专项04 解析几何
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【命题解码·定方向】命题趋势+2026 年预测
【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式
【实战刷题·冲高分】精选高考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分
根据近五年全国卷考情，圆、椭圆、双曲线及抛物线的性质以及直线与圆锥曲线的位置关系是必考主干，
分值约20-32 分．
命题趋势：
解答题：稳定考查圆锥曲线（常为第16 至19 题），核心是设而不求、利用韦达定理解决直线与圆锥曲
线的位置关系的综合问题．
2026 年预测：解答题极可能仍为圆锥曲线常规题，热门考向为定点、定值、最值或范围问题．
备考核心：熟记圆锥曲线定义性质，熟练运用韦达定理,专攻定点定值、范围最值等高频题型，规范答
题步骤，强化计算训练，减少运算失误，真题限时演练提升速度．
题型01 解析几何中的面积问题
析典例·建模型
1．（2026·山东青岛·一模）已知抛物线
2
:
2
(
0)
C y
px p
=
>
，点F 为C 的焦点，
,
M N 是C 上任意不重合的
两点，当直线MN 过点F 且垂直x 轴时，|
| 4
MN =
.
(1)求C 的方程；
(2)若直线MN 过点F 且OMN
V
的面积为4 ，求MN 的方程.
研考点·通技法
圆锥曲线周长与面积问题核心是几何条件代数化，结合定义与公式求解.
面积：优先用坐标法，设点坐标，以底高、行列式或割补法计算；焦点三角形常用椭圆、双曲线定义结
合余弦定理求解.
周长：曲线周长多转化为焦半径之和，利用定义简化；多边形周长则求各边长度和，结合韦达定理处理
弦长.
关键步骤：设点、联立方程、用定义转化、韦达定理、参数范围检验，避免计算失误.
破类题·提能力
1．（2026·江西赣州·一模）已知抛物线
2
:
2
C x
y
=
，过点
0,2
P
作直线l 与抛物线C 相交于
,
A B 两点，O
为坐标原点.
(1)证明：OA
OB
^
；
(2)若存在异于点P 的定点T ，使得|
| |
| |
| |
|
PA
TB
PB
TA
×
=
×
uuur
uur
uuur
uur
恒成立，请求出点T 的坐标，并求出
TAB
△
面积的最小值.
2．（25-26 高三上·天津·期末）已知椭圆𝐶:𝑥2
𝑎2 + 𝑦2
𝑏2 = 1（𝑎> 𝑏> 0）的长轴长为4，焦距为2.
(1)求椭圆𝐶的方程和离心率；
(2)设𝐴为椭圆𝐶的右顶点，若直线𝑙与椭圆𝐶有唯一的公共点𝑀(𝑀在第一象限)，直线𝑙与𝑦轴的正半轴交
于点𝑁，直线𝑁𝐴与直线𝑂𝑀交于点𝑃(𝑂为原点)，且𝑆△𝑃𝑂𝐴= 3
5𝑆△𝑁𝑂𝐴，求直线𝑙的方程.
题型02 解析几何中定值定点问题
析典例·建模型
1．（2026·福建龙岩·一模）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
E
a
b
a
b
+
=
>
>
的左顶点为A ，上顶点为B ，长轴长为4，且
以短轴为直径的圆与直线
2
y
x
=
+
相切.
(1)求E 的方程；
(2)过点
2,1
P -
的直线l 交E 于
,
C D 两点，直线
,
BC BD 分别交x 轴于
,
M N 两点，证明：
（ⅰ）
, ,
M A N 的横坐标成等差数列；
（ⅱ）
ABD
△
与BMD
V
的面积之比为定值.
