文档文本内容
微专题拓展12 利用导数解决零点问题
目录
01 解题方法总结..............................................................................................................................2
02 重难点题型梳理......................................................................................................................... 3
题型一：导数分析函数零点个数问题................................................................................................3
题型二：由函数零点个数求解参数取值范围问题............................................................................8
题型三：隐零点整体代换问题（隐零点问题）..............................................................................13
题型四：零点存在性赋值找点问题..................................................................................................13
题型五：双零点差值范围问题（零点差问题）..............................................................................18
题型六：含最值（max/min）结构的零点综合问题.......................................................................28
题型七：多零点综合问题..................................................................................................................35
03 课后拓展精练............................................................................................................................44
1、解决零点个数
常用的方法主要有以下三种：
问题
(1)
化
两个函数
象交点的个数
，利用数形
合思想求解
转
为
图
问题
结
.
(2)
化
函数
转
为
f(x)的
象与
图
x
交点个数的
轴
问题.
(3)将
行参
分离，
化
进
变
转
为
的形式；有
了避免出
时为
现“断点”，可以考虑“倒数分参”.
2、解决含参数的零点
常用的方法主要有以下三种：
问题
(1)分离参数法：分离之后函数无参数，
可得到函数的
象，然后上下移
参数的
，
察直
与函数
象
则
图
动
值观
线
图
交点个数即可.
(2)隔离构造函数法：将一个函数分成两个函数，一个
容易求
的不含参函数，另一个
象是一条直
的
为
导
为图
线
含参函数，
察它
象的
化
，找到
界的位置，易求得参数的取
范
观
们图
变
趋势
临
值
围.
(3)直接构造法：直接研究函数f(x)，
参数
行分
，判断函数
性，利用函数零点存在定理，判断零
对
进
类讨论
单调
点个数，从而求出参数的取
范
值
围.
题型一：导数分析函数零点个数问题
例1．已知函数
，曲线
在
处的切线方程为
.
(1)求
的值；
(2)证明：函数
在区间
上存在唯一极大值点；
(3)求函数
的零点个数.
【解析】（1）由
，可得
，
，则
，
因曲线
在
处的切线方程为
，则
.
（2）证明：由（1）得
，求导得
，
设
，则
，
当
时，
，
，则
，故函数
在
上单调递减，
又
，由零点存在定理，存在唯一的
，使得
.
当
时，
，即
，则函数
在
上单调递增；
当
时，
，即
，即函数
在
上单调递减.
故
为函数
在区间
上的唯一极大值点；
（3）函数
的定义域为
，则
，
①当
时，由（2）知，函数
在
上单调递增，在
上单调递减.
又
，即当
时，
，即
，
故函数
在
上单调递减，故函数
在
上仅有零点
；
②当
时，因
，由（2）当
时，
单调递增，
故
，即
在
上单调递增，
当
时，
单调递减，因
，
则在后面一段区间必有
,
单调递减,
在
上先增后减，
又
，则当
时，
，即函数
无零点；
③当
时，若
，则
，则函数
在
上单调递减，
又
，由零点存在定理，函数
存在唯一的零点
；
若
，则
，而
，则
恒成立，故函数
在
上无零点.
综上，函数
共有
与
两个零点.
例2．已知函数
.
(1)讨论
单调性
(2)当
时，证明：函数
有且仅有一个零点；
【解析】（1）函数
的定义域为
.
求导得
.
令
，得
或
，分情况讨论：
当
即
时，
恒成立.
时，
，
在
上单调递减.
时，
，
在
上单调递增.
当
且
即
且
时，方程
的解为
.
①若
，则
：
时，
，
在
上单调递增.
时，
，
在
上单调递减.
时，
，
在
上单调递增.
②若
，则
：
时，
，
在
上单调递增.
时，
，
在
上单调递减.
时，
，
在
上单调递增.
当
即
时，
，
恒成立，
在
上单调递增.
综上所述：
时，
在
单调递减，
单调递增.
时，
在
单调递增，
单调递减，
单调递增.
时，
在
上单调递增.
时，
在
单调递增，
单调递减，
单调递增.
（2）①当
时，
，由
，
及函数
单调递增，可得函数
有且仅有一个零点.
②当
时，函数
的单调递减区间为
，单调递增区间为
，
又由
，可得
.当
时，
，可得函数
有且仅有一个零
点.
③当
时，函数
的单调递减区间为
，单调递增区间为
，
又由
又由
，当
时，
，可得函数
有且仅有一个零点，
综上所述，当
时，函数
有且仅有一个零点.
例3．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数
.
(1)设
，讨论函数
在
上的单调性；
(2)判断函数
在
上的零点个数.
【解析】（1）因为
，则
，
令
，则
，
当
时，
，即
在
上单调递减，
又因为
，所以当
时，
，所以
，
所以
在
上单调递减.
（2）函数
在
上有唯一零点.
因为
，
则
，
令
，则
，
令
，则
，
当
时，
，所以
在
上单调递增，
因为
，
，
所以
，使
，
当
时，
，所以
在
上单调递减，
当
时，
，所以
在
上单调递增，
又
，所以
，使
，
当
时，
，所以
在
上单调递增，
当
时，
，所以
在
上单调递减，
又
，所以
，使
，
所以
在
上有唯一零点.
