，求
.
如图，在平面四边形
中，
，
，________，
，求
.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】
【详解】选择①：
设
，则
，
，
在
中
，即
，所以
，
在
中，
，即
，所以
，
所以
，则
，
所以
，则
，又
，所以
，
所以
.
选择②：
，所以
，
由余弦定理可得
，
所以
.
题型三：两次使用余弦定理
典例3-1．如图，已知平面四边形ABCD 中，
，
，
．
(1)求
的值；
(2)若
，求
的面积．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由余弦定理可得
，
因为
，
为三角形内角，
所以
，
在
中，由正弦定理
得
解得
（2）在
中，
，由余弦定理，得
，
在
，
，
，由余弦定理，得
，
由于
，即
，所以
，
根据
得
，即
又
，所以
，
，
则
的面积为
．
典例3-2．如图，在四边形
中，
，
，
，
，
.
(1)求
；
(2)求四边形
的面积.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由
，又
，得到
，
又
，
又
，
，且
，
所以
，
，
得到
.
（2）延长
交于
，设
，
，
在
中，由正弦定理得到
，由（1）知
，
，
所以
①，由余弦定理得到
②，
由①②解得
或
，
当
时，
，此时
，
又
，所以
，
不合题意，故
，
，
在
中，由
，
，得到
，
，
所以
，又
，
故
.
变式3-1．在
中，D 为边
上一点，满足
，且
.
(1)证明：
.
(2)若
，求
.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
.
【详解】（1）由
知
，
所以
，
因为
，所以
，
所以
.
（2）由（1）知
，设
，则
，
由
知
，又因为
，
设
，则
，
，
在
中，
，
在等腰
中，
，
所以
，整理得
，
所以
，
故
.
变式3-2．在平面四边形
中，
，
，对角线
与
交于点
，
是
的中点，
(1)若
，求
的长；
(2)若
，求
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）
在
中，由余弦定理可得
，
所以
，化简得
，
解得
，
因为
是
的中点，所以
，
在
中，由余弦定理可得
，
所以
，
因为
，所以
，
由余弦定理可得
，
在
中，由余弦定理可得
，
所以
；
（2）因为
，
，所以
，
因为
，所以
，
设
，所以
，
即
，解得
，
所以
，
在
中，由余弦定理可得
.
题型四：解三角形的中线问题
典例4-1．在
中，
，BC 边上的中线
，则下列说法错误的有（ ）
A．
为定值
B．
C．
D．
的最大值为
【答案】C
【详解】由题意
，
对于A,
，A 正确；
对于B，
，B 正
确；
对于C，
若
，则
，
，
，C 错；
对于D，
显然
是锐角，
又
，即
,
,
时，
取得最大值
，
又
是锐角，所以
的最大值为
，D 正确．
故选：C．
典例4-2．三角形三内角
，
，
的对边分别为
，
，，已知
.
(1)求角
的大小；
(2)若
的面积等于
，
为
边的中点，当中线
的长最短时，求
边的长.
【答案】(1)
(2)
.
【详解】（1）在
中，由正弦定理得，
.
因为
,
，所以
，
所以
，即
，
又
，
，则
，
所以
.
（2）由（1）得
，所以
，
在
中，由余弦定理可得：
，
当且仅当
，即
，
时，等号成立，
此时
，
故
.
变式4-1．记
的内角
的对边分别为
.已知
为边
的中点，且
.
(1)求证：
；
(2)若
，求
的面积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：由
，得
即
，
因为
，
由正弦定理得，
，
则
，即
.
（2）在
中，由余弦定理得
，①
因为
为
的中点，所以
，
则
，
即
，
即
，②
联立①②，得
，解得
，
所以
，
所以
的面积为
.
变式4-2．设
的内角
、
、
的对边分别为
、
、，已知
、
(1)求角
的大小；
(2)若
，且
，求
边上中线
的长．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）在
中，由
及正弦定理得:
，
即
，
因为
，则
，即
，
可得
，故
．
（2）在
中，由余弦定理可得，
所以
，
因为
为
边上的中线，所以
，
所以
．
，故
题型五：解三角形中的角平分线问题
典例5-1．（多选）已知
的三个内角分别为
，
，
，
在线段
上，
且满足
平分
．则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【详解】对于A，在
中，由正弦定理可得
，所以
，故A 正确；
对于B，因为
，则
，则
，故B 正确；
对于C，由于
，
，则
，
由于
，
，则
，
则
，
在
中，由余弦定理：
，即
，故C 不正确；
对于D，由于
，则
，
，
由于
，解得
（负数舍去）；
因为
在线段
上，且满足
平分
．则在
中，由等面积可得：
，
即
，解得：
，故D 正确.