2．（2026·广西河池·二模）已知抛物线
2
2
0
E
y
px p
=
>
：
，过E 上一动点A 作斜率为2 的直线,l l 与E 交
于另一点B ，当点A 与原点O 重合时，
5
AB =
．
(1)求p ．
(2)当l 不经过点
4,1
N
时，直线AN 与E 交于另一点C ，直线BN 与E 交于另一点D ．
（i）证明：
/ /
AB
CD ；
（ii）试判断直线AD 与BC 是否交于定点，若是，请求出定点的坐标，否则，请说明理由．
研考点·通技法
解决直线与圆锥曲线相交（过定点、定值）问题的常用步骤：
（1）得出直线方程，设交点为
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
；
（2）联立直线与曲线方程，得到关于x 或y 的一元二次方程；
（3）写出韦达定理；
（4）将所求问题或题中关系转化为
1
2
x
x
+
，
2
1x x 形式；
（5）代入韦达定理求解.
过程步骤：圆锥曲线中直线过定点问题，设动直线与圆锥曲线的交点坐标为
1
1
2
2
( ,
),(
,
)
x y
x
y
，直线方程
代入曲线方程后应用韦达定理得
1
2
1
2
1
2
1
2
,
(
,
)
y
y
y y
x
x
x x
+
+
，利用这两个交点的坐标写出要求过定点的直线
的方程，可根据直线的变化确定定点的位置，然后代入韦达定理的结论及利用定点所在的直线方程（得
交点的横纵坐标关系）求出定点坐标．
破类题·提能力
1．（2026·山东滨州·一模）设圆
2
2
2 3
13
0
x
y
x
+
+
-
=
的圆心为A ，直线l 过点
3,0
B
且与x 轴不重合，
l 交圆A 于
,
C D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E ，动点E 的轨迹为曲线W ．
(1)证明EA
EB
+
为定值，并求曲线W 的方程；
(2)若直线
:
0
l
y
x
t t
=
+
¹
¢
与曲线W 相交于
,
M N 两点．
①求OMN
V
面积的最大值；
②已知点
4,0
P -
，直线PM 与曲线W 的另一个交点为G ，直线PN 与曲线W 的另一个交点为H ．证
明：直线GH 过定点．
2.（25-26 高三上·湖北武汉·阶段练习）过坐标原点
作圆
的两条切线，切点为
，
，直线
恰为抛物线
的准线.
(1)求
的方程；
(2)将抛物线
向左移4 个单位长度得到新抛物线
，抛物线
交
轴于
，
两点，
，
为抛物线
上不重合的两点，
交
于点
.若直线
经过坐标原点，求证：
的面积恒为定值.
题型03 解析几何中证明类问题
析典例·建模型
1．（2026·广东·一模）设双曲线
2
2
2
2
:
1
,
0
x
y
C
a b
a
b
-
=
>
的离心率为2，其左、右焦点分别是
1
2
,
F F ，过
2F 的
直线l 与双曲线C 的右支交于点
,
M N ．当MN 与x 轴垂直时，
6
MN =
．
(1)求双曲线C 的标准方程；
(2)求
2
2
MF
NF
×
的最小值；
(3)记
1F MN
△
的内切圆
P
e
与双曲线C 的一个公共点为Q ，双曲线C 的左顶点为A ，证明：
2
2
APQ
F PQ
Ð
Ð
=
．
O
2
2
: (
3)
6
C
x
y
+
+
=
M
N
MN
2
:
2
(
0)
T
y
px p
=
>
T
T
G
G
y
A
B
E
Q
AE
BQ
Z
EQ
ABZ
V
研考点·通技法
圆锥曲线证明问题求解策略：
1.几何条件代数化：将垂直、平行、共线、角度、长度比例等关系，转化为向量数量积、斜率关系、距
离公式或坐标等式。
2.规范设线联立：合理设直线方程，与圆锥曲线联立，借助韦达定理得到x1+x2、x1x2，设而不求整体代
换，其中涉及中点、对称问题时，采用点差法快速建立斜率与坐标关系，简化运算.
3.化简恒等变形：将待证式转化为含韦达定理表达式的结构，通过通分、因式分解、配方等恒等变形，
推导出所证式子成立.
破类题·提能力
1．（2026·湖南怀化·一模）在抛物线
2
Γ :
2
0
y
px p
=
>
中，直线l 与Γ 交于
,
A B 两点，F 为Γ 的焦点.当直
线l 为
4
y
x
=
-
时，
4 10
AB =
.