变式1．（2026·高三·河南·阶段检测）已知函数
.
(1)若
，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)当
时，讨论曲线
与
的交点个数.
【解析】（1）由题意得
，
.
故
，
.
则曲线
在点
处的切线方程为
，即
.
（2）由题意
等价于
.
设
，
.
则
，记
.
且
，则
是偶函数，且
.
①当
时，
，
.
故
，
在区间
上单调递增，
.
②当
时，
.
则当
时，
.
又因为
是偶函数，所以当
时，
.从而
在区间
上单调递增，
，
，
所以
，
若
或
，即
或
，则曲线
与
无交点，
若
，则曲线
与
有一个交点.
变式2．已知函数
(1)求
在
处的切线方程；
(2)讨论
在
上的零点个数.
【解析】（1）
，所以
在
处的切点坐标为
，
，则
，
故
在
处的切线方程为
.
（2）讨论函数
的零点个数，即方程
的解.
当
时，
等价于：
，令
，
问题转化为直线
与
的交点个数.
，
得
，当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增；
是极小值点，
.
时，
时，
.
结合
的取值讨论零点个数：
当
时，
与
无交点，无零点；
当
时，
与
有一个交点，一个零点；
当
时，
与
有两个交点，两个零点.
综上：当
时，无零点；当
时，一个零点；当
时，两个零点.
题型二：由函数零点个数求解参数取值范围问题
例4．已知函数
．
(1)当
时，求
的单调区间；
(2)在（1）问的条件下，求
的最小值
(3)若
有两个零点，求
的取值范围．
【解析】（1）由题设
，则
，
当
时
，当
时
，
所以
的递减区间为
，递增区间为
；
（2）由（1）知，
；
（3）由题意得：
；
当
时，
恒成立，
在
上单调递增，
至多有一个零点，不合题意；
当
时，令
，解得：
，
当
时
，当
时
，
在
上单调递减，在
上单调递增，
；
当
时，
，则
，则
至多有一个零点，不合题意；
当
时，
，则
；
，
，
在
上有唯一零点；
由（1）知：当
时，
，
则
且
时，
，
在
上有唯一零点；
则
时，
有两个不同零点；
综上所述：实数
的取值范围为
.
例5．已知函数
．
(1)当
时，求
的极值；
(2)若
在
上存在零点，求
的取值范围．
【解析】（1）当
时，
的定义域是
，求导得
，
当
时，
；当
时，
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以函数
在
处取得极大值
，无极小值.
（2）函数
，
由
，得
.
令
，依题意，直线
与函数
在
上的图象有交点，
由（1）知，函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
，
而
，
，
，当
时，
，
当且仅当
时，直线
与函数
在
上的图象有交点，
所以
的取值范围为
.
例6．（2026·重庆·三模）设函数
．
(1)当
时，求曲线
在
处的切线方程；
(2)若
有两个零点，求
的范围．
【解析】（1）当
时，函数为：
，
所以
，
所以曲线在点
处的切线斜率为：
，
所以
，整理得切线方程：
.
（2）函数
的定义域为
，
，
当
时，因为
，所以
在
上恒成立，
故
在
上单调递增，此时
至多有1 个零点，不符合题意；
当
时，令
，解得：
，
当
时，
，故
，
单调递减，
当
时，
，故
，
单调递增，
因此，
在
处取得极小值（也是最小值）：
又
，
，
因此
有两个零点当且仅当极小值小于零，
即
，所以
，所以
.
综上，
的取值范围是
变式3．（2026·北京·模拟预测）已知函数
.
(1)若函数
的极值点在
内，求m 的取值范围；
(2)若
有两个零点，求m 取值的范围.
【解析】（1）由
,
则
，
要使函数
的极值点在
内，
则
在
上有解，
即
在
上有解，则
，解得
，
即m 的取值范围为
.
（2）由
，
，
则
，
当
时，
，
，则
，
此时函数
在
上单调递增，不可能有两个零点，不符合题意；
当
时，
，令
，得
，
当
时，
，函数
单调递增，
当
时，
，函数
单调递减，
又
时，
，
时，
，
要使
有两个零点，则
恒成立，
设
，则
，
所以函数
在
上单调递增，又
，
则
，解得
.
综上所述，m 取值的范围为
.
变式4．（2026·高三·广东茂名·阶段检测）已知函数
.
(1)讨论
的单调性；
(2)若函数
有两个零点
，求m 的范围．
【解析】（1）函数
，
当
时，则
在
上单调递增;
当
时，令
，得
，
当
时，
单调递减，
当
时，
单调递增，
综上所述，当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
内单调递减，在
单调递增；
（2）由题意可得：
，
令
，整理可得
，
设
，则
，
由
，
令
，得
，令
，得
，
则
在
内单调递减，在
内单调递增，
由题意可知：
有两个零点，则
，解得
，
若
，令
，
则
，则
，
可知
在
内有且仅有一个零点，
且当
趋近于
趋近于
，
可知
内有且仅有一个零点，
即
，符合题意，
综上所述，
的取值范围为
.
变式5．（2026·四川广安·二模）已知函数
（
为常数）.
(1)若曲线
在
处的切线在两坐标轴上的截距相等，求
的值；
(2)是否存在实数
，使得
有3 个零点？若存在，求实数
的范围；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）因为
，所以
，
，
，
所以曲线
在
处的切线为
，即
.
