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微专题19 圆锥曲线经典难题之一类定点、定值问题的通性通法研究
【秒杀总结】
1、直线与圆锥曲线综合应用中的直线过定点问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：
①假设直线方程，与抛物线方程联立，整理为关于
或
的一元二次方程的形式；
②利用
求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；
③利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理可整理得到变量间的关系，从而化简直线方
程；
④根据直线过定点的求解方法可求得结果.
2、定比点差法
3、非对称韦达与对称韦达
4、先猜后证
5、硬解坐标
【典型例题】
例1．（2024·陕西榆林·二模）已知椭圆
的左､右焦点分别为
过点
，
且
的长轴长为8.
(1)求
的方程.
(2)设
的右顶点为点
，过点
的直线与
交于
两点（异于
），直线
与
轴分别交
于点
，试问线段
的中点是否为定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.
例2．（2024·江苏·模拟预测）已知椭圆
的右焦点为
，点
在椭圆
上，且
垂直于
轴．
(1)求椭圆
的方程；
(2)直线斜率存在，交椭圆
于
两点，
三点不共线，且直线
和直线
关于
对称．
（ⅰ）证明：直线过定点；
（ⅱ）求
面积的最大值．
例3．（2024·四川广安·二模）在直角坐标系
中，设
为抛物线
（
）的焦点，
为
上位于第一象限内一点.当
时，
的面积为1.
1
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(1)求
的方程；
(2)当
时，如果直线与抛物线
交于
，
两点，直线
，
的斜率满足
.证
明直线是恒过定点，并求出定点坐标.
例4．（2024·高三·广东广州·阶段练习）已知椭圆
，点
是椭圆中心与该椭
圆一个顶点的中点，点
为椭圆与
轴正半轴的顶点，且离心率为
，过点
的直线（与
轴不重合）
交椭圆
于
，
两点．
(1)求椭圆
的标准方程，并求
面积的最大值；
(2)探究直线
和直线
的斜率之积是否为定值？若是，求出这个值，若不是请说明理由；
(3)若圆
的方程为
，直线
，
分别交圆
于
，
两点，试证明：直线
恒过定点．
例5．（2024·河南·一模）已知椭圆
的左右焦点分别为
，
，其长轴长为6，离
心率为e 且
，点D 为E 上一动点，
的面积的最大值为
，过
的直线，
分别与椭
圆E 交于A，B 两点（异于点P），与直线
交于M，N 两点，且M，N 两点的纵坐标之和为11.过坐标
原点O 作直线
的垂线，垂足为H.
(1)求椭圆E 的方程；
(2)问：平面内是否存在定点Q，使得
为定值？若存在，请求出Q 点坐标；若不存在，请说明理由.
例6．（2024·全国·一模）已知椭圆
的离心率是
，点Q 在椭圆上，且
，
．
2
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(1)求椭圆C 的方程；
(2)如图，设椭圆C 的上、下顶点分别为
，
，P 为该椭圆上异于
，
的任一点，直线
，
分别
交x 轴于M，N 两点，若直线OT 与经过M，N 两点的圆G 相切，切点为T．证明：线段OT 的长为定值．
例7．（2024·湖南衡阳·二模）已知椭圆
的左、右焦点分别为
，过
的直线与
交于
两点，
的周长为8．
(1)求
的方程；
(2)若直线
与
交于
两点，且原点
到直线
的距离为定值1，求
的最大值．
例8．（2024·高三·浙江·阶段练习）在平面直角坐标系xOy 中，过点
的直线与抛物线
交
于M，N 两点
在第一象限）.
(1)当
时，求直线的方程;
(2)若三角形OMN 的外接圆与曲线
交于点
（异于点O，M，N），
（i）证明:△MND 的重心的纵坐标为定值，并求出此定值;
（ii）求凸四边形OMDN 的面积的取值范围.
例9．（2024·宁夏银川·一模）已知
，
分别是椭圆
的左、右焦点，左顶点为
A，则上顶点为
，且
的方程为
.
3
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(1)求椭圆
的标准方程；
(2)若
是直线
上一点，过点
的两条不同直线分别交
于点
，
和点
，
，且
，求
证：直线
的斜率与直线
的斜率之和为定值.
