文档文本内容
重难点专训09 导数中的零点问题及方程的根（含隐零点）
题方
及
解
法
技巧提炼............................................................................................................................1
题
及
型通法
变式提升............................................................................................................................3
题
导数
零点（方程根）的
数
型一：利用
判断或讨论
个
....................................................................................3
题
数零点（方程根）的
数
数
型二：已知函
个
求参
范围....................................................................................7
题
点问题
型三：图象交
.......................................................................................................................................11
题
隐零点问题
型四：
..........................................................................................................................................16
题
零点
问题
型五：
差
..........................................................................................................................................21
题
零点问题
型六：同构代换解决
......................................................................................................................28
题型七：max
数
函
和min
数的零点问题
函
......................................................................................................31
重难专题分层过关练..........................................................................................................................37
巩固过关...............................................................................................................................................................37
创新提升...............................................................................................................................................................46
一、极值与单调性分析法
该方法是通过导数深入分析函数性质，进而判断零点（根）个数的基础方法，核心在于结合极值符号
与单调性把握函数图象走势。
基本步骤：（1）求导确定函数的单调区间和极值点，明确函数在各区间的增减趋势；
（2）计算极值点处的函数值（极值）及区间端点的函数值或极限趋势；
（3）结合极值的正负、单调性及零点存在定理，判断零点个数。若极值与端点值异号，且函数在区
间内单调，则可确定存在唯一零点。
核心应用：①直接判断零点（根）个数：通过分析极值与0 的大小关系（如极大值小于0 则无零点，
极小值大于0 则无零点）；
②求参数范围：根据零点（根）个数要求，建立关于极值符号的不等式，进而解出参数取值范围。
关键技巧：关注函数在区间端点的极限趋势（如
时的函数值变化），辅助判断零点存在性。
二、数形结合法
通过图象直观分析零点个数，尤其适用于含参数的复杂问题，核心是将方程解的个数转化为函数图象
交点个数。
解题过程：将方程
变形为
，则函数
的零点个数等价于函数
与
图象的交点个数。
对于含参数问题，可通过观察参数变化对函数图象的影响（如平移、伸缩），结合交点个数要求确定
参数范围。例如，将参数分离后转化为
，分析直线
与
的交点个数。
三、构造辅助函数法
通过构造新函数将零点问题转化为更易分析的形式，核心是利用转化思想简化问题难度。
根据方程或不等式特征构造辅助函数，常见形式包括：
①移项构造差函数（如
构造为
；
②分离参数后构造函数（如
构造
分析值域）；
③结合不等式变形构造（如含指数、对数的方程可通过恒等变形简化）。
具体步骤：（1）对构造的函数求导，确定其单调区间、极值点和最值；
（2）结合零点存在定理，分析函数在给定区间内的零点分布；
（3）将零点问题、方程根问题与函数图象交点问题相互转化，凸显导数的工具作用。
特殊技巧：对于无法直接求解的隐零点，可设其为
“
”
，利用
建立关系，通过单调性分析
其范围。
四、隐零点的处理
隐零点问题的核心是：导函数的零点能确定存在，但算不出具体值，这时候不用硬求它的具体数，而
是利用它的性质来解题，关键思路是设而不求、用性质、整体换，具体分三步做：
“
”
第一步：确定隐零点
要先搞清楚导函数到底有没有零点，是不是只有一个，再把零点的范围缩小到好计算的区间里：
①先判断有没有零点：找两个数
“
”
和
（
），算导函数在
和
处的值，如果这两个值一正一
负，就能确定
和
之间一定有个隐零点；
②再判断是不是只有一个零点：求导函数的导数（二阶导数），看导函数本身是增还是减
如果
“
”
——
导函数单调，那它最多只有一个零点，就能确定隐零点是唯一的；
③最后缩小零点范围：用特殊值试算，比如导函数里有
，就试
；有
，就试
，最终把零点范围锁定在长度为1 的整数区间里，方便后续计算。
第二步：判断原函数单调性
隐零点是个分界点，能帮我们分清原函数什么时候增、什么时候减，进而找到最值：
“
”
以隐零点
为界，看
在
左边和右边时，导函数的符号：
如果
时导函数为正，
时导函数为负，那原函数在
时递增，
时递减，
处就
是原函数的最大值；
反过来，如果
时导函数为负，
时导函数为正，原函数就先减后增，
处是最小值。
简单说：隐零点处的函数值，就是原函数的最值。
第三步：整体代换
隐零点
满足
，我们就利用这个等式变形，把复杂的项换掉，再代入最值计算：
①先变形等式：比如
，就改成
；如果是
，就改成
；
②再代入计算：把变形后的式子代入原函数的最值里，消掉
或
这类复杂项，
题型一：
导数
零点（方程根）的
数
利用
判断或讨论
个
典例1-1．讨论
的零点个数．
典例1-2．已知函数
.
(1)当
时，讨论
的单调性；
(2)若
，讨论方程
的根的个数.
变式1-1．已知函数
，曲线
在点
处的切线方程为
．
(1)求a，b；
(2)讨论
在
的零点个数．
题型
数零点（方程根）的
数
数
二：已知函
个
求参
范围
典例2-1．若函数
有2 个零点，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
典例2-2．已知函数
(1)若曲线
在点
处的切线斜率为
求
的值；
(2)若
有
个实数解，求
的取值范围.