令
，则
，
若
，则
，则切点为
，切线为
，不合题意；
若
，则
；令
，则
.
又切线在两坐标轴上的截距相等，即
，
故
.
（2）若函数
有3 个零点，等价于方程
有三个解.
其中
时，显然不是方程的根，
当
时，转化为
与
的图象有3 个交点.
又由
，
令
，解得
或
；令
，解得
，
所以函数
在
，
上单调递增，在
上单调递减，
所以当
时，函数
取得极小值，极小值为
.
又由
时，
；当
时，
且
；当
时，
，
故函数
的大致图象如下图所示：
所以
，即实数
的取值范围为
.
题型三：隐零点整体代换问题（隐零点问题）
例7．已知函数
．
(1)求曲线
在函数
零点处的切线方程；
(2)求函数
的单调区间；
(3)若关于
的方程
恰有两个不同的实根
，且
，求证：
．
【解析】（1）函数
的定义域为
，
令
，得
，解得
.
因为
.
所以
.
所以曲线
在函数
零点处的切线方程为
，即
.
（2）函数
的定义域为
，
.
因为
，所以当
时，
，
；当
时，
，
.
所以函数
的单调递增区间为
，单调递减区间为
.
（3）由（2）可得函数
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减.
所以
在
处取得极大值，即最大值，最大值为
.
当
时，
，所以
；
当
时，
，所以
.
所以若关于
的方程
恰有两个不同的实根
，且
，则
，且
.
由
，得
，所以
.
例8．（2026·高三·云南临沧·阶段检测）已知函数
．
(1)若
存在两个极值点，求实数
的取值范围；
(2)设函数
，且
在
上有
个零点，若
，证明：
．
【解析】（1）由
，得
，
因为方程
有两个不等实根，
即方程
有两个不等实根，
所以
，即
，
即
的取值范围为
；
（2）由
，得
，即
，
设函数
，
则
，
设函数
，则
，函数
为增函数，
因为
，
，
，
所以
，且
，
当
时，
，
，
当
时，
，
，
所以当
时，
取得极大值，也为最大值，
且极大值为
，
因为
，
所以当
在
上有
个零点时，
．
例9．（2026·天津·一模）设函数
．
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)讨论
的单调性；
(3)设
为
的导函数，若
在
上有两个不同的零点
，
，求证：
．
【解析】（1）函数
，有
，
，有
，
所以切线方程为
，
即曲线
在点
处的切线方程为
.
（2）函数
，
，
，
令
，
，
，
令
，得
，
令
，得
，所以
在
上单调递减，
令
，得
，所以
在
上单调递增，
所以
，
①当
时，
，
所以
，即
，
所以
在
上单调递增；
②当
时，
，
所以
，即
，
当
时，
，
，从而
，
当
时，
，
，与
相比，指数函数
呈爆炸性增长，从而
，
所以
有两根，记为
，
当
变化时，
与
的变化情况如下表：
+
0
-
0
+
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
在
和
上单调递增，在
上单调递减；
综上所述：当
时，
在
上单调递增；
当
时，
有两根，记为
，
在
和
上单调递增，在
上单调递减.
（3）证明如下：
由（2）知，
，
因为函数
在
上有两个不同的零点
，
所以
即
，
即
，
两式相除得
，令
③，
，所以
，代入③式得
，
，
令
，
，
，
令
，
，
因为
，所以
，
所以
在区间
上单调递增，所以
，
所以
在区间
上单调递增，所以
，
得证
.
变式6．设函数
.
(1)求
的最大值；
(2)若函数
存在两个极值点.
（i）求
的取值范围；
（ii）设
的极大值点为
，
的零点为
，求证：
.
【解析】（1）由题可知，定义域为
，则
，
当
时，则
，所以
在
上单调递增，
当
时，则
，所以
在
上单调递减，
故
在
处取极大值，即最大值，为
．
（2）（i）由题可得
，
，则
，
因为函数
存在两个极值点，则
存在
个变号零点，令
，
则一个零点为
，另一个零点为方程
的非零实根，
当
时，方程无解，则
，所以
，因此
且
；
（ii）根据（i）可知
时，
存在两个极值点，
当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，所以
的极大值点
，
为
的零点，则
，因为
，所以
，
则
；
当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，所以
的极大值点
，
即
，
，
，
所以
，
故
，
，当且仅当
，
时，等号成立，
综上，
.
题型四：零点存在性赋值找点问题
例10．（2026·高三·广西玉林·阶段检测）已知函数
.
(1)当
时，求
的极值；
(2)当
时，
（i）证明：
恰有两个零点
；
（ii）在（i）的条件下，证明：
，且
.
【解析】（1）当
时，
，则
，
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
故
的极大值为
，无极小值.
（2）（i）
，令
，得
，易知
在
上单调递增，在
上单调
递减；
故
.
令
，则
，因为
.
所以
，
所以
在
上单调递增，
因为
，所以
在
上存在唯一的零点
，即
；
又
，
记
，则
，所以
在
上单调递减，
所以
，故
，
因此
在
上存在唯一的零点
，即
.
结合
的单调性可知，
恰有两个零点
且
.
（ii）设
，则
，
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，所以
即
，所以
，
所以
，
故
.
设
，则
，
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，则
，
又
所以
.