(1)求抛物线Γ 的标准方程；
(2)若线段AB 中点的纵坐标始终为1，求AF
BF
+
的取值范围；
(3)已知直线x
m
=
与Γ 相交于,
P Q 两点，直线x n
= 与Γ 相交于
,
C D 两点（点,
P C 在x 轴的上方），若
4
CD
PQ
=
，四边形PQDC 的外接圆圆心坐标为
,s t ，求证：
2
s
t
+ >
.
2．（2026·广东深圳·一模）已知
1A ，
2
A 为椭圆
2
2
1
2
:
1(0
3)
3
x
y
C
b
b
+
=
<
<
的左，右顶点，M 为
1
C 上的一
点，N 为双曲线
2
2
2
2
:
1
3
x
y
C
b
-
= 上的一点（M ，N 两点不同于
1A ，
2
A 两点），设直线
1A M ，
2
A M ，
1A N ，
2
A N 的斜率分别为
1k ，
2k ，
3k ，
4k ，且
1
2
3
4
0
k
k
k
k
+
+
+
=
.
(1)设O 为坐标原点，证明：O ，M ，N 三点共线；
(2)设
1
C 、
2
C 的右焦点分别为
1F 、
2F ，M 、N 均在第一象限，直线
1
NF 与直线
2
MF 相交于点P ，
2
2
2
2
1
2
3
4
8
k
k
k
k
+
+
+
=
.
（i）证明：
1
2
/ /
MF
NF ；
（ii）证明：
1
1
2
2
A PF
A PF
Ð
= Ð
.
题型04 解析几何中非对称韦达问题
析典例·建模型
1.（25-26 高三上·湖北武汉·期末）已知椭圆C：
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
+
=
>
>
的长轴长是短轴长的2 倍，焦距为
2 3 ，点A，B 分别为C 的左、右顶点，点P，Q 为C 上的两个动点，且分别位于x 轴上、下两侧，
APQ
△
和
BPQ
V
的面积分别为
1S ，
2S ，记
1
2
.
S
S
l
=
(1)求椭圆C 的方程；
(2)若
7
4 3
l =
-
，求证直线PQ 过定点，并求出该点的坐标；
(3)若
1
l > ，设直线AP 和直线BQ 的斜率分别为
1k ，
2k ，求
1
2
k
k 的取值范围．
研考点·通技法
1 在一元二次方程
2
0
ax
bx
c
+
+
=
中，若
0
D >
，设它的两个根分别为
1
2
,
x
x ，则有根与系数关系：
1
2
1
2
,
b
c
x
x
x x
a
a
+
= -
=
，借此我们往往能够利用韦达定理来快速处理
2
2
1
2
1
2
1
2
1
1
,
,
x
x
x
x
x
x
-
+
+
之类的结构。
2、但在有些问题时，我们会遇到涉及
1
2
,
x
x 的不同系数的代数式的应算，比如求
1
1
2
1
2
2
1
2
1
2
3
2
, 2
x
x x
x
x
x
x x
x
x
+
-
-
+
或
1
2
x
x
l
m
+
之类的结构，就相对较难地转化到应用韦达定理来处理了．特别是在圆锥曲线问题中，我们联
立直线和圆锥曲线方程，消去x 或y ，也得到一个一元二次方程，我们就会面临着同样的困难，我们把这
种形如
1
1
2
1
2
2
1
2
2
,
, x
x
x
x y
x y
x
l
m
+
+
或
1
2
1
2
1
2
1
2
3
2
2
x x
x
x
x x
x
x
+
-
-
+
之类中
1
2
,
x
x 的系数不对等的情况，这些式子是非对称
结构，称为“非对称韦达”．
破类题·提能力
1．（25-26 高三上·云南昆明·月考）已知椭圆E：
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
+
=
>
>
的左焦点为
1,0
F -
，过点F 且与
x 轴不重合的直线l 交E 于A，B，当直线l 的斜率为1 时，直线l 恰好过椭圆的一个顶点.
