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微专题19 圆锥曲线经典难题之一类定点、定值问题的通性通法研究
【秒杀总结】
1、直线与圆锥曲线综合应用中的直线过定点问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：
①假设直线方程，与抛物线方程联立，整理为关于
或
的一元二次方程的形式；
②利用
求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；
③利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理可整理得到变量间的关系，从而化简直线方
程；
④根据直线过定点的求解方法可求得结果.
2、定比点差法
3、非对称韦达与对称韦达
4、先猜后证
5、硬解坐标
【典型例题】
例1．（2024·陕西榆林·二模）已知椭圆
的左､右焦点分别为
过点
，
且
的长轴长为8.
(1)求
的方程.
(2)设
的右顶点为点
，过点
的直线与
交于
两点（异于
），直线
与
轴分别交
于点
，试问线段
的中点是否为定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.
【解析】（1）因为
的长轴长为8，所以
，所以
.
又
，所以
，所以
的方程为
.
（2）
易知
，则直线的斜率存在，设其方程为
.
联立
得
，
1
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，
因为点
在直线上，所以
，
，
直线
，令
，得
，
直线
，令
，得
，
，
所以线段
的中点为
，为定点.
例2．（2024·江苏·模拟预测）已知椭圆
的右焦点为
，点
在椭圆
上，且
垂直于
轴．
(1)求椭圆
的方程；
(2)直线斜率存在，交椭圆
于
两点，
三点不共线，且直线
和直线
关于
对称．
（ⅰ）证明：直线过定点；
（ⅱ）求
面积的最大值．
【解析】（1）点
在椭圆
上，且
垂直于
轴，则有
设椭圆
的焦距为
，则
，
点
代入椭圆方程，有
，
解得
，则
，
所以椭圆
的方程为
.
2
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（2）（ⅰ）设直线l 的方程为
，由
，
消去y，整理得
，
因为l 交椭圆C 于
两点，所以
，
设
，所以
，
因为直线
和直线
关于
对称，
所以
所以
所以
解得
.
所以直线l 的方程为
，
所以直线l 过定点
.
（ⅱ）设直线l 的方程为
，由
，
消去
，整理得
，
因为l 交椭圆C 于
两点，所以
，
解得
，
，
所以
，
3
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所以
令
则
，当且仅当
时取等号，
所以
面积的最大值为
.
例3．（2024·四川广安·二模）在直角坐标系
中，设
为抛物线
（
）的焦点，
为
上位于第一象限内一点.当
时，
的面积为1.
(1)求
的方程；
(2)当
时，如果直线与抛物线
交于
，
两点，直线
，
的斜率满足
.证
明直线是恒过定点，并求出定点坐标.
【解析】（1）由
，所以
，设
，
，
，
，解得
，
所以抛物线
的方程为
.
（2）如图，设
，
，
，
，
，解得
，
所以点
的坐标为
.
由题意直线的斜率不为0，设
，
，
，
联立
，消去
整理得
，
则
，
，
，
因为
，所以
，
即
，整理得
，
4
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将
，
代入上式，
，满足
，
所以直线为
，恒过定点
.
例4．（2024·高三·广东广州·阶段练习）已知椭圆
，点
是椭圆中心与该椭
圆一个顶点的中点，点
为椭圆与
轴正半轴的顶点，且离心率为
，过点
的直线（与
轴不重合）
交椭圆
于
，
两点．
(1)求椭圆
的标准方程，并求
面积的最大值；
(2)探究直线
和直线
的斜率之积是否为定值？若是，求出这个值，若不是请说明理由；
(3)若圆
的方程为
，直线
，
分别交圆
于
，
两点，试证明：直线
恒过定点．
【解析】（1）根据题意可得，
，又
，则
，解得
，
所以椭圆方程为
，
因为
，当点
的横坐标绝对值最大时，
的面积最大，又
，
.
（2）设过点
的直线为
，
，
，易知
，
联立
，消去
整理得
，易得
，
则
，
，
所以
5
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.
所以直线
与直线
的斜率之积为定值
.