故选：ABD
典例5-2．已知
中，角A、B、C 所对的边分别为a、b、c，
，
的角平分线交AC
于点D，且
，则
的最小值为 ．
【答案】4
【详解】如图，由题意得：
，
可得：
，
由基本不等式，可得
，解得
．
当且仅当
时取等号，即当
时，
的最小值为4.
故答案为：4．
变式5-1．已知
的内角
，
，
所对的边分别为
，
，，且
(1)求
；
(2)若
，
为
的角平分线，且
，求
的面积．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由正弦定理得，
，
因为
，
所以
，
因为
，所以
，
所以
，即
，
又因为
，所以
．
（2）因为
为
的平分线，则
，
因为
，
则
，
即
，化简得
，
在
中，由余弦定理可得
，
即
，整理可得
，解得
（负值舍），
所以
的面积
．
变式5-2．在
中，
平分
，则
的最小值为 ．
【答案】
【详解】如图，记
，
在
中，
，则
，
在
中，
，则
，
∵
平分
，∴
，∴
，
∴
，∴
，
∴
，∴
，
∴
，∴
，
∴
或
，
当
时，
为等腰三角形，∴
，
，
∴
；
当
时，
，即
，
∴
，
当且仅当
，即
时，等号成立.
∵
，∴
的最小值为
．
故答案为：
．
题型六：解三角形中的垂线问题
典例6-1．记斜三角形
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，已知
.
(1)求
；
(2)过点
作
的垂线，与
的延长线相交于点
，若
，且
，求
.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由正弦定理的边角互化可得
，
且
，
即
，
即
，
即
，
其中
为斜三角形，所以
，即
，
则
，即
，所以
.
（2）
因为
，
在
中，由余弦定理可得
，
又
，
，所以
，
且
，所以
，
即
，解得
，所以
，
则
.
典例6-2．在
中，内角
的对边分别是
，且
.
(1)求角
的大小；
(2)若
，
，求
边上的高.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为
，所以
，
由正弦定理得
，
又
，所以
，所以
，
又
，所以
.
（2）因为
，
，
，由余弦定理得
，
即
，即
，
解得
或
（舍）.
设
边上的高为，所以
，即
，
解得
，即
边上的高为
.
变式6-1．设
的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且有
，
(1)求角B；
(2)若AC 边上的高
，求
.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为
，
由正弦定理可得
，
则
，
可得
，
整理得
，
且
，则
，
可得
，整理得
，
因为
，则
，
可得
，所以
.
（2）因为
边上的高
，可得
，
又因为
，
两式联立可得
，
由正弦定理可得
，
结合（1）中
可得
.
变式6-2．已知
的内角
，
，
所对的边分别为
，
，，
，
．
(1)求角
；
(2)设
是
的高，求
的最大值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由
及
，得
，
又
，
，所以
，得
，
因为
，所以
．
（2）解法一 由余弦定理得
，则
，
得
，当且仅当
时取等号，
所以
，
得
，故
的最大值为
．
解法二 由正弦定理得
，
故
，
．
因为
，所以
，
，
所以
，当
时等号成立,
故
，得
，
故
的最大值为
.
题型七：三角形的外心和外接圆问题
典例7-1．（多选）记
是
的外接圆，且
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
的面积为
D．圆O 的周长为
【答案】BCD
【详解】对于A，因为
，所以
即
，即
，故A 错误；
对于B，因为
是
的外心，所以
在
的中垂线上，
所以
，故B 正确；
对于C，因为
，所以
，
所以
，
解得
，故
，
，
所以
的面积为
，故C 正确；
对于D，由余弦定理可得
，解得
，
由正弦定理，
，
所以圆
的半径为
，其周长为
，故D 正确.
故选：BCD
典例7-2．已知点O 是△ABC 外接圆圆心，角A、B、C 所对的边分别为a，b，c，且有
，
若
，则实数λ 的值为 ．
【答案】3
【详解】
，
又
，
则
，
则
，
设D 为BC 中点，则有
，
∴
，
由
可得
，
∴
，
所以
，所以
，即
又
，所以
，
故
．
故答案为：.
变式7-1．在
中，内角
所对的边分别为
是
的外心，
，则
的面积为 ．
【答案】
【详解】因为
，故由
得
，由正弦定理得
，又
，故
，因为
，所以
，故
，所以
．
因为
，
所以
． 在
中余弦定理得，
，
所以
． 所以
的面积为
．
故答案为：
变式7-2．已知函数
的最小正周期为
.
