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培优点 02 隐零点问题（2 大考点+强化训练）
导函数的零点在很多时候是无法直接求解出来的，我们称之为“隐零点”，既能确定其存在，但又无法用
显性的代数进行表达．这类问题的解题思路是对函数的零点设而不求，通过整体代换和过渡，再结合题目
条件解决问题．
【知识导图】
【考点分析】
考点一：不含参函数的隐零点问题
规律方法 已知不含参函数f(x)，导函数方程f′(x)＝0的根存在，却无法求出，利用零点存在定理，判
断零点存在，设方程f′(x)＝0的根为x，则①有关系式f′(x)＝0成立，②注意确定x的合适范围．
0 0 0
【例1】．（2023春·新疆乌鲁木齐·高三校考阶段练习）已知函数 ， .
(1)求证： ；
(2)若 对 恒成立，求 的最大值与 的最小值.
【例2】．（2023秋·江苏镇江·高三统考开学考试）已知函数 （e为自然对数的底数）.
(1)求函数 在 处的切线方程；
(2)若 恒成立，求证：实数 .
【变式1】.（2024·河北邢台·高三统考期末）已知函数 ．证明： ．
【变式2】已知函数 ，当 时，证明： .
考点二：含参函数的隐零点问题
规律方法 已知含参函数f(x，a)，其中a为参数，导函数方程f′(x，a)＝0的根存在，却无法求出，设
方程f′(x)＝0的根为x，则①有关系式f′(x)＝0成立，该关系式给出了x，a的关系；②注意确定x
0 0 0 0
的合适范围，往往和a的范围有关．
【例2】．（2022上·河南洛阳·高三新安县第一高级中学校考开学考试）（1）证明不等式：
（第一问必须用隐零点解决，否则不给分）；
（2）已知函数 有两个零点.求a的取值范围.（第二问必须用分段讨论解决，否则不
给分）
【变式1】（2023秋·北京·高三统考开学考试）已知函数 ，曲线 在 的切线为 ．
(1)求a，b的值；
(2)求证：函数在区间 上单调递增；
(3)求函数 的零点个数，并说明理由．
【变式2】．（2023秋·河北张家口·高三统考开学考试）已知 ， ．
(1)当 时，证明： ；
(2)若 ， 恒成立，求a的取值范围．
【 变 式 3 】 . （ 拔 尖 强 基 联 盟 2024 届 高 三 下 学 期 二 月 联 合 考 试 ） 已 知 函 数
，其中 ．
（1）若 ，求证： 在定义域内有两个不同的零点；
（2）若 恒成立，求 的值．
【变式4】（2024·吉林长春·东北师大附中校联考模拟预测）已知 （其中为自然对数的底数）, ，求实数 的取值范围.
【强化训练】
1.已知函数 .当 时，求证 在 上存在极值点 ，且 .
2.（广东省2024届高三上学期元月期末统一调研测试数学试卷）若函数 在 上有定义，且对于
任意不同的 ，都有 ，则称 为 上的“ 类函数”.若
为 上的“2类函数”，求实数 的取值范围；
3.已知函数 ，其中 ．讨论 的极值点的个数．
4.（2024·陕西安康·安康中学校联考模拟预测）已知函数 ．当 时，不等式恒成立，求整数 的最大值．
5.（2023·湖北黄冈·黄冈中学校考三模）已知函数 ．
（1）当 时，求函数 在 上的极值；
（2）用 表示 中的最大值，记函数 ，讨论函数 在
上的零点个数．
6．（2023秋·浙江·高三浙江省春晖中学校联考阶段练习）已知函数 有两个极值点
．其中 ， 为自然对数的底数．
(1)求实数 的取值范围；
(2)若 恒成立，求 的取值范围．
7．（2023秋·湖南永州·高三校联考开学考试）已知函数 ， 且 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若关于 的不等式 恒成立，其中 是自然对数的底数，求实数 的取值范围.8．（2023秋·辽宁沈阳·高三沈阳市第一二〇中学校考阶段练习）已知函数
.
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若 ，函数 在 上恒成立，求整数a的最大值.
9．（2023秋·陕西西安·高三校联考开学考试）已知函数 ， .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若关于 的不等式 在 上恒成立，求 的最小值.
10．（2023春·江西萍乡·高二萍乡市安源中学校考期末）已知函数 .
(1)若 ，求 的极值；
(2)若对任意 ， 恒成立，求整数m的最小值.
11．（2023·云南昭通·校联考模拟预测）设函数 ， .
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)若 ，求实数 的取值范围.12.（浙江省温州市温州中学2024届高三第一次模拟考试数学试题）已知 .
（1）若过点 作曲线 的切线，切线的斜率为2，求 的值；
（2）当 时，讨论函数 的零点个数.
13.已知函数
（1）若1是 的极值点，求a的值；
（2）求 的单调区间：
（3） 已知 有两个解 ，
（i）直接写出a的取值范围；（无需过程）
（ii）λ为正实数，若对于符合题意的任意 ，当 时都有 ，求λ的取值范
围.
14.(2023·咸阳模拟)已知f(x)＝(x－1)2ex－x3＋ax(x>0)(a∈R)．
(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当a＝0时，判定函数g(x)＝f(x)＋ln x－x2零点的个数，并说明理由．
15.(2023·天津模拟)已知函数f(x)＝ln x－ax＋1，g(x)＝x(ex－x)．
(1)若直线y＝2x与函数f(x)的图象相切，求实数a的值；
(2)当a＝－1时，求证：f(x)≤g(x)＋x2.
16. (2023·包头模拟)已知函数f(x)＝aex－ln(x＋1)－1.
(1)当a＝e时，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积；
(2)证明：当a>1时，f(x)没有零点．
17.(2023·石家庄模拟)已知函数f(x)＝x－ln x－2.
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若对任意的x∈(1，＋∞)，都有xln x＋x>k(x－1)成立，求整数k的最大值．18．(2023·荆门模拟)设函数f(x)＝ex＋bsin x，x∈(－π，＋∞)．若函数f(x)在(0，f(0))处的切线的
斜率为2.
(1)求实数b的值；
(2)求证：f(x)存在唯一的极小值点x，且f(x)>－1.
0 0
19．(2023·绵阳模拟)已知函数f(x)＝ax－ln x，a∈R.
(1)若a＝，求函数f(x)的最小值及取得最小值时的x的值；
(2)若函数f(x)≤xex－(a＋1)ln x对x∈(0，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围．