(1)求椭圆E 的标准方程；
(2)若在x 轴上存在异于F 的定点Q，使得直线 QA 与直线QB 的斜率比值为定值，
①求定点 Q 的坐标；
②求△ABQ 面积的最大值.
2 .（2026·河北保定·一模）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的离心率为
1
2 ，左、右焦点分别为
1
2
,
F F ，点
P 为C 上的动点，
1
2
F PF
V
的周长为6.
(1)求C 的标准方程.
(2)延长线段
1
2
,
PF PF 分别交C 于
,
Q M 两点，连接
2
QF ，并延长线段
2
QF 交C 于另一点N ，若直线PQ
和MN 的斜率均存在，且分别为
1
2
,
k k ，试判断
1
2
k
k 是否为定值.若是，求出该定值；若不是，说明理由.
题型05 解析几何中范围类问题
析典例·建模型
1．（25-26 高三下·重庆沙坪坝·月考）已知椭圆
2
2
1 :
1
5
x
C
y
+
= ，双曲线
2
C 的焦点是椭圆长轴端点，顶点为椭
圆焦点，O 为坐标原点，过点
0,1
P
作斜率为k 的直线l，与双曲线左､右两支分别交于A，B 两点.
(1)求双曲线
2
C 的方程；
(2)过点A，B 两点分别作双曲线
2
C 的切线1
2
,
l l ，设1
2
,
l l 交于点Q，直线OQ 与直线l 交于点R，求线段
OR 长度的取值范围.
研考点·通技法
圆锥曲线中的范围问题的求解常用的三种方法
(1)函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数的单调性求解．
(2)不等式法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求参数范围．
(3)判别式法：建立关于某变量的一元二次方程，利用判别式Δ 求参数的范围．
破类题·提能力
1．（25-26 高三下·重庆沙坪坝·月考）已知椭圆
2
2
1 :
1
5
x
C
y
+
= ，双曲线
2
C 的焦点是椭圆长轴端点，顶点为椭
圆焦点，O 为坐标原点，过点
0,1
P
作斜率为k 的直线l，与双曲线左､右两支分别交于A，B 两点.
(1)求双曲线
2
C 的方程；
(2)过点A，B 两点分别作双曲线
2
C 的切线1
2
,
l l ，设1
2
,
l l 交于点Q，直线OQ 与直线l 交于点R，求线段
OR 长度的取值范围.
2．（25-26 高三上·云南昆明·月考）已知抛物线
2
:
4
E y
x
=
的焦点为F ，过点
0
0,
A
y
的直线l 与E 相交于
1
1
2
2
,
,
,
B x y
C x
y
两点，且
0
0
y >
，
(1)若F 为线段AC 的中点，
（i）求直线l 的斜率；
（ii）求|AC|；
(2)若点
3
0
,2
P x
y
在抛物线E 上，满足BP
BC
^
，求
2y 取值范围．
题型05 解析几何中最值类问题
析典例·建模型
1．（2026·湖南·模拟预测）已知椭圆C 过点
2,1
M
，两个焦点坐标分别为
6, 0 ,
6, 0
-
．
(1)求椭圆C 的方程．
(2)已知,
A B 为椭圆C 上异于M 的两点，且直线
,
MA MB 与x 轴围成一个以M 为顶点的等腰三角形．
（i）求证：直线AB 的斜率为定值；
（ii）求
MAB
△
面积的最大值．
研考点·通技法
圆锥曲线中的最值问题的求解常用的三种方法
(1)函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数的单调性求得最值．
(2)不等式法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求最值．
(3)判别式法：建立关于某变量的一元二次方程，利用判别式Δ 求最值．
破类题·提能力
1．（2023·全国甲卷·高考真题）已知直线
与抛物线
交于
两点，且
．
(1)求
；
(2)设F 为C 的焦点，M，N 为C 上两点，
，求
面积的最小值．
2．（25-26 高三上·四川宜宾·期末）已知平面上动点
,
D x y 到定点
3,0
F
的距离与点D 到直线
2
x =
的距
离比为
6
2
．动点D 的轨迹为曲线E
(1)求曲线E 的方程；
(2)已知点P 为直线
2
x =
上任一点，过点P 作曲线E 的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，过曲线
E 的右顶点Q 作垂直于x 轴的直线与直线PA，PB 分别交于M，N 两点，点M，N 的纵坐标分别为
m，n．求mn 的值．并求
3
1
MQ
NQ
+
的最小值．
2
1
0
x
y
-
+ =
2
:
2
(
0)
C y
px p
=
>
,
A B
|
| 4 15
AB =
p
0
FM FN
×
=
uuuur uuur
MFN
△
题型07 探究性问题
析典例·建模型
1．（25-26 高三上·重庆·月考）已知圆
2
2
:
2
16
0
M
x
a
y
a
a
-
+
-
=
¹
的圆心M 在抛物线
2
:
2
0
N x
py p
=
>
上，且圆M 与抛物线N 的准线相切.如图，过抛物线N 上的三个不同点A
B
C
，，
( B 在A
C
，
之间)，作抛物线的三条切线，分别两两相交于点D
E
F
，，
.