（3）设直线
的斜率为
，直线
的斜率为
，
，
，且
，
则直线
的方程为
，直线
的方程为
，
联立
，消去
整理得
，
解得
，
，
同理，可得
，
，
当直线
的斜率为0 时，易知此时
，解得
，直线
过点
.
当直线
的斜率不为0 时，
，
，所以
，
所以直线
过点
，
综上，直线
恒过定点
.
例5．（2024·河南·一模）已知椭圆
的左右焦点分别为
，
，其长轴长为6，离
心率为e 且
，点D 为E 上一动点，
的面积的最大值为
，过
的直线，
分别与椭
圆E 交于A，B 两点（异于点P），与直线
交于M，N 两点，且M，N 两点的纵坐标之和为11.过坐标
原点O 作直线
的垂线，垂足为H.
6
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(1)求椭圆E 的方程；
(2)问：平面内是否存在定点Q，使得
为定值？若存在，请求出Q 点坐标；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）根据条件则
，
，
当点D 位于短轴顶点时，
面积的最大，且
，
由
，
解得
，
或
，
又
，因此
，
，
，
故椭圆E 的方程为：
.
（2）
（2）存在定点
使得
为定值，理由如下：
由题意过点P 的直线与椭圆E 交于A 点，与直线
交于M 点，
与椭圆E 交于B 点，与直线
交于
N 点，
如图，设
，
，
，
.
根据条件有，
，且
①
由条件知，直线
的斜率不为0，故可设直线
的方程为
由①，
②
联立
，整理得
，该方程有两个不同的实数根
，
，
则
，由韦达定理可得
，
，
7
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代入②中，整理得
，又
，化简得
，
因此
，即直线
过定点
.
过原点O 作直线
的垂线，垂直为H，则点H 在以
为直径的圆上，则
的中点到H 的距离等于
为定值，
因此存在定点即为
的中点
使得
为定值.
例6．（2024·全国·一模）已知椭圆
的离心率是
，点Q 在椭圆上，且
，
．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)如图，设椭圆C 的上、下顶点分别为
，
，P 为该椭圆上异于
，
的任一点，直线
，
分别
交x 轴于M，N 两点，若直线OT 与经过M，N 两点的圆G 相切，切点为T．证明：线段OT 的长为定值．
【解析】（1）由
，得
，由椭圆定义可得
，
在
中
，所以可得
，解得
，
则
，所以
.
故椭圆
的方程为
.
（2）如图：
8
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，
，设
，
直线
：
，令
，得
；
直线
:
，令
，得
；
则
，因为
，所以
，
所以
，
由切割线定理得
，所以
，
即线段OT 的长度为定值2．
例7．（2024·湖南衡阳·二模）已知椭圆
的左、右焦点分别为
，过
的直线与
交于
两点，
的周长为8．
(1)求
的方程；
(2)若直线
与
交于
两点，且原点
到直线
的距离为定值1，求
的最大值．
【解析】（1）因为
的周长为8，
所以
，解得
，
焦距为
，
，所以
，
所以椭圆E 的方程为
．
（2）
当直线
斜率不存在时，为
或
，
当
时，
，则
，
当
时，同理
，
9
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当直线
斜率存在时，设斜率为
，则直线
的方程为
，
因为原点
到直线
的距离为定值1，所以
，则
，
设
，
联立椭圆于直线方程
，
消元得
，
所以
，
由
，得
,
,
令
，
则
，
由
，所以当
时，
，
所以
的最大值
例8．（2024·高三·浙江·阶段练习）在平面直角坐标系xOy 中，过点
的直线与抛物线
交
于M，N 两点
在第一象限）.
(1)当
时，求直线的方程;
(2)若三角形OMN 的外接圆与曲线
交于点
（异于点O，M，N），
（i）证明:△MND 的重心的纵坐标为定值，并求出此定值;
（ii）求凸四边形OMDN 的面积的取值范围.
【解析】（1）解:设直线
联立
，消去
，得
，
所以
，
10
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，则
，则
，又由题意
，
直线的方程是
;
（2）（1）方法1:设
因为O，M，D，N 四点共圆，设该圆的方程为
，
联立
，消去
，得
，
即
，
所以
即为关于
的方程
的3 个根，
则
，
因为
，
由
的系数对应相等得，
，所以
的重心的纵坐标为0.