【过关测试】
1．（2024·广东湛江·一模）已知
为双曲线
上一点，
分别为双曲线
的左、右顶点，且直线
与
的斜率之和为
．
(1)求双曲线
的方程；
(2)不过点
的直线
与双曲线
交于
两点，若直线
的倾斜角分别为
和
，且
，证明：直线过定点．
2．（2024·浙江·模拟预测）已知双曲线
的左右焦点分别为
，点
在
的渐近线上，
且满足
.
(1)求
的方程；
(2)点
为
的左顶点，过
的直线交
于
两点，直线
与
轴交于点
，直线
与
轴交于点
，证明：线段
的中点为定点.
3．（2024·天津·一模）已知椭圆
的右焦点为
，左、右顶点分别为
，
，离心率为
，过点
且与
轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为
.
(1)求椭圆的方程；
(2)若
为直线
上一动点，且直线
，
分别与椭圆交于
，
两点（异于
，
两点），证明：
4
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直线
恒过一定点.
4．（2024·河南郑州·二模）已知椭圆E：
过点
，且焦距为
.
(1)求椭圆E 的标准方程；
(2)过点
作两条互相垂直的弦AB，CD，设弦AB，CD 的中点分别为M，N.
①证明：直线MN 必过定点；
②若弦AB，CD 的斜率均存在，求
面积的最大值.
5．（2024·内蒙古呼伦贝尔·一模）已知椭圆
的焦距为6，圆
9 与椭圆C 有
且仅有两个公共点
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)已知动直线过曲线
的左焦点F，且与椭圆
分别交于P，Q 两点，试问x 轴上是否存在定点R，使得
为定值？若存在，求出该定点坐标；若不存在，请说明理由．
6．（2024·全国·一模）如图，已知椭圆
的短轴长为
，焦点与双曲线
的焦点重合.点
，
斜率为
的直线与椭圆
交于
两点.
(1)求常数的取值范围，并求椭圆
的方程.
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(2)(本题可以使用解析几何的方法，也可以利用下面材料所给的结论进行解答)
极点与极线是法国数学家吉拉德·迪沙格于1639 年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》中正式阐述
的.对于椭圆
，极点
（不是原点）对应的极线为
，且若极点
在
轴上，
则过点
作椭圆的割线交
于点
，则对于
上任意一点
，均有
（当斜率均存在时）.
已知点
是直线上的一点，且点
的横坐标为2.连接
交
轴于点
.连接
分别交椭圆
于
两点.
①设直线
、
分别交
轴于点
、点
，证明：点
为
、
的中点；
②证明直线：
恒过定点，并求出定点的坐标.
7．（2024·新疆塔城·二模）已知动圆
经过定点
，且与直线
相切，设动圆圆心
的轨迹为曲
线
.
(1)求曲线
的方程；
(2)设过点
的直线，
分别与曲线
交于
，
两点，直线，
的斜率存在，且倾斜角互补，求证：
直线
的倾斜角为定值.
8．（2024·天津南开·一模）已知椭圆C：
的一个焦点与抛物线
的焦点F 重合，
抛物线的准线被C 截得的线段长为
.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)过点F 作直线l 交C 于A，B 两点，试问：在x 轴上是否存在一个定点M，使
为定值？若存在，
求出M 的坐标；若不存在，请说明理由.
9．（2024·陕西宝鸡·模拟预测）已知椭圆
经过点
，下顶点
为抛物线
的焦点．
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(1)求椭圆
的方程；
(2)若点
均在椭圆
上，且满足直线
与
的斜率之积为
，
（ⅰ）求证：直线
过定点；
（ⅱ）当
时，求直线
的方程．
10．（2024·新疆乌鲁木齐·二模）在平面直角坐标系
中，重新定义两点
之间的“距
离”为
，我们把到两定点
的“距离”之和为常数
的点的轨迹叫“椭圆”．
(1)求“椭圆”的方程；
(2)根据“椭圆”的方程，研究“椭圆”的范围、对称性，并说明理由；
(3)设
，作出“椭圆”的图形，设此“椭圆”的外接椭圆为
的左顶点为
，过
作直线交
于
两点，
的外心为
，求证：直线
与
的斜率之积为定值．
11．（2024·高三·云南昆明·阶段练习）平面上一动点
满足
．
(1)求P 点轨迹
的方程；
(2)已知
，
，延长PA 交
于点Q，求实数m 使得
恒成立，并证明：
为定值
12．（2024·高三·全国·专题练习）我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚
轴，则称它们互为“姊妺”圆锥曲线.已知椭圆
，双曲线
是椭圆
的“姊妺”圆
锥曲线，
分别为
的离心率，且
，点
分别为椭圆
的左､右顶点.