例11．已知函数
(1)求
在点
处的切线l 的方程；
(2)若
；
（ⅰ）证明：函数
恰有两个零点；
（ⅱ）设
为
的较大零点，
，证明：
．
【解析】（1）由
求导得
，则
，又
，
则
在点
处的切线l 的方程为
（2）（i）由题可知
，则
，
设
，则
，
因为
，所以
，所以
在
上是减函数．
由
，又结合
，得
，
，所以
，
所以存在
，使得
，
所以当
时，
，即
，此时
单调递增，
当
时，
，即
，此时
单调递减，所以
是
唯一的极值点，
显然
，
因为
在
上递增，所以
在
上必存在一个零点，
因为
(后附证明①)，则
，所以
，
且
，即
，所以
，
则
，
所以
在区间
上必存在一个零点，
综上所述：
在区间
上恰有两个零点．
（ii）由（i）可知，
，得
，
，得
，所以
，
即
，因为
，则
，
所以
，则
所以
，因
（后附证明②），则
得证．
附证明：①
.设
，则
，
由
可得
，由
可得
，
则函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
故
，即
，当且仅当
时取等.
证明：②
.设
，则
，
则函数
在
上单调递减，则
，即
.
例12．（2026·四川雅安·二模）已知函数
(1)当
时，求函数
的最小值；
(2)当
时，讨论函数
的单调性；
(3)若函数
存在两个极值点，设
为
的极小值点，
为
的零点，证明：
．
【解析】（1）当
时，
，
，
所以当
时，
，则
在
上单调递减；
当
时，
，则
在
上单调递增．
所以
，故
的最小值为
．
（2）
，
当
时，令
，得
或
，
当
时，
，
所以当
时，
，则
在
上单调递增；
当
时，
，则
在
上单调递增；
此时
在
上单调递增．
当
时，
，
所以当
时，
，则
在
上单调递增；
当
时，
，则
在
上单调递减；
当
时，
，则
在
上单调递增．
当
时，
，
所以当
时，
，则
在
上单调递增；
当
时，
，则
在
上单调递减；
当
时，
，则
在
上单调递增．
综上：当
时，
的单调递增区间为
和
，单调递减区间为
；
当
时，
的单调递增区间为
；
当
时，
的单调递增区间为
和
，单调递减区间为
；
（3）由（2）知当
时，显然仅有一个极值点
，
当
时，
存在两个极值点，
且
，
，
又由于
且当
时，
，
所以
在
存在唯一零点
．
若
，由（2）知
，则
成立．
若
，则
要证
，只需证
，即证
，
即证
，只需证
．
设
，则
，
所以当
时，
，则
在
上单调递减，
当
时，
，则
在
上单调递增，
所以
，
设
，则
，
（
），故
在
上单调递减，
所以
，即 当
时，
，
所以
所以
在
上恒成立，
故当
时，
成立．
综上，
成立．
题型五：双零点差值范围问题（零点差问题）
例13．（2026·高三·黑龙江·期中）已知函数
．
(1)设函数
，求
的最大值．
(2)证明：
在定义域内有且仅有两个零点．
(3)设
的两个零点分别为
，且
，若存在两实数
，满足
，且
，
证明：
．
【解析】（1）由题意得，
，其定义域为
，
，
当
时，
单调递增，
当
时，
单调递减，
所以
在
时取得最大值
，
综上所述，
的最大值为0．
（2）由题意得，
的定义域为
，
当
时，
单调递增，又
，
所以
在
上存在唯一零点0；
当
时，设
，则
，
所以
在
上单调递减，又
，所以存在
，使
得
，
当
时，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
又
，
由零点存在性定理得，
在
上存在唯一零点，
此零点是
在
上的唯一零点；
当
时，由（1）可知，
在
上单调递减，
故而当
时，
，所以
在
上无零点；
综上所述，
在定义域内有且仅有2 个零点．得证．
（3）由（2）可得，
，
构造函数
，则
设
，则
，
所以
在
上单调递减，所以
，
所以
在
上单调递减，所以
，
所以当
时，
，所以
，
又
，所以
，所以
，
又
，所以
，得证．
例14．（2026·北京海淀·三模）已知函数
，曲线
在点
处的切线斜率
为
．
(1)求
的值．
(2)求
在
上的零点个数．
(3)证明：
在
上存在两个零点
，且
．
【解析】（1）
，定义域为
．
．由题可得，
，解得
．
（2）由（1）可得，
．
当
时，
，
，故
，在
时无零点；
当
时，
，
，故
，在
时无零点．
当
时，
，所以
在
上单调递增．
而
，
．
故由零点存在性定理知，
在
上存在唯一零点．
当
时，
，
，故
，在
时无零点；
综上：
在
上的零点个数为1．
（3）证明：
．令
，
．
令
，则
．
当
时，
，
，
，所以
．所以
在
上单调递增．
，
，所以由零点存在性定理，存在唯一
，使得
．
当
变化时，
，
的变化如下表：
0
极小值
又
，
，
．
所以由零点存在性定理，
分别在
，
上各恰有一个零点，即
在
上存在两个零
点
．
不妨设
．则当
时，
；当
时，
．
而
，
．
所以
．故
．
例15．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数
．
(1)讨论函数
在区间
内极值点的个数．
(2)设函数
，若函数
存在两个不同的零点
，且
．
（i）求实数a 的取值范围；
（ii）证明：
．
【解析】（1）因为
，所以
．
若
，当
时，
恒成立，
则函数
在