方法2:设
，则
，
因为O，M，C，N 四点共圆，所以
，即
，
化简可得:
，
所以
的重心的纵坐标为0.
（2）记
的面积分别为
，由已知得直线MN 的斜率不为0，设直线
，联立
，消去
，得
，所以
，
所以
，
由（1）得，
，
所以
，即
，
因为
，
11
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点
到直线MN 的距离
，
所以
，
所以
在第一象限，即
，
依次连接O，M，D，N 构成凸四边形OMDN，所以
，即
，
又因为
，即
，即
，
所以
，即
，即
，
所以
，
设
，则
，
令
，则
，
因为
，所以
，所以
在区间
上单调递增，所以
，
所以的取值范围为
.
例9．（2024·宁夏银川·一模）已知
，
分别是椭圆
的左、右焦点，左顶点为
A，则上顶点为
，且
的方程为
.
(1)求椭圆
的标准方程；
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(2)若
是直线
上一点，过点
的两条不同直线分别交
于点
，
和点
，
，且
，求
证：直线
的斜率与直线
的斜率之和为定值.
【解析】（1）因为
的方程为
，可知
，
可知
，所以椭圆
的标准方程为
.
（2）由
可得
，
因为点P 在直线
上，可设点
，
由题可知：直线DE 的斜率与直线MN 的斜率都存在．
所以直线DE 的方程为：
，即
，
直线MN 的方程为：
，即
，
设
，
，
，
，
所以
，消去y 可得
，
整理可得
，
且
，则
，
，
又因为
，
，
则
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，
同理可得
，
又因为
，则
，
可知
，则
，整理可得
，
又因为
，则
，
所以直线DE 的斜率与直线MN 的斜率之和为0．
【过关测试】
1．（2024·广东湛江·一模）已知
为双曲线
上一点，
分别为双曲线
的左、右顶点，且直线
与
的斜率之和为
．
(1)求双曲线
的方程；
(2)不过点
的直线
与双曲线
交于
两点，若直线
的倾斜角分别为
和
，且
，证明：直线过定点．
【解析】（1）由题意知：
，
，
，
，
又
在双曲线
上，
，解得：
；
双曲线
的方程为：
.
（2）当直线
中的一条斜率不存在时，不妨设直线
斜率不存在，则
，
，
，直线
，即
，
由
得：
，解得：
，
即直线
与双曲线
相切于点
，不合题意；
直线
斜率均存在，则
，
，
，
，
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即
，
；
设
，
由
得：
，
且
，
，
，
，
，
由
得：
，
，
，
，
整理可得：
，
即
，
或
，
当
时，直线
恒过点
，不合题意；
当
时，满足
，此时直线
恒过点
；
综上所述：直线过定点
.
2．（2024·浙江·模拟预测）已知双曲线
的左右焦点分别为
，点
在
的渐近线上，
且满足
.
(1)求
的方程；
(2)点
为
的左顶点，过
的直线交
于
两点，直线
与
轴交于点
，直线
与
轴交于点
，证明：线段
的中点为定点.
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【解析】（1）设
，
，由
，得
，
解得
，即
，而曲线
的渐近线方程为
，
由点
在
的渐近线上，得
，即
，因此
，
所以
的方程为
.
（2）由（1）知
，设直线为
，
由
消去y 得：
，
则
，
，由
三点共线，得
，同理
，
因此
，
所以
的中点
为定点
.
3．（2024·天津·一模）已知椭圆
的右焦点为
，左、右顶点分别为
，
，离心率为
，过点
且与
轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为
.
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(1)求椭圆的方程；
(2)若
为直线
上一动点，且直线
，
分别与椭圆交于
，
两点（异于
，
两点），证明：
直线
恒过一定点.
【解析】（1）设
，由
，解得
，
所以
，又
，
，解得
，
，
，
所以椭圆方程为
.
