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培优点 08 圆锥曲线中非对称韦达定理的应用（2 大考点+强化训练）
在圆锥曲线问题中，我们联立直线和圆锥曲线方程，消去 x或y，得到一个一元二次方程，往往能够
利用韦达定理来快速处理|x －x|，x＋x，＋之类的结构，但在有些问题中，我们会遇到涉及x ，x 的不同
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系数的代数式的运算，比如求，或λx ＋μx 之类的结构，我们把这种系数不对等的结构，称为“非对称韦
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达结构”．
知识导图
考点分类讲解
考点一 分式型
规律方法 非对称结构的常规处理方法有和积转换、配凑、求根公式(暴力法)、曲线方程代换、第三定义
等方法，将其转化为对称结构计算．
【例1】(2023·新高考全国Ⅱ)已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为(－2，0)，离心率为.
(1)求C的方程；
(2)记C的左、右顶点分别为A ，A ，过点(－4,0)的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线
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MA 与NA 交于点P.证明：点P在定直线上．
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【变式1】（2024·浙江·模拟预测）已知双曲线 的左右焦点分别为 ，点 在 的渐近线上，且满足 .
(1)求 的方程；
(2)点 为 的左顶点，过 的直线 交 于 两点，直线 与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 ，
证明：线段 的中点为定点.
【变式2】（23-24高三上·江苏·开学考试）已知双曲线 ．
(1)求C的右支与直线 围成的区域内部（不含边界）整点（横纵坐标均为整数的点）的个数．
(2)记C的左、右顶点分别为 ，过点 的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线
与 交于点P，证明：点P在定直线上．【变式3】（23-24高三上·河北唐山·阶段练习）已知双曲线 的中心为坐标原点，左焦点为 ，离
心率为 ．
(1)求 的方程；
(2)记C的右顶点为A，过点A作直线 与C的左支交于 两点，且 ， ， 为垂
足．证明：存在定点 ，使得 为定值．
考点二 比值型
规律方法 比值型问题适用于x ＝λx 型，可以采用倒数相加，但有时得到的可能不是这种形式，而是x ＝
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λx ＋k的形式，此时采用待定系数法，例如x ＝－3x ＋4，可以转化x －1＝－3(x －1)，得到＝－3，继续
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采用倒数相加解决．
【例2】(2023·深圳模拟)在平面直角坐标系Oxy中，已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为y＝
x，且点P在C上．
(1)求C的方程；
(2)设C的上焦点为F，过F的直线l交C于A，B两点，且AF＝7BF，求l的斜率．【变式1】（2024·河南·模拟预测）已知 分别为双曲线 的左､右顶点， ，
动直线 与双曲线 交于 两点．当 轴，且 时，四边形 的面积为 ．
(1)求双曲线 的标准方程．
(2)设 均在双曲线 的右支上，直线 与 分别交 轴于 两点，若 ，判断直线 是
否过定点．若过，求出该定点的坐标；若不过，请说明理由．
【变式2】（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆C： 的左右顶点为A，B，点P为椭圆C上不
同于A，B的一点，且直线PA，PB的斜率之积为 ．
(1)求椭圆的离心率；
(2)设 为椭圆C的左焦点，直线l过点F与椭圆C交与不同的两点M，N，且 ，求直线l
的斜率．【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知双曲线C的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，点 在C上，
点P与C的上、下焦点连线所在直线的斜率之积为 ．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)经过点 的直线 与双曲线C交于E，F两点(异于点P)，过点F作平行于x轴的直线 ，直线PE与
交于点D，且 求直线AB的斜率．
强化训练
一、单选题
1．（2023·江西·一模）已知椭圆 ： 的右焦点和上顶点分别为 ，且焦距等于
4， 的延长线交椭圆于点 ， ，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·内蒙古包头·一模）已知点 在双曲线 上，斜率为k的直线l过点