(1)求
的解析式；
(2)在
中，O 为
的外心，角A 所对边的长为a，若
的外接圆半径为1，且
，求
面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）
的最小正周期为
，
，
，所以
.
（2）已知角
所对边的长为
，再设角
所对边的长为
．
因为
的外接圆半径为，所以
，
因为
，所以
，
所以
，化简得
，
过点
作
交
于点
，
设
，则
，
则
即
，
所以
，
所以
，当
时取“等号”
∴
面积的最大值为
．
题型八：三角形的内心和内切圆问题
典例8-1．已知
中，
为
的内心，
，则
周长的最大值为
（ ）
A．4
B．6
C．16
D．18
【答案】B
【详解】因为O 是
的内心
所以
，
由于
，
所以
，故
.
中，由余弦定理，得
，
所以
（当且仅当
时，取“=”）
即
，即
周长的最大值为6.
故选：
.
典例8-2．在锐角三角形
中，角
的对边分别为
，已知
.
(1)比较
与
的大小；
(2)求
的取值范围；
(3)若
，且
，求
的内切圆半径.
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由
，可得：
,
,
假设
，在锐角三角形中，结合余弦函数在
上单调递减，
可知
，则
，
此时可得
，这与假设相矛盾，即假设
不成立；
又假设
，在锐角三角形中，结合余弦函数在
上单调递减，
可知
，则
，
此时可得
，这与假设相矛盾，即假设
也不成立；
综上可得：
（2）
由（1）得，
，即在等腰三角形中，取底边
的中点为
，
则
，则
，
因为在锐角三角形中，
，所以
，则
；
（3）在等腰三角形中，因为
，
所以
，
再由
，
则
可解得：
，
，
因为
，
，所以
，则
，
又由
，
，可得
，
所以高
，根据等面积法可知：
.
变式8-1．（多选）在直角
中，
且
．若
的内切圆半径为2，且与线段
相切于点
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【详解】如图，设
的内切圆的圆心为
，与
相切于点
，内切圆半径为
，
设角
所对的边为
，由于
，则
，
又
，所以
，则
，
又
，则
，即
，
由
，
则
，解得
，则
，
解得
或
，故A 错误；
易得四边形
为正方形，则
，
所以
，
当
时，
，
当
时，
，故B 正确；
由
，
当
时，
，
，
则
，故C 错误；
由
，可得
，
当
时，
，
，
则
，
当
时，
，
，
则
，故D 正确.
故选：BD.
变式8-2．在①
；②
这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解
答.记
的内角
所对的边分别是
，已知__________.
(1)求
.
(2)设
为
的内心（三角形三条内角平分线的交点），且满足
，求
的面
积.
【答案】(1)
(2)
.
【详解】（1）选择条件①：
.
由正弦定理
得
，
所以
.
由余弦定理，得
.
因为
，所以
.
选择条件②：因为
，所以
，即
.
由正弦定理得
，即
.
因为
，所以
，所以
.
因为
，所以
，所以
.因为
，所以
.
（2）连接
，
因为点
是内心，所以
.
因为
，所以
，
所以
，所以
.
由余弦定理得
，即
，解得
，
所以
.
巩固过关
1．四边形
四个顶点在一个平面上，
，
，
，
，则
的值
为（ ）
A．
B．
C．14
D．
【答案】B
【详解】设
，
由题意
，
，所以
，
由余弦定理得
，
由勾股定理有
，
从而将
代入
，得
,
将
代入
，得
，
即
，解得
或（舍去），
所以
.
故选：B.
2．已知
中，内角
的对边分别为
，
为
的外心，
，
，且有
．若
．则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
内切圆半径
C．
D．
【答案】ACD
【详解】对于A，因为
，
所以
，即
即
，
解得
，又
，所以
，所以A 正确；
对于B，
，
由余弦定理得
，
故
，故
的周长
，
设
内切圆为，由
得
，所以B 错误；
对于C，如图，分别取
的中点
，连接
，则
，
所以
，
，
所以
，所以C 正确；
对于D，
，
由
，可知
，
得
，解得：
，故
，所以D 正确．
故选：ACD．
3．四边形
内接于半径为
的圆，如图所示，其中
，
，则下列结论
正确的有（ ）
A．
B．
C．四边形
的面积为
D．
【答案】ACD
【详解】对于A，连接
，在
中，
，
，
，
，解得
，
，即
，故A 正确；
对于B，
，
由正弦定理得
，
该外接圆的半径为
，故B 错误；
对于C，
，
，
四边形
的面积
，故C 正确；
对于D，连接
，
，
，
解得
，
，
则
，故D 正确．
故选：ACD．
4．如图，已知平面凸四边形
中，
，
，
是以
为直角顶点的等腰直角三角形，
那么
的最大值是 ．
【答案】
【详解】设
，则
，
在
中，由余弦定理有
，
所以
，
由正弦定理有
，
在
中，由余弦定理有
，
当
时，即
时，
的最大值为
，
故答案为：
.