（2）由（1）可得
，
，设
，
设直线
的方程为
，
，
，
由
，整理得
，
所以
，即
，
所以
，
，
因为
、
、
三点共线，
、
、
三点共线，
所以
，
，
所以
，即
，
所以
，
即
，
所以
，
整理得
，
因为当
变化时，上式恒成立，
所以
，解得
，
所以直线
的方程为
，令
，则
，所以直线
过定点
.
17
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4．（2024·河南郑州·二模）已知椭圆E：
过点
，且焦距为
.
(1)求椭圆E 的标准方程；
(2)过点
作两条互相垂直的弦AB，CD，设弦AB，CD 的中点分别为M，N.
①证明：直线MN 必过定点；
②若弦AB，CD 的斜率均存在，求
面积的最大值.
【解析】（1）依题意有
，
，解得
，
所以椭圆的方程为
.
（2）①设
：
，
，
，则
：
，
联立
，故
，
，
，
故
，由
代替m，得
，
当
，即
时，
：
，过点
.
当
，即
时，
，
：
，
令
，
，直线MN 恒过点
.
当
，经验证直线MN 过点
.
综上，直线MN 恒过点
.
18
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②
，
令
，
，
∵
在
上单调递减，
∴
，当且仅当
，
时取等号.
故
面积的最大值为
.
5．（2024·内蒙古呼伦贝尔·一模）已知椭圆
的焦距为6，圆
9 与椭圆C 有
且仅有两个公共点
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)已知动直线过曲线
的左焦点F，且与椭圆
分别交于P，Q 两点，试问x 轴上是否存在定点R，使得
为定值？若存在，求出该定点坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）
根据题意得
，所以
，
所以椭圆
的标准方程为
．
（2）①当直线的斜率存在时，设直线的方程为
，联立椭圆
的方程，可得
，设
，则
．
设
，则
，
19
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若
为定值，则
，解得
．
此时
点的坐标为
．
②当直线
的斜率不存在时，直线
的方程为
，代入
，得
不妨设
，若
，则
，
，
．
综上，在
轴上存在点
，使得
为定值
．
6．（2024·全国·一模）如图，已知椭圆
的短轴长为
，焦点与双曲线
的焦点重合.点
，
斜率为
的直线与椭圆
交于
两点.
(1)求常数的取值范围，并求椭圆
的方程.
(2)(本题可以使用解析几何的方法，也可以利用下面材料所给的结论进行解答)
极点与极线是法国数学家吉拉德·迪沙格于1639 年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》中正式阐述
的.对于椭圆
，极点
（不是原点）对应的极线为
，且若极点
在
轴上，
则过点
作椭圆的割线交
于点
，则对于
上任意一点
，均有
（当斜率均存在时）.
已知点
是直线上的一点，且点
的横坐标为2.连接
交
轴于点
.连接
分别交椭圆
于
两点.
①设直线
、
分别交
轴于点
、点
，证明：点
为
、
的中点；
②证明直线：
恒过定点，并求出定点的坐标.
20
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【解析】（1）由题意焦点在
轴上，所以
，解得
，即的范围为
，
且
，解得
，
所以椭圆方程为
.
（2）我们首先给出题目给出的引理的证明：
设
，则Q 在P 的极线上，
现在如果经过P 的直线
交椭圆于
：
那么，代入椭圆就得到
，
所以
，
由韦达定理有
，
此时要证明的是：
，
也就是
，
也就是
，
也就是
，
也就是
，
也就是
，
也就是
，
也就是
，
21
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也就是
，
也就是
，
也就是
，
这显然成立，所以结论得证.
接下来我们回到原题，
①首先由于Q 在P 的极线
上，故由引理有
，
，
而
，
所以
，这表明Q 是
和
的交点，
又由于
，故
，
设
，而
，
，
，
所以
，也就是E 是
的中点；
②设
，那么
，所以
，
这表明
的方程是
，即
，
所以
恒过点
.
7．（2024·新疆塔城·二模）已知动圆
经过定点
，且与直线
相切，设动圆圆心
的轨迹为曲
线
.