变式2-1．（多选）已知函数
在
上是增函数，在
上是减函数，且方程
有3 个实数根，它们分别是
.则（ ）
A．
B．若
是对称中心，则极小值是-12
C．
D．
变式2-2．已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
的极小值小于
，求m 的取值范围；
(3)当
时，证明：
有2 个零点．
题型
点问题
三：图象交
典例3-1．已知直线
与函数
的图象有两个不同的交点，则实数
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
典例3-2．已知函数
的定义域为
，导函数为
，满足
，
.
(1)讨论函数
(
)在
上的单调性，并证明：
；
(2)求函数
的图象与函数
的图象的交点个数.
变式3-1．已知函数
．
(1)若
，求函数
在
内的最值；
(2)若
，证明：当
时，曲线
与曲线
在
内有一个交点．
变式3-2．设函数
．
(1)当
时，求
在
处的切线方程；
(2)若
恒成立，求实数
的取值范围；
(3)
，是否存在
，使得曲线
在点
处的切线与
至少有2 个
交点？若存在，探究满足条件的的个数；若不存在，说明理由．
题型
隐零点问题
四：
典例4-1．已知函数
.
（1）求函数
的单调区间；
（2）求证：函数
的图象在
轴上方.
典例4-2．已知函数
，
.
（1）讨论函数
的单调性；
（2）若函数
在区间
有唯一零点
，证明：
.
变式4-1．已知函数
.
(1)若
，求
在
处的切线方程.
(2)讨论
的单调性.
(3)求证：若
，
有且仅有一个零点.
变式4-2．已知函数
．
(1)当
时，求
的单调区间；
(2)若
对
恒成立，求a 的取值范围；
(3)证明：若
在区间
上存在唯一零点
，则
．
题型
零点
问题
五：
差
典例5-1．已知
，函数
的图象在点
处的切线方程为
.
(1)求a，b 的值;
(2)若方程
（e 为自然对数的底数）有两个实数根
，且
，证明：
典例5-2．已知函数
．（
）在
处的切线l 方程为
．
(1)求a，b，并证明函数
的图象总在切线l 的上方（除切点外）；
(2)若方程
有两个实数根
，
．且
．证明：
．
变式5-1．已知函数
在点
处的切线和直线
垂直．
求a 的值；
对于任意的
，证明：
；
若
有两个实根
，
，求证：
．
变式5-2．已知函数
．
（1）当
时，求函数
在
处的切线方程；
（2）当
时恒有
成立，求满足条件的m 的范围；
（3）当
时，令方程
有两个不同的根
，
，且满足
，求证：
．
题型
零点问题
六：同构代换解决
典例6-1．已知函数
，若函数
在区间
内存在零点，求实数
的取值
范围.
典例6-2．已知函数
和函数
，且
有最大值为
．
(1)求实数a 的值；
(2)直线y＝m 与两曲线
和
恰好有三个不同的交点，其横坐标分别为
，
，
，且
，证明：
．
变式6-1．已知
，函数
，函数
．
(1)若对
，
恒成立，求a 的取值范围；
(2)若方程
有两个根，求a 的取值范围．
变式6-2．已知函数
．
(1)求函数
的单调区间；
(2)设函数
，若函数
有两个零点，求实数a 的取值范围．
题型七：max
数
函
和min
数的零点问题
函
典例7-1．已知函数
，其中
表示
，
中的最大值，若函
数
有3 个零点，则实数
的取值范围是 .
典例7-2．已知函数
．
(1)求函数
的极值；
(2)若
的导数分别为
，且
，求a 的取值范围；
(3)用
表示m，n 中的最小值，设
，若
，判断函数
的零点个数．
变式7-1．已知函数
，
.
(1)若曲线
与曲线
在
处的切线平行，求实数
的值；
(2)定义
，记函数
，若函数
有三个零点，求实数
的
取值范围.
变式7-2．已知函数
.
(1)若
是
的极大值点，求
的值；
(2)用
表示
中的最大值，设函数
，试讨论
零点的个数.
注：若
，当
时，
，当
时，
.
巩固过关
1．已知函数
，
，若函数
有5 个零点，则实数a 的取值
范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知函数
（
），
．
(1)若
，
的导数分别为
，
，且
，求a 的取值范围；
(2)用
表示a，b 中的最小值，设
，若
，判断
的零点个数．
3．函数
，函数
，若方程
恰有3 个不相等的实数
根，则实数m 的取值范围是
4．已知函数
.若
恰有4 个零点，则实数
的取值范围是
.
5．已知函数
，若方程
有两个不同的实数解，则实数a 的取值范
围是 .
6．已知函数
．
(1)求函数
的单调区间；
(2)若关于x 的方程
在区间
内有根，求实数a 的取值范围．
7．已知函数
，
．
(1)求
在点
处的切线方程；
(2)求证：当
时，
；
(3)求
的零点个数．
8．已知函数
.
(1)当
时，证明：
；
(2)若
存在两个零点，求
的取值范围.
创新提升
1．已知函数
.
(1)当
时，求函数
的极值；
(2)若函数
在区间
上有零点，求
的取值范围.
2．已知函数
.
(1)求函数
在
上的单调递减区间；
(2)当
时，
，求
的最大值；
(3)证明：方程
在
上有唯一实数解.
3．已知函数
，
．
(1)当
时，求
图象在
处的切线方程；
(2)若不等式
对
恒成立，求实数
的取值范围；
(3)若函数
有两个不同的零点，求实数
的取值范围．
4．已知函数
.
(1)求
在
处的切线方程；
(2)求证：当
时，函数
有且仅有
个零点.