(1)求圆M 和抛物线N 的方程；
(2)是否存在常数l ，使得DA FC
DE FE
l
×
=
×
uuur uuur
uuur uuur
？若存在，求出l 的值；若不存在，请说明理由；
(3)当点C 的横坐标为4 时，以C 为直角顶点，作抛物线的两个内接Rt
CPQ
△
及Rt CRT
V
，求线段
PQ
RT
，
的交点坐标.
研考点·通技法
圆锥曲线中探索性问题的常见解法
⑴假设存在法：先假设满足条件的点、直线等存在，设其方程或坐标，代入曲线方程推导，若有解则存
在，无解则不存在.
⑵特殊值法：取特殊位置（如对称轴、顶点）或特殊参数值，探索可能结论，再验证一般情况.
⑶代数推导法：联立方程，用韦达定理、判别式等，结合条件（如垂直、中点）列方程，分析解的情况
判断存在性.
破类题·提能力
1．（25-26 高三下·四川成都·开学考试）已知抛物线
2
:
2
C y
px
=
．
(1)若
3
p =
，求过焦点F 且倾斜角为60o的直线被抛物线C 所截得的弦长．
(2)若
2
p =
，
（i）是否存在抛物线上的三个点M ，N ，Q ，使得
MQN
Ð
的内角平分线为
4
x =
？若存在，求直线
MN 的斜率，若不存在，请说明理由；
（ii）若抛物线上的三个点M ，N ，Q 构成等腰直角三角形，求
MNQ
△
面积的最小值．
2．（2026·陕西咸阳·二模）已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的离心率
1
2
e =
，过点(1,0) 的动直线l 与椭圆
相交于两点，当直线l 与x 轴垂直时，直线l 被椭圆E 截得的线段长为3.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)直线y
kx
=
与椭圆C 交于A ，B 两点，P 是椭圆C 上一动点（不同于A ，B ），记
OP
k
，
PA
k
，
PB
k
分别为直线OP ，PA ，PB 的斜率，且满足
OP
PA
PB
k k
k
k
×
=
×
，求点P 的坐标（用k 表示）；
(3)过左焦点
1F 的直线交椭圆于M ，N 两点，是否存在实数l ，使
1
1
|
|
MN
F M F N
l
=
×
uuuur
uuuur uuuur
恒成立？若存
在，求此时|
|
MN
uuuur
的最小值；若不存在，请说明理由.