22
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(1)求曲线
的方程；
(2)设过点
的直线，
分别与曲线
交于
，
两点，直线，
的斜率存在，且倾斜角互补，求证：
直线
的倾斜角为定值.
【解析】（1）因为动圆
经过定点
，且与直线
相切，
即动圆圆心
到点
的距离与到直线
的距离相等，
又点
不在直线
上，
由抛物线的定义可知动圆圆心
是以
为焦点，直线
为准线的抛物线，
所以动圆圆心
的轨迹为
.
（2）依题意设直线方程为
，
直线，
的斜率存在，且倾斜角互补，
的方程为
．
联立方程组
，消元得
，
，
因为此方程的一个根为，设
，
，
则
，同理可得
，
，
．
．
，
设直线
的倾斜角为
，则
，又
，所以
，
直线
的斜率为定值
，倾斜角为定值
．
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8．（2024·天津南开·一模）已知椭圆C：
的一个焦点与抛物线
的焦点F 重合，
抛物线的准线被C 截得的线段长为
.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)过点F 作直线l 交C 于A，B 两点，试问：在x 轴上是否存在一个定点M，使
为定值？若存在，
求出M 的坐标；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）抛物线的焦点
，准线方程为
，由题意得
，
解得
，所以椭圆C 的方程为
.
（2）假设存在符合条件的点
，设
，
则
，
，
①当直线l 的斜率不为0 时，设直线l 的方程为
，
由
，得
，则
，
所以
，
因此
，若对于任意的t 值，上式为定值，
则
，解得
，此时，
为定值.
②当直线l 的斜率为0 时，
综合①②知，符合条件的点M 存在，其坐标为
.
9．（2024·陕西宝鸡·模拟预测）已知椭圆
经过点
，下顶点
为抛物线
的焦点．
(1)求椭圆
的方程；
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(2)若点
均在椭圆
上，且满足直线
与
的斜率之积为
，
（ⅰ）求证：直线
过定点；
（ⅱ）当
时，求直线
的方程．
【解析】（1）抛物线
的焦点为
，所以椭圆的下顶点
，则
，
又椭圆
经过点
，所以
，解得
，
所以椭圆方程为
；
（2）（ⅰ）当直线
的斜率不存在时，设
，则
，
所以
，则
，与
矛盾，
所以直线
的斜率存在，
由已知直线
斜率同号，因此直线
的斜率存在且不为，
设直线
的方程为
，设
，
由
得
，
由
，可得
，
所以
，
，
则
，
，
所以
，
即
，
所以
，解得
或
，
当
时直线
方程为
，令
，可得
，所以直线
恒过定点
，不合题意，
当
时直线
方程为
，令
，可得
，所以直线
恒过定点
，符合题意．
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综上可得直线
恒过定点
.
（ⅱ）设直线
恒过定点为
，
此时
，解得
，
由
，可得
，
又
，
，
所以
，
，
所以
，解得
，满足
，
所以
，
所以直线
方程为
.