5．在
中，角
的对边分别为
.
(1)证明：
；
(2)求
；
(3)若
，边
上的中线
，求边
的长.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
或
【详解】（1）证明：由正弦定理得：
，
即
.
（2）因为
，
即
.
则
，
因为
，
所以
.
（3）因为
，由余弦定理知：
，
，
即
，
，
故
，
解得：
或
.
6．如图，平面四边形
中，
，
，
．
的内角A，B，C 的对边分别为
a，b，c，且满足
．
(1)求
；
(2)求
内切圆半径的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由
，则由正弦定理得
，
整理得
，所以由余弦定理得
，
又
，则
．
（2）在
中，
，
，
，
由余弦定理得
，得
，
所以结合（1）得
，即
，得
，
在
中，由
由（1）知
，
则
.
又由正弦定理有
，
所以
，
，
又
，
所以
，
又
，则
，则
，
所以
，
所以
．
7．已知
，
，分别为
角
，
，
的对边，
.
(1)求
；
(2)若
，
，点
在边
上，且
是
的角平分线，求
.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）
.
可化为
.
所以
由正弦定理可得
，
由余弦定理可得：
，所以：
.
（2）三角形如图所示.
由
是
的角平分线得
，
法一：
，
又
，
所以
.
法二：因为
，
所以
.
.
8．已知a，b，c 分别为
三个内角A，B，C 的对边，且
.
(1)求
；
(2)设BC 边上的高等于
，求
.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为
，由正弦定理
，
得
，
所以
，
因为
，所以
，即
.
（2）法一：设BC 边上的高与BC 边交于点D，则
，且
.
设
，则
.
中，
，
中，
.
中，由余弦定理，得
.
法二：设
，则
.
中，
，
中，
.
，
所以
.
创新提升
1．已知凸四边形
满足
，则其内切圆半径的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】连接
，在
中，由余弦定理得
，
则
，
在
中，由余弦定理得
，
则
，
则
，即
，
则四边形
的面积为
，
即
，
则
，
则
，
则
，当且仅当
时等号成立，
则
，设四边形
的内切圆半径为，
又
，
则
，即内切圆半径的最大值为
.
故选：C.
2．已知四边形ABCD 满足
，且其外接圆半径为
，四边形ABCD 的周长记为L，若
的面积
，则当L 取最大值时，四边形ABCD 的面积为（ ）
A．10
B．15
C．
D．
【答案】A
【详解】因为
，
所以
，
由余弦定理
，代入上式可得
，
不妨设
,则由
可得
或
（舍），所以
，
在
中，由
可得
；
由
可得
，
所以
，即
,当且仅当
时，取等号.
又
，所以
.
同理可求
，当且仅当
时，取等号.
所以当L 取最大值时，四边形ABCD 的面积为
.
故选：A
3．三角形
中，角
对的边分别为
，
，若
，则
边上的
高为（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由余弦定理得，
，代入
，
可得
，
化简得
，
两边同时除以
得，
，
一方面，
，
其中
，
，当
时等号成立；
另一方面，由均值不等式，有
，当且仅当
时等号成立，
依题可得：
，此时
且
，
，
，
，
，
，
，
由余弦定理，
，又
，
，
联立解得
，
，
设
边上的高为，则
，
故
，即
边上的高为
.
故选：B.
4．已知平面四边形ABDC 中，对角线CB 为钝角
的平分线，CB 与AD 相交于点O，
，
，
.
(1)求
的值；
(2)求
的长；
(3)若
，求
的面积.
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为
，对角线
为钝角
的平分线，
所以
，
解得
或
（舍），
所以
；
（2）由题意，在
中，由余弦定理可得
，
即
，
整理可得
，解得
或
（舍去），
因为
，所以
，
又因为
，
所以
，
所以
，
解得
；
（3）方法一：在
中，由正弦定理可得
，
即
，所以
，
因为
为钝角，所以
，
因为
，所以
，
所以
，所以
，
在
中，由余弦定理可得
，
解得
，
因为
，
所以
；
方法二：在
中，由
，
可得
，所以
，
所以
，所以
，
又由于
，从而
，即
，
所以
，
，
所以
.