题型08 解析几何中新定义问题
析典例·建模型
1．（25-26 高三上·内蒙古呼和浩特·期末）在平面直角坐标系中，让任意一点A 绕一固定点旋转一个定
角，变成另一点
'A ，如此产生的变换称为平面上的旋转变换，已知点
,
A a b 绕原点逆时针旋转q 后得
点
'
'
'
,
A a b ，且旋转变换的表达式为
cos
sin
sin
cos
a
a
b
b
a
b
q
q
q
q
=
-
¢
=
+
¢
ì
í
î
，曲线的旋转变换也如此．
(1)将点
1,1
A
绕原点逆时针旋转3π
4 得到点
'A ，求点
'A 坐标；
(2)已知曲线
1
:
C y
x
=
，绕原点逆时针旋转3π
4 得到曲线
'
C ．
（ⅰ）求曲线
'
C 的方程；
（ⅱ）P 为曲线
'
C 上一点，P 不在x 轴上，过P 作PB
PD
^
交曲线
'
C 于B，D 两点，求证：BD 与曲
线
'
C 在P 点处的切线垂直．
研考点·通技法
关于新定义题的思路有：
（1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思；
（2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言；
（3）将已知条件代入新定义的要素中；
（4）结合数学知识进行解答.
破类题·提能力
1．（25-26 高三上·山东菏泽·期末）椭圆
是坐标原点，若
的三个顶点都在椭圆
上，且满足
，则称该三角形为“核心三角形”.
(1)是否存在“核心三角形”，其中两个顶点恰好是椭圆
的两个顶点，并说明理由；
(2)已知
是“核心三角形”.
（i）证明：
的面积是定值；
（ii）若
为等腰三角形，这样的三角形有几个？并说明理由.
2．（25-26 高三上·山东潍坊·期末）已知椭圆
2
2
2
2
2
2
:
2
2
2
2
2
2
cos
sin
sin
cos
sin2
sin2
1
0
E
x
y
xy
a
b
a
b
a
b
a
b
q
q
q
q
q
q
æ
ö
æ
ö
æ
ö
+
+
+
+
-
=
>
>
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
可由椭圆
2
2
1
1
1
2
2
:
1
x
y
E
a
b
+
= 绕
原点O 逆时针旋转
π
0, 2
q q
æ
ö
é
ù
Î
ç
÷
ê
ú
ë
û
è
ø
得到.经过（*）变换：
1
1
cos
sin
cos
sin
x
x
y
y
y
x
q
q
q
q
=
× +
×
ì
í
=
×
-
×
î
可将椭圆E 的方程转化为
1
E 的方程.
(1)若
π ,
6 E
q =
上的点
,p q 经过（*）变换后得到
1
E 上的对应点的坐标为
2,1
-
，求p
q
+
的值；
(2)设椭圆
2
2
: 2
2
2
3
C
x
y
xy
+
-
=
的焦点为
1
2
,
F F （其中
2F 在第一象限）.
（i）求
1
2
,
F F 的坐标；
（ii）过C 在第一象限内的顶点A 作切线m ，过A 作x 轴的垂线l ，在l 上且在C 外的一点T 作C 的两
条切线，切点分别为
,
P M ，直线TP 和TM 分别交直线m 于
,
Q N 两点.证明：直线NP 和QM 的交点在
定直线上.
2
2
:
1,
4
x
E
y
O
+
=
ABC
V
E
0
OA
OB
OC
+
+
=
E
ABC
V
ABC
V
ABC
V
（建议用时：100 分钟）
刷模拟
1．（2026·福建莆田·二模）已知抛物线
2
:
2
0
C y
px p
=
>
的焦点为F ，准线为l ，直线
2 3
y =
与l ，C 的
交点分别为P ，Q ，且FP
FQ
=
.
(1)求p ；
(2)若过点
4,0
D
的直线m 交C 于A ，B 两点，且
24
AD
BD
×
=
，求
AD
BD 的值.
2．（25-26 高三下·北京西城·月考）已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
W
a
b
a
b
+
=
>
>
的短轴长和焦距均为2 2 .直线1l 与椭
圆W 相切于第一象限内一点M.直线2l （不过原点）交椭圆W 于A，B 两点，C 为AB 的中点.
(1)求椭圆W 的方程；
(2)若C 在直线OM 上，证明：1
2
l
l
// .
3．（25-26 高二上·重庆·期中）已知双曲线
2
2
2
2
:
1
x
y
C a
b
-
= 的左右焦点分别为
1
2
F
F
、
，其离心率为2 ，焦点
到渐近线的距离为3 2
2
，点
0
0
0
,
1
P x
y
x ¹
是直线:
1
l y
x
=
- 上一点，直线
1
2
PF
PF
、
的斜率分别是
1
2
,
k k ，O 是坐标原点.