10．（2024·新疆乌鲁木齐·二模）在平面直角坐标系
中，重新定义两点
之间的“距
离”为
，我们把到两定点
的“距离”之和为常数
的点的轨迹叫“椭圆”．
(1)求“椭圆”的方程；
(2)根据“椭圆”的方程，研究“椭圆”的范围、对称性，并说明理由；
(3)设
，作出“椭圆”的图形，设此“椭圆”的外接椭圆为
的左顶点为
，过
作直线交
于
两点，
的外心为
，求证：直线
与
的斜率之积为定值．
【解析】（1）设“椭圆”上任意一点为
，则
，
即
，即
，
所以“椭圆”的方程为
；
（2）由方程
，得
，
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因为
，所以
，即
，
所以
或
或
，
解得
，
由方程
，得
，
即
，所以
，所以
，
所以“椭圆”的范围为
，
，
将点
代入得，
，
即
，方程不变，所以“椭圆”关于
轴对称，
将点
代入得，
，
即
，方程不变，所以“椭圆”关于
轴对称，
将点
代入得，
，
即
，方程不变，所以“椭圆”关于原点对称，
所以“椭圆”关于
轴，
轴，原点对称；
（3）由题意可设椭圆
的方程为
，
将点
代入得
，解得
，
所以椭圆
的方程为
，
，
由题意可设直线
的方程为
，
联立
，得
，
恒成立，
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则
，
因为
的中点为
，
所以直线
的中垂线的方程为
，
同理直线
的中垂线的方程为
，
设
，则
是方程
的两根，
即
是方程
的两根，
所以
，
又因
，
所以
，
两式相比得
，所以
，
所以
，
所以直线
与
的斜率之积为定值
．
11．（2024·高三·云南昆明·阶段练习）平面上一动点
满足
．
(1)求P 点轨迹
的方程；
(2)已知
，
，延长PA 交
于点Q，求实数m 使得
恒成立，并证明：
为定值
【解析】（1）由题意可得，动点P 到定点
的距离比到定点
的距离大2，
由双曲线的定义，P 点轨迹是以
，
为焦点的双曲线的左支，
设
，则
，
，
，
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所以
的方程为
．
（2）如图，不妨设点P 在第二象限，
①当
的斜率不存在时，
，令
，解得
，则
，此时
，
在
中，
，
，即
，
②当
的斜率存在时，令
的倾斜角为
，
的倾斜角为
，则
，
，
假设
成立，即
，则有
，即
．
又
，
，又点P 的坐标满足
，即
，
，
，假设成立，
综上，当
时，有
成立．
此时
，由对称性知，
，而
，
为定值．
12．（2024·高三·全国·专题练习）我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚
轴，则称它们互为“姊妺”圆锥曲线.已知椭圆
，双曲线
是椭圆
的“姊妺”圆
锥曲线，
分别为
的离心率，且
，点
分别为椭圆
的左､右顶点.
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(1)求双曲线
的方程；
(2)设过点
的动直线交双曲线
右支于
两点，若直线
的斜率分别为
.
（i）试探究
与
的比值
是否为定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由；
（ii）求
的取值范围.
【解析】（1）由题意可设双曲线
，则
，解得
，
所以双曲线
的方程为
.
（2）（i）设
，直线
的方程为
，
由
，消元得
.
则
，且
，
，
或由韦达定理可得
，即
,
30
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，
即
与
的比值为定值
.
（ii）方法一：设直线
，
代入双曲线方程并整理得
，
由于点
为双曲线的左顶点，所以此方程有一根为
，.
由韦达定理得：
，解得
.
因为点A 在双曲线的右支上，所以
，解得
，
即
，同理可得
，
由（i）中结论可知
，
得
，所以
，
故
，
设
，其图象对称轴为
，
则
在
上单调递减，故
，
故
的取值范围为
；
方法二：由于双曲线
的渐近线方程为
，
如图，过点
作两渐近线的平行线
，由于点A 在双曲线
的右支上，
所以直线
介于直线
之间（含
轴，不含直线
），
所以
.
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同理，过点
作两渐近线的平行线
，
由于点
在双曲线
的右支上，
所以直线
介于直线
之间（不含
轴，不含直线
），
所以
.
由（i）中结论可知
，
得
，所以
,
故
.
13．（2024·山东烟台·一模）已知双曲线
经过点
，离心率为
，直线过点
且与双曲线
交于两点
（异于点
）.
(1)求证：直线
与直线
的斜率之积为定值.并求出该定值；
(2)过点
分别作直线
的垂线，垂足分别为
，记
的面积分别为
，求
的
最大值.
【解析】（1）令双曲线半焦距为c，依题意，
，
由
，解得
，
则双曲线
的方程为
，显然直线不垂直于y 轴，设直线的方程为
，
由
消去
得，
，
，
设
，则
，
直线
的斜率分别为
，
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所以
.
（2）设直线
的方程为
，则直线
的方程为
，
由
，得点
的纵坐标
，
用
替换上式中的
得点
的纵坐标
，
则
而
，当且仅当
时取等号，
因此
，所以
的最大值为
.