上单调递增，无极值点．
若
，当
时，
，函数
在
上单调递减；
当
时，
，函数
在
上单调递增，
故
是函数
的极小值点，且函数
无极大值点．
综上可知，当
时，函数
在区间
内极值点的个数为0；
当
时，函数
在区间
内极值点的个数为1．
（2）（i）由题意知
，
所以
．
当
时，
；当
时，
．
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
则
，
因为函数
存在两个不同的零点，所以
，即
，
所以实数a 的取值范围为
．
（ii）下面找两个点m，
，使得
，
注意到
，且
，于是考虑找点
，
下面我们证明：
．
①要证
，即证
，设
，要证明
，
即设
，则
，则
所以
在
上单调递增，得
，
所以
在
上单调递增，
故
，即
因此
．
设
，则
，
所以
在
上单调递增，所以
，
因此
，又
，故
，即
，
又
，所以
．．
②
，
设
，则
，
易知
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，即
．
因为
，即
，所以
，且
，
因此
，
因为
，所以
，所以
，
即得证
．
变式7．（2026·高三·安徽蚌埠·期末）已知函数
在区间
内存在零点．
（1）求
的范围；
（2）设
，
是
的两个零点，求证：
．
【解析】（1）由题意，方程
在区间
有解，
即方程
在区间
有解，
设函数
，即
在区间
存在零点．
因为
，
①若
，则
，
，
成立，
在区间
单调递增，
，
，
，
所以
在区间
存在零点；
②若
，则
，
在
内单调递减，
且
，所以
在区间
无零点；
③若
，则
，
，
当
时，
，
故
在区间
无零点；
综上所述，
．
（2）由（1）可知，
时，
在区间
单调递减，在区间
单调递增，
且
在区间
存在一个零点；
又
，
，
所以
在区间
也存在一个零点，
从而
，
所以
，不等式得证．
题型六：含最值（max/min）结构的零点综合问题
例16．（2026·浙江·二模）定义
，已知函数
，其中
.
(1)当
时，求过原点的切线方程；
(2)若函数
只有一个零点，求实数
的取值范围.
【解析】（1）由题意知
定义域
，当
时，
，
令
，
，
在
单调递增，
单调递减，且
，
令
，则在
单调递增，而
，
又
，
，而
，
所以当
时，
，当
时，
，
所以当
时，
，当
时，
，
所以
，
所以
在
和
单调递增，在
单调递减.
（ⅰ）当
时，
，设切点
，
则此切线方程为
，
又此切线过原点，
所以
，解得
，
即此时切线方程是
；
（ⅱ）当
时，
，所以
，
设切点为
，此时切线方程
，
又此切线过原点，所以
，解得
，
所以此时切线方程
，
综上所述，所求切线方程是：
或
；
（2）（ⅰ）当
时，
由（1）知，
在
和
单调递增，
单调递减，
且
，
，
，
此时
有两个零点；
（ⅱ）当
时，
当
时，
，
由（1）知：
在
递增，
递减，且
，
所以
时，
，而
，
所以
在
只有一个零点，
没有零点；
（ⅲ）当
时，
，此时
得
，
由（1）知，当
时，
只有一个零点
，
要保证
只有一个零点，只需要当
时，
没有零点，
，得
；
（ⅳ）当
时，当
时，
，
此时
只有一个零点
，
综上，
只有一个零点时，
或
.
例17．已知函数
.
(1)当
为何值时，
轴为曲线
的切线；
(2)用
表示
中的最大值，设函数
，试讨论函数
零点的个数.
【解析】（1）设曲线
与
轴相切于点
，则
，
即
，解得
.
（2）当
时，
在
无零点.
当
时，若
，则
，
故
是
的零点；
若
，则
，
故
不是
的零点.
当
时，
，所以只需考虑
在
的零点个数.
（i）若
或
，则
在
无零点，
故
在
单调，而
，
所以当
时，
在
有一个零点；
当
时，
在
无零点.
（ii）若
，则
在
单调递增，在
单调递减，
故当
时，
取的最大值，最大值为
.
①若
，即
在
无零点.
②若
，即
，则
在
有唯一零点；
③若
，即
，由于
，
所以当
时，
在
有两个零点；
当
时，
在
有一个零点.
综上，当
或
时，
有一个零点；
当
或
时，
有两个零点；
当
时，
有三个零点.
例18．（2026·湖北黄冈·三模）已知函数
．
(1)当
时，求函数
在
上的极值；
(2)用
表示
中的最大值，记函数
，讨论函数
在
上
的零点个数．
【解析】（1）当
时，
，
由
，得
或
，则
和
随
的变化如下表所示：
0
+
0
-
0
+
0
-
极大
极小
极大
∴
在
上有2 个极大值：
在
上有1 个极小值
．
（2）由
，知
．
（ⅰ）当
时，
，
∴
，故
在
上无零点．
（ⅱ）当
时，
．
故当
时，即
时，
是
的零点；
当
时，即
时，
不是
的零点．
（ⅲ）当
时，
．故
在
的零点就是
在
的零点，
．
①当
时，
，故
时，
在
是减函数，
结合
，
可知，
在
有一个零点，
故
在
上有1 个零点．
②当
时，
，故
时，
在
是增函数，
结合
可知，
在
无零点，故
在
上无零点．
③当
时，
，使得
时，
在
是增函数；
时，
在
是减函数；
由
知，
．
当
，即
时，
在
上无零点，故
在
上无零点．
当
，即
时，
在
上有1 个零点，故
在
上有1 个零点．
综上所述，
时，
有2 个零点；
时，
有1 个零点；
时，
无零点
变式8．（2026·高三·陕西商洛·期末）已知函数
，
.