(1)求双曲线C 的标准方程.
(2)是否存在实数
R
mÎ
，使得
1
2
1
m
k
k
+
为定值？若存在，求出m 及该定值.若不存在说明理由.
(3)若直线
1
PF 与双曲线相交于A 、B 两点，求出点P 的坐标使得
6
19
OA
OB
k
k
+
=
.
4．（2026·辽宁大连·模拟预测）已知椭圆C ：
2
2
2
1
x
y
a +
=
(
1)
a >
的左、右顶点分别为A ､B ，直线l ：
1
x
ty
=
+ 交椭圆C 于P ､Q 两点，其中P 在x 轴上方．
(1)当
2
a =
时，若
1
6
BP BQ
×
=
uuur uuur
，求t 的值；
(2)过点P ､Q 分别作直线m ：
2
x
a
=
的垂线，垂足分别为M ､N ，设直线AM 、直线BN 的斜率分别为
1k ､
2k ：
（i）证明：
1
2
0
k
k
+
<
；
（ii）若存在t 使得
2
1
2
0
a k
k
+
= 成立，求实数a 的取值范围．
5．（2026·湖北宜昌·二模）已知双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
的焦点F 到一条渐近线的距离为1，且点
2,1
P
在双曲线C 上．
(1)求双曲线C 的方程；
(2)斜率为1
- 的直线与双曲线C 的右支交于A 、B 两点（异于点P ）．
①求直线AP 、BP 的斜率之和；
②若PAB
V
的外接圆圆心为M ，试问在x 轴上是否存在定点Q 使
2
2
-
MQ
MP 为定值，若存在，求出
Q 点坐标，若不存在，请说明理由．
6．（25-26 高三下·山东·月考）已知动圆M 过点
1,0 ，且与
1
x = - 相切，记该动圆的圆心轨迹为曲线C ．
(1)求C 的方程；
(2)若
0
n
m
>
>
，直线1 :
2
0
l
x
y
m
-
-
=
与C 交于
,
A B 两点（点A 在点B 的右侧），直线2 :
2
0
l
x
y
n
-
-
=
与C 交于
,
A B
¢
¢两点，,A A¢在第一象限，记直线AA¢与BB¢的交点为G ，直线AB¢与BA¢的交点为H ，
线段AB 的中点为E ．
（ⅰ）证明：
,
,
G E H 三点共线；
（ⅱ）若
2
4
14
m
n
+
+
=
，过点H 作1l 的平行线，分别交线段
,
AA BB
¢
¢于点,
T T¢ ，记
GET
△
与
GET¢
△
的面积分别为
1S 和
2S ，求
1
2
S
S
+
的最大值．
7．（25-26 高二上·湖南长沙·月考）已知圆
2
2
2
:
O x
y
r
+
=
，椭圆
2
2
:
1
4
2
x
y
E
+
=
.点
0
0
,
P x
y
为圆O 上任意
一点，过点P 作圆O 的切线与椭圆E 交于A ，B 两点.
(1)当
1
r = 时，
(i)证明：切线方程为
0
0
1
x x
y y
+
= ；
(ii)求
OAB
△
面积的取值范围.
(2)直线AB 关于原点O 的对称直线与椭圆E 交于C ，D 两点，是否存在r ，使四边形ABCD 为菱形.