14．（2024·北京门头沟·一模）已知椭圆
的离心率为
， 椭圆
的上顶点为
A， 右顶点为
， 点
为坐标原点，
的面积为 2 ．
(1)求椭圆
的方程；
(2)若过点
且不过点
的直线 与椭圆
交于
两点， 直线
与直线
交于点
， 试判断直线
的斜率是否为定值？ 若是， 求出该定值； 若不是， 请说明理由．
【解析】（1）由已知可得
解得
，所以椭圆E 的方程为
.
（2）当直线斜率不存在时，直线的方程为
，代入椭圆方程得
，不妨设此时
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，则
，则直线NC 的斜率为
.
当直线的斜率存在时，设其方程为
，设
则直线MQ 的方程为
，令
，得
，
由
消去
得：
，
由于点P 在椭圆内，则必有
，则
所以
所以
，所以CN 的斜率为定值1.
15．（2024·高三·上海闵行·期中）已知双曲线
：
的离心率为
，点
在双曲
线
上．过
的左焦点F 作直线交
的左支于A、B 两点．
(1)求双曲线C 的方程；
(2)若
，试问：是否存在直线，使得点M 在以
为直径的圆上?请说明理由．
(3)点
，直线
交直线
于点
．设直线
、
的斜率分别
、
，求证：
为定值．
【解析】（1）由双曲线
的离心率为
，且
在双曲线
上，
可得
，解得
，∴双曲线的方程为
．
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（2）双曲线
的左焦点为
，
当直线的斜率为0 时，此时直线为
，与双曲线
左支只有一个交点，舍去；
当直线的斜率不为0 时，设
，
联立方程组
，消
得
，易得
，
设
，则
，可得
，
∵
，
则
，
即
，可得
与
不垂直，
∴不存在直线，使得点
在以
为直径的圆上．
（3）由直线
，得
，
∴
，又
，
∴
，
∵
，∴
，且
，
∴
，即
为定值．
16．（2024·江苏·模拟预测）已知椭圆
的离心率为
分别为椭圆
的左，右
顶点和坐标原点，点
为椭圆
上异于
的一动点，
面积的最大值为
.
(1)求
的方程；
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(2)过椭圆
的右焦点
的直线与
交于
两点，记
的面积为，过线段
的中点
作直线
的垂线，垂足为
，设直线
的斜率分别为
.
①求的取值范围；
②求证：
为定值.
【解析】（1）由题意知
，解得
，
所以
的方程为
；
（2）①易知
，
设直线
方程为
，如下图所示：
联立
，消去
可得
，
所以
，
且
，
可得
，
令
，
可得
，由对勾函数性质可得
在
时单调递增；
所以可得
；
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即的取值范围为
.
②易知
，
可得
；
所以
；
因此
为定值.
17．（2024·高三·福建福州·期末）已知椭圆
的上、下顶点分别是A，B，点E（异
于A，B 两点）在椭圆C 上，直线EA 与EB 的斜率之积为
，椭圆C 的短轴长为2．
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)点Q 是椭圆C 长轴上的不同于左右顶点的任意一点，过点Q 作斜率不为0 的直线l，l 与椭圆的两个交点
分别为P，N，若
为定值，则称点Q 为“稳定点”，问：是否存在这样的稳定点？若有，求出
所有的“稳定点”；若没有，请说明理由．
【解析】（1）由题，
，即
，所以
，
，
设
，由
可得，
，化简得
，又点
满足上式，
所以椭圆C 的标准方程为
.
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（2）存在这样的点
，设直线
，
，
，
，
联立
，消去
整理得
，
，
，
，
又
，
，
，
要使上式为定值，则
，故当
时，
为定值
，
综上，存在这样的稳定点
.