（1）讨论
的单调性；
（2）用
表示
，
中的最大值，已知
，求函数
的零点的个
数.
【解析】（1）函数
的定义域为
，且
.
当
时，
对
恒成立，所以
在
上单调递增.
当
时，令
，得
，
当
时，
；当
时，
.
所以
在
上单调递减，在
上单调递增.
（2）当
时，
，从而
，所以
在
上无零
点.
当
时，
，
，所以
是
的零点.
当
时，
，所以
在
上的零点个数只需要考虑
在
上的零点个数.
由（1）知，
在
上单调递减，
所以
，从而
在
上无零点
综上，
的零点个数为1.
变式9．已知函数
.
(1)若
是
的极大值点，求
的值；
(2)用
表示
中的最大值，设函数
，试讨论
零点的个数.
注：若
，当
时，
，当
时，
.
【解析】（1）由函数
，可得
，
因为
是
的极大值点，则
，解得
，
当
时，可得
，
当
时，
，令
，则
，
所以
在
上单调递减，则
，即
，
此时
在
上单调递增；
当
时，令
，可得
，则
，
故
即
单调递减，
又因为
，所以当
时，
单调递减，
所以，当
时，
是
的极大值点，符合题意.
（2）（I）由函数
，
当
时，
，
，此时
无零点；
（II）当
时，可得
，
①若
，即
时，
，
此时
不是
的零点；
②若
，即
时，
，
此时
是
的零点；
（III）当
时，
，
零点个数等于
零点个数，
显然
是
的一个零点；
当
时，
可转化为
，
令
，则
，
由（1）知，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递减，在
上单调递增，
且当
时，
，当
时，
，
可得
，函数
的图象所示：
①当
或
或
时，
有1 个零点；
②当
或
时，
有2 个零点；
③当
时，
无零点.
综合（I）（II）（III）得：
当
或
时，
有2 个零点；
当
或
或
时，
有3 个零点；
当
或
时，
有4 个零点.
题型七：多零点综合问题
例19．已知函数
，
．
(1)若过原点的直线与曲线
相切于点
，证明：
为定值；
(2)已知
恰有两个零点
，
，
恰有两个零点
，
，且
．
（ⅰ）求实数a 的取值范围；
（ⅱ）证明：
．
【解析】（1）因为
，所以
，
，
依题意有
在点
处的切线过原点，所以
，
代入
表达式得
即
，
又
，故有
即
.
（2）（i）
有两个零点等价于
有两个根，设
，则
，
时，
，
单调递增；
时，
，
单调递减，
所以
时
取得最大值
，且当
时，
，
当
时，
，
有两个根即
与
有两个交点，则应有
即
；
有两个零点等价于
有两个根，设
，则
，
令
得
，采用类似的分析可知
时
单调递减，
时
单调递增，最小值为
，
且当
时，
，当
时，
，
有两个根即
与
有两个交点，则应有
，
综上所述，
的取值范围为
；
（ii）
有两个根等价于
有两个根，设
，
当
时，
，由（i）可知
有两个根
，
因为
，所以
即
有两个根
，所以
，
根据基本不等式有
，设
，
于是只需证明
，设
，
则上述不等式可以放缩为
，
接下来分析与
也即
与
的关系，
考虑函数
，
则
，
当
，
，
单调递增，所以
，
由（i）可知
，所以
即
，
又因为
，所以
，由（i）可知
在
上单调递增，
且
，故
，得
，即
，
因为
，当
时
，
单调递增，
所以
，原不等式得证.
例20．（2026·河北邢台·二模）已知函数
，其中
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
有三个零点
，
，
，其中
，函数
的两个极值点分别为
，
.
（i）求
的取值范围；
（ii）证明：
.
【解析】（1）当
时，
，所以
，
所以
，又
，
所以切线方程为
，即
；
（2）（i）函数
的定义域为
，
，
由
，得
，即
，
由题意可得
有三个零点
，
，
，
，
令
，则
，
①当
时，
，
单调递增，
且当
时，
；当
时，
，
由零点存在定理可知存在正数，使得
，令
，得
；
令
，得
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
则
在
上最多有2 个零点，不符合题意；
②当
时，令
，得
；令
，得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，
若
，则
，所以
，
所以
在
上单调递减，不可能有三个零点；
若
，则
，
，
且当
时，
；当
时，
，
故由零点存在定理可知存在
，
，使得
，
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减，
因为
，所以
，即
.
又
，当
时，
；当
时，
，
所以由零点存在定理可知存在三个零点
，
，
，
所以
有三个零点时，
的取值范围是
.
（ii）证明如下：
由
，所以
，
所以
也是
的零点，所以
，
所以
，所以
，所以
.