8．（2025·江苏·模拟预测）如图所示，
1
2
1
2
,
,
,
A A B B 分别是“曲圆”与x 轴、y 轴的交点，已知
1
2
2π
3
B FB
Ð
=
，扇形
1
1
2
FB A B 的面积为4π
3 ．
（注：题目中把半椭圆
2
2
2
2
1
0
x
y
x
a
b
+
=
³
与圆弧
2
2
2
0
x
c
y
a
x
-
+
=
<
合成的曲线称作“曲圆”，其中
,0
F c
为半椭圆的右焦点）
(1)求,a c 的值；
(2)过点F 且倾斜角为q 的直线交“曲圆”于,
P Q 两点，试将
1A PQ
△
的周长L 表示为q 的函数；
(3)在（2）的条件下，当
1A PQ
△
的周长L 取得最大值时，探究
1A PQ
△
的面积是否为定值？若是，请
求出该定值；若不是，请求出面积的取值范围．
刷真题
1．（2026·上海·春季高考真题）已知双曲线
2
2
:
1
2
2
x
y
G
-
= ，过点
,0
M m
作不垂直于x 轴的直线l 交双曲线
G 于A 、B 两点.
(1)求双曲线离心率；
(2)若点
3,1
A
，点B 在双曲线的右支上，且B 是AM 的中点，求直线l 的斜率；
(3)若
0
m >
，
1F ，
2F 分别是双曲线G 的左右焦点，A¢是A 关于y 轴的对称点，若存在直线l 使得
1
2
0
F A F B
¢×
=
uuuur uuuur
，求m 的取值范围.
2．（2025·全国二卷·高考真题）已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的离心率为
2
2 ，长轴长为4．
(1)求C 的方程；
(2)过点(0, 2)
-
的直线l 交C 于
,
A B 两点，O 为坐标原点.若
OAB
△
的面积为2 ，求|
|
AB ．
3．（2025·全国一卷·高考真题）已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的离心率为2 2
3
，下顶点为A，右顶点
为B，|
|
10
AB =
．
(1)求C 的方程；
(2)已知动点P 不在y 轴上，点R 在射线AP 上，且满足
3
AP
AR
×
= ．
（i）设
( , )
P m n ，求R 的坐标（用m，n 表示）；
（ⅱ）设O 为坐标原点，Q 是C 上的动点，直线OR 的斜率为直线OP 的斜率的3 倍，求|
|
PQ 的最大
值．
4．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知双曲线
2
2
:
0
C x
y
m m
-
=
>
，点
1 5,4
P
在C 上，k 为常数，
0
1
k
<
< ．按照如下方式依次构造点
2,3,...
nP n =
：过
1
nP - 作斜率为k 的直线与C 的左支交于点
1
n
Q - ，
令
nP 为
1
n
Q - 关于y 轴的对称点，记
nP 的坐标为
,
n
n
x
y
.
(1)若
1
2
k =
，求
2
2
,
x
y ；
(2)证明：数列
n
n
x
y
-
是公比为1
1
k
k
+
-
的等比数列；
(3)设
n
S 为
1
2
n
n
n
P P P
+
+
V
的面积，证明：对任意正整数n ，
1
n
n
S
S +
=
.
5．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知
(0,3)
A
和
3
3, 2
Pæ
ö
ç
÷
è
ø 为椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
上两点.
(1)求C 的离心率;
(2)若过P 的直线l 交C 于另一点B，且ABP
V
的面积为9，求l 的方程．
6．（2023·全国I 卷·高考真题）在直角坐标系xOy 中，点P 到x 轴的距离等于点P 到点
1
0, 2
æ
ö
ç
÷
è
ø的距离，记动
点P 的轨迹为W ．
(1)求W 的方程；
(2)已知矩形ABCD 有三个顶点在W 上，证明：矩形ABCD 的周长大于3 3 ．
7．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知双曲线C 的中心为坐标原点，左焦点为
2 5,0
-
，离心率为
5 ．
(1)求C 的方程；
(2)记C 的左、右顶点分别为
1A ，
2
A ，过点
4,0
-
的直线与C 的左支交于M，N 两点，M 在第二象
限，直线
1
MA 与
2
NA 交于点P．证明:点P 在定直线上.
8．（2023·全国乙卷·高考真题）已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
C
b
b
x
a
a
y +
>
>
=
的离心率是
5
3
，点
2,0
A -
在C 上．
(1)求C 的方程；
(2)过点
2,3
-
的直线交C 于,
P Q 两点，直线
,
AP AQ 与y 轴的交点分别为
,
M N ，证明：线段MN 的中
点为定点．