18．（2024·山东·模拟预测）设异面直线
与
所成的角为
，公垂线段为
，且
，
、
分别直线m、n 上的动点，且
，
为线段
中点，建立适当的平面直角坐标系可确定点
的
轨迹方程
．
(1)请根据自己建立的平面直角坐标系求出
．
(2)
为
的任意内接三角形，点
为
的外心，若直线
的斜率存在，分别为
，
，
，
，证明：
为定值．
【解析】（1）过
作直线
，则直线
的夹角为
，令它们确定的平面为
，有
，
过
作
，交直线
于点
，连接
，于是
，而
，则
，
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取
的中点
，而
是线段
的中点，连接
，则
，
，
显然四边形
为矩形，
，而
，因此
，
点
在移动过程中，点
到平面
的距离
，于是点
轨迹所在平面平行于
，
点
轨迹与点
的轨迹形状完全相同，在平面
内以直线
相交构成的两组对顶角的平分线为坐标轴，
建立平面直角坐标系，其中
轴与直线
都成
，令直线
的方程分别为
，
设
，则
，即
，
由
，得
，于是
，即
，
所以方程
为
.
（2）设
，则
，
显然
中任意两个都不相等，否则外心
在
轴上，直线
斜率不存在，即
，
设
的外接圆方程为
，
得
，
两式相减得
，
由
，得
，则有
，同理
，
两式相减得：
，则
39
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因此
，
所以
，即
为定值.
19．（2024·高三·上海浦东新·阶段练习）已知椭圆
的左、右焦点分别是
，其
离心率
，过
且垂直于
轴的直线被椭圆
截得的线段长为1．
(1)求椭圆
的方程；
(2)点
是椭圆
上除长轴端点外的任一点，过点
作斜率为
的直线，使得与椭圆
有且只有一个公共
点，设直线
的斜率分别为
，若
，证明：
为定值，并求出这个定值；
(3)点
是椭圆
上除长轴端点外的任一点，设
的角平分线
交椭圆
的长轴于点
，求
的取值范围．
【解析】（1）由于
，将
代入椭圆方程
，得
．
由题意知
，即
．
又
，
，所以
，
．
所以椭圆
的方程为
．
（2）设
，则直线的方程为
．
联立得
，
40
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整理得
由题意得
，即
．
又
，所以
，故
．
又知
，
所以
，
因此
为定值，这个定值为
．
（3）
设
，又
，
，
所以直线
的方程分别为
，
．
由题意知
，
由于点
在椭圆上，所以
．
所以
，
结合
整理得到：
，而
，
故
，而
在
之间，故
，
41
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故
即
，因此
．
20．（2024·四川宜宾·二模）已知椭圆
的下、上顶点分别为
，左、右顶点分
别为
，四边形
的面积为
，若椭圆
上的点到右焦点距离的最大值和最小值之和为6.
(1)求椭圆
的方程；
(2)过点
且斜率不为0 的直线与
交于
（异于
两点，设直线
与直线
交于点
，
探究三角形
的面积是否为定值，请说明理由.
【解析】（1）由题意可知：
，解得
，
所以椭圆
的方程为
.
（2）三角形
的面积是定值，理由如下：
由（1）可知：
，
因为
在椭圆
的内部，可知直线与椭圆
必相交，
由题意可设：直线
，
联立方程
，消去x 得，
，
则
，可知
，
又因为直线
，直线
，
联立方程
，
42
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解得
，
即点
在直线
上，
所以三角形
的面积为
.
21．（2024·四川南充·二模）如图，已知四边形
的四个顶点都在抛物线
上，且A，B 在第一
象限，
轴，抛物线在点A 处的切线为，且
．
(1)设直线
，
的斜率分别为k 和
，求
的值；
(2)若
，证明：
的面积为定值．
【解析】（1）
设点
的坐标分别为
．
由
轴得：点
的坐标为
．
由
得，
．
所以抛物线在点
处的切线斜率为
．
又
由
得：
，
．
43
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.
（2）根据题意：
直线
的方程为
，即
由
，得：
得
又直线
得方程为
，即
由
，得：
，得
直线
的方程为
即
方法1：
点
到直线
的距离为
又
的面积为
故
的面积为定值128．
方法2：
的坐标为
的面积等于
故
的面积为定值128．
44
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方法3：设
的中点为
，则
，即
，
又
轴，且
．
的面积为
．
故
的面积为定值128．
解法4：先证明下面三角形的面积公式．
设
中，
．
则
的面积为
．
．
的面积为
．
的面积为定值128．
45