又
的两个极值点分别为
，
，
所以
，
是
，即
的两个变号根，
所以直线
与
有两个不同的交点，其横坐标分别为
，
，
而
，令
，得
；令
，得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，且
，
，
，
令
，
，则
，
因为
，所以
，所以
，
所以
，
，
，
所以
，
所以
，所以
，
所以
在
上单调递增，所以
，
所以
，所以
，所以
，
所以
，所以
，
所以
.
例21．已知函数
，其中
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
有三个零点，
，
，其中
，函数
的两个极值点分别为
，
.
（i）求
的取值范围；
（ii）证明：
.
【解析】（1）当
时，
，
则
，
则
，
，
则曲线
在点
处的切线方程为
，即
；
（2）（i）
，
，
由题意可知，
有三个零点
，
，其中
，两个极值点分别为
，
，令
，
则
，
若
，则
，则
在
上单调递增，
则
至多有一个零点，
至多有一个极值点，不符合题意；
若
，则
当
时
，
单调递增；当
时
，
单调递减，
则
，
若
，则
，
则
在
上单调递减，
则
至多有一个零点，不符合题意；
若
，则
，
当
时
，当
时
，
故
存在两个零点
，
则当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增；
则
在
处取得极小值，在
处取得极大值；
因为当
时
，当
时
，
，
所以
有三个零点
，
，其中
，
综上，
的取值范围为
；
（ii）因为
，
所以
，即
是
的零点，故
，则
，
则
，
因为
是
的两个极值点，所以
是
的两根，
则
，
所以
与
的图象的交点的横坐标为
，
，
当
时
，
单调递增；当
时
，
单调递减，
则
，则
，
令
，
则
，
因为
，所以
，
所以
，
，
所以
，
所以
在
上单调递增，则
，
即
，则
，
因为
在
上单调递减，所以
，
所以
，则
，证毕.
变式10．（2026·高三·重庆·开学考试）已知函数
和
．设
为函数
的两个零点，
，
为函数
的两个零点．
(1)求
的取值范围；
(2)证明：
．
【解析】（1）令
得：
，设
，
则
，由
得：
；由
得：
；
所以
在
上单调递增，
上单调递减，
所以
的最大值为
且当
时，
，且大于0，
当
时，
，
所以若
有两个不同的根
时，
.
同理：令
得：
．
设
，
.
由
得：
；由
得：
.
所以
在
上单调递增，
上单调递减，
所以
的最大值为
且当
且大于0 时，
且大于0，当
时，
，
所以若
有两个不同的根
时，
.
综上：
．
（2）先证：
，
由（1）知：
在
上单调递增，
上单调递减，
的最大值为
且当
且大于0 时，
且大于0，当
时，
，
有两个不同的根
，
设
且
，
则
，
即
在
上单调递增．
又因为
，所以
，即
．
又因为
，所以
，
又因为
在
上单调递减，所以
，
即
得证。
再证：
，
设
且
，
则
且
．
令
，则
，
由
得：
；由
得：
；
所以
在
上单调递减，
上单调递增，
所以
，即
，所以
在
上单调递增，
又因为
，所以当
时，
；当
时，
，
即当
时，
；当
时，
，
由（1）知：
，
所以有
且
在
上单调递增，
所以
，同理可得：
，
所以
得证．
综上：
，得证．
1．已知函数
.
(1)当
时，求函数
的极值；
(2)讨论函数
的零点个数.
【解析】（1）由题意，函数
的定义域为
，
由
，得
，
令
，即
，解得
；
令
，即
，解得
，则当
时，
单调递增；
令
，即
，解得
，则当
时，
单调递减；
所以当
函数
取极小值
，无极大值.
（2）由
得方程
，令
，
则函数
零点的个数就是
与
交点的个数，由（1）可知
当
时，
单调递减，
当
时，
单调递增，
时，
;
时，
；
画出函数
的图象如下：
当
时，函数
与
无交点；
当
或
时，函数
与
有一个交点；
当
时，函数
与
有两个交点-
所以当
，
在
上有0 个零点；
当
，
在
上有1 个零点；
当
时，
在
上有2 个零点 .
2．已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在
处的切线方程；
(2)讨论
的零点个数；
【解析】（1）当
时，
．
所以曲线
在
处的切线方程为
，即
．
（2）因为
，令
，得
，即
.
令
，所以
的零点个数等价于
与
的图象交点的个数.
又因为
，当
时，
；当
时，
.
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
且
，有极大值也是最大值
，如图：
由图可知，当
时，函数
与
的图象无交点；
当
时，函数
与
的图象有1 个交点；
当
时，函数
与
的图象有2 个交点.
综上，
时，
的零点个数为0；
时，
的零点个数为1；
时，
的零点个数为2.
3．（2026·高三·云南昆明·期中）已知函数
.
(1)若
，证明：当
时，
；
(2)若
，求
的最小值；
(3)讨论
的零点个数.