且不过点P．若直线l交C于M，N两点，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．3．（2023·河南·三模）过抛物线 的焦点F作斜率为k的直线与抛物线交于A，B两点，点M的坐标
为 ，若 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（23-24高二下·吉林·开学考试）如图，已知抛物线 ，圆 ，过圆心 的直
线 与抛物线和圆依次交于 ，则 的最小值为（ ）
A．14 B．23 C．18 D．15
5．（2024·江苏南通·二模）设抛物线 的焦点为F，C的准线与x轴交于点A，过A的直线与C在
第一象限的交点为M，N，且 ，则直线MN的斜率为（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24高二上·北京·期中）已知椭圆 的上、下顶点为 ，过点 的直线 与椭圆
相交于两个不同的点 （ 在线段 之间），则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．（22-23高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知椭圆 的长轴长是短轴长的2倍，过椭圆 的上焦点 作斜率为 的直线 ，直线 交椭圆 于 两点，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．（2023·内蒙古包头·一模）已知点 在双曲线 ： （ ）上，斜率为 的直线 过
点 且不过点 ．若直线 交 于 ， 两点，且以线段 为直径的圆过点 ，则 （ ）
A． B． C． D．
二、多选题
1．（23-24高三上·山东青岛·期末）已知椭圆 ，直线 与 相交于 两点，
，若椭圆 恒过定点 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．|AB|的长可能为3 D．|AB|的长可能为4
2．（23-24高三上·江苏·阶段练习）双曲线 ： ，左、右顶点分别为 ， ， 为
坐标原点，如图，已知动直线 与双曲线 左、右两支分别交于 ， 两点,与其两条渐近线分别交于 ，
两点,则下列命题正确的是（ ）
A．存在直线 ，使得B． 在运动的过程中，始终有
C．若直线 的方程为 ，存在 ，使得 取到最大值
D．若直线 的方程为 ， ，则双曲线 的离心率为
3．（23-24高三上·辽宁大连·期末）已知椭圆 左焦点 ，左顶点 ，经过 的直线 交椭圆于
两点（点 在第一象限），则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 的斜率
B． 的最小值为
C．以 为直径的圆与圆 相切
D．若直线 的斜率为 ，则
三、填空题
1．（23-24高三上·广东深圳·期末）已知椭圆 的左焦点为 ，直线
与 交于 ， 两点，若 ，则 的离心率是 .
2．（2023高三·全国·专题练习）已知双曲线 ，过点 的动直线与C交于两点P，Q，若曲
线C上存在某定点A使得 为定值 ，则定点A的坐标为 ．
3．（2023高三·全国·专题练习）已知双曲线C的焦点在y轴上，对称中心O为坐标原点，焦距为 ，且
过点 ，则C的标准方程为 ；若斜率为2的直线l与C交于P，Q两点．且，则 ．
四、解答题
1．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线 ： 的右焦点为 ，直线 ：
与 的渐近线相交于点 ， ，且 的面积为 .
(1)求C的标准方程；
(2)过点F作直线 与C的右支相交于M，N两点，若x轴上的点G使得等式 恒成立，求证：点
的横坐标为 .
2．（2024·河北·一模）已知椭圆E： 过点 ，且其离心率为 ．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点 的斜率不为零的直线与椭圆E交于C，D两点，A，B分别为椭圆E的左、右顶点，直线
AC，BD交于一点P，M为线段PB上一点，满足 ，问 是否为定值，若是，求出该定值；
若不是，说明理由（O为坐标原点）．3．（2024·四川成都·模拟预测）已知椭圆 的离心率为 ，短轴长为 ，过点
斜率存在且不为0的直线 与椭圆有两个不同的交点 ．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)椭圆左右顶点为 ，设 中点为 ，直线 交直线 于点 是否为定值？若是
请求出定值，若不是请说明理由．
4．（23-24高三上·福建福州·期末）已知椭圆 的上、下顶点分别是A，B，点E（异
于A，B两点）在椭圆C上，直线EA与EB的斜率之积为 ，椭圆C的短轴长为2．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)点Q是椭圆C长轴上的不同于左右顶点的任意一点，过点Q作斜率不为0的直线l，l与椭圆的两个交点
分别为P，N，若 为定值，则称点Q为“稳定点”，问：是否存在这样的稳定点？若有，求出
所有的“稳定点”；若没有，请说明理由．5．（23-24高三下·陕西安康·阶段练习）设椭圆 ， ， 分别是C的左、右焦点，
C上的点到 的最小距离为1，P是C上一点，且 的周长为6．
(1)求C的方程；
(2)过点 且斜率为k的直线l与C交于M，N两点，过原点且与l平行的直线与C交于A，B两点，求证：
为定值．