(1)求双曲线
的方程；
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(2)设过点
的动直线交双曲线
右支于
两点，若直线
的斜率分别为
.
（i）试探究
与
的比值
是否为定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由；
（ii）求
的取值范围.
13．（2024·山东烟台·一模）已知双曲线
经过点
，离心率为
，直线过点
且与双曲线
交于两点
（异于点
）.
(1)求证：直线
与直线
的斜率之积为定值.并求出该定值；
(2)过点
分别作直线
的垂线，垂足分别为
，记
的面积分别为
，求
的
最大值.
14．（2024·北京门头沟·一模）已知椭圆
的离心率为
， 椭圆
的上顶点为
A， 右顶点为
， 点
为坐标原点，
的面积为 2 ．
(1)求椭圆
的方程；
(2)若过点
且不过点
的直线 与椭圆
交于
两点， 直线
与直线
交于点
， 试判断直线
的斜率是否为定值？ 若是， 求出该定值； 若不是， 请说明理由．
15．（2024·高三·上海闵行·期中）已知双曲线
：
的离心率为
，点
在双曲
线
上．过
的左焦点F 作直线交
的左支于A、B 两点．
(1)求双曲线C 的方程；
(2)若
，试问：是否存在直线，使得点M 在以
为直径的圆上?请说明理由．
(3)点
，直线
交直线
于点
．设直线
、
的斜率分别
、
，求证：
为定值．
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16．（2024·江苏·模拟预测）已知椭圆
的离心率为
分别为椭圆
的左，右
顶点和坐标原点，点
为椭圆
上异于
的一动点，
面积的最大值为
.
(1)求
的方程；
(2)过椭圆
的右焦点
的直线与
交于
两点，记
的面积为，过线段
的中点
作直线
的垂线，垂足为
，设直线
的斜率分别为
.
①求的取值范围；
②求证：
为定值.
17．（2024·高三·福建福州·期末）已知椭圆
的上、下顶点分别是A，B，点E（异
于A，B 两点）在椭圆C 上，直线EA 与EB 的斜率之积为
，椭圆C 的短轴长为2．
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)点Q 是椭圆C 长轴上的不同于左右顶点的任意一点，过点Q 作斜率不为0 的直线l，l 与椭圆的两个交点
分别为P，N，若
为定值，则称点Q 为“稳定点”，问：是否存在这样的稳定点？若有，求出
所有的“稳定点”；若没有，请说明理由．
18．（2024·山东·模拟预测）设异面直线
与
所成的角为
，公垂线段为
，且
，
、
分别直线m、n 上的动点，且
，
为线段
中点，建立适当的平面直角坐标系可确定点
的
轨迹方程
．
(1)请根据自己建立的平面直角坐标系求出
．
(2)
为
的任意内接三角形，点
为
的外心，若直线
的斜率存在，分别为
，
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，
，
，证明：
为定值．
19．（2024·高三·上海浦东新·阶段练习）已知椭圆
的左、右焦点分别是
，其
离心率
，过
且垂直于
轴的直线被椭圆
截得的线段长为1．
(1)求椭圆
的方程；
(2)点
是椭圆
上除长轴端点外的任一点，过点
作斜率为
的直线，使得与椭圆
有且只有一个公共
点，设直线
的斜率分别为
，若
，证明：
为定值，并求出这个定值；
(3)点
是椭圆
上除长轴端点外的任一点，设
的角平分线
交椭圆
的长轴于点
，求
的取值范围．
20．（2024·四川宜宾·二模）已知椭圆
的下、上顶点分别为
，左、右顶点分
别为
，四边形
的面积为
，若椭圆
上的点到右焦点距离的最大值和最小值之和为6.
(1)求椭圆
的方程；
(2)过点
且斜率不为0 的直线与
交于
（异于
两点，设直线
与直线
交于点
，
探究三角形
的面积是否为定值，请说明理由.
21．（2024·四川南充·二模）如图，已知四边形
的四个顶点都在抛物线
上，且A，B 在第一
象限，
轴，抛物线在点A 处的切线为，且
．
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(1)设直线
，
的斜率分别为k 和
，求
的值；
(2)若
，证明：
的面积为定值．
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