【解析】（1）
，
因为
，
，
所以
，因此
，
所以当
时，函数
在
上单调递减，
于是由
，证毕；
（2）当
时，
，
，
当
时，
，所以函数
在
时，单调递增，
当
时，
，
，显然
，
因此
，所以函数
在
时，单调递减，
所以当
时，函数
有最小值
；
（3）当
时，
，
所以此时该函数是实数集上的减函数，而
，
所以此时函数有唯一零点；
，
设
，
当
时，
，此时函数
单调递减，
当
时，
，此时函数
单调递增，且
，
函数
的图象和直线
的图象如下图所示：
显然当
时，直线
和函数
的图象有唯一交点
；
函数
在
处的切线斜率为
，
因此当
时，直线
和函数
的图象有唯一交点
；
因此当
时，直线
和函数
的图象有两个交点，
当
时，直线
和函数
的图象有两个交点，
综上所述：当
时，函数
有两个零点，
当
时，函数
有一个零点.
4．（二、隐式零点探求型）已知函数
．当
时，讨论函数
的零点个数．
【解析】
定义域为R，
．
当
时，
，
无零点．
当
时，由
，得
．
当
时，
；当
时，
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
．
且当
趋向于
时，
趋向于
；当
趋向于
时，
趋向于
．
所以当
，即
时，
有两个零点；
当
，即
时，
有一个零点；
当
，即
时，
无零点．
综上，当
时，
有两个零点；
当
时，
有一个零点；
当
时，
无零点．
5．（2026·河南郑州·模拟预测）已知函数
．
(1)若a＝1，求函数
的极值；
(2)若函数
在区间
上有且只有一个零点，求实数a 的范围．
【解析】（1）由题可得，函数
的定义域为
，
.
若
，
，
当
，
，
在
上单调递减；
当
，
，
在
上单调递增.
所以
，无极大值.
（2）
，易知
，
所求问题等价于函数
在区间
上没有零点，
因为
，
当
，
，所以
在
上单调递减，
当
，
，在
上单调递增.
①当
，即
时，函数
在区间
上单调递增，所以
，
此时函数
在区间
上没有零点，满足题意.
②当
，即
时，
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，
要使
在
上没有零点，只需
，即
，解得
，
所以
.
③当
，即
时，函数
在区间
上单调递减，
在
区间
上满足
此时函数
在区间
上没有零点，满足题意.
综上所述，实数
的范围是
或
.
6．（2026·宁夏银川·三模）已知曲线
.
(1)求
在
处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；
(2)若函数
有两个零点，求实数
的取值范围．
【解析】（1）因为
，
所以
，
，即切点为
，又
，
所以切线方程为
，
当
时，
，当
时，
，
切线与坐标轴围成的三角形面积为
.
（2）因为
，函数
有两个零点，
相当于曲线
与直线
有两个交点，
又
，
当
时，
，所以
在
上单调递减，
当
时，
，所以
在
上单调递增，
所以
时，
取得极小值
，
又
时，
，
且当
时，
，当
时，
，
所以
的图象如下所示：
由图可得实数
的取值范围为
．
7．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)令
，若函数
在
上存在两个零点，求实数
的取值范围.
【解析】（1）由题意，
，则
，
.
∴曲线
在点
处的切线方程为
，
即
；
（2）由题意，
.
在
上存在两个零点，
∴存在
，使
，
即
.
令函数
，则直线
与函数
的图象有两个交点.
，
由
，得
.
当
时，
；当
时，
，
∴函数
在
上单调递减，在
上单调递增，则
.
∵当
时，
；当
时，
，
∴当
时，直线
与函数
的图象有两个不同交点，
∴实数
的取值范围是
．
8．（2026·四川南充·三模）已知函数
，
．
(1)当
时，求函数
在
上的极值；
(2)用
表示
，
中的最大值，记函数
，讨论函数
在
上
的零点个数．
【解析】（1）当
时，
，
，
由
，得
或
，则
和
随
的变化如下表所示：
0
0
0
0
极大
极小
极大
在
上有2 个极大值：
，
在
上有1 个极小值：
.
（2）由
，知
.
（i）当
时，
，
，故
在
上无零点．
（ii）当
时，
，
．
故当
时，即
时，
，
是
的零点；
当
时，即
时，
，
不是
的零点.
（iii）当
时，
．
故
在
的零点就是
在
的零点，
，
．
①当
时，
，故
时，
，
在
是减函数，
结合
，
可知，
在
有一个零点，
故
在
上有1 个零点.
②当
时，
，故
时，
，
在
是增函数，
结合
可知，
在
无零点，
故
在
上无零点．
③当
时，
，使得
时，
，
在
是增函数；
时，
，
在
是减函数；
由
知，
．
当
，即
时，
在
上无零点，
故
在
上无零点．
当
，即
时，
在
上有1 个零点，
故
在
上有1 个零点.
综上所述，
时，
有2 个零点；
时，
有1 个零点；
时，
无零点.
9．（2026·四川南充·三模）已知函数
，
其中为自然对数的底数.
(1)当
时，求函数
的极值；
(2)用
表示
，
中的最大值，记函数
，当
时，讨论函数
在
上的零点个数.
【解析】（1）当
时，
，
，
由
得：
或
；由
得：
列表：
0
1
+
0
0
+
极大
值
极小值
∴
；
；
（2）由
知：
（i）当
时
，
，故
在
上无零点.
（ii）当
时，
，
知：当
时，
，
，
是
的零点；
当
时，
，
，
不是
的零点；
（iii）当
时，
，故
在
的零点就是
在
的零点.
由
得：
，
设
，则
，
在
上单调递增，
又∵
，
，
∴当
时，
即
在
上无零点；
当
时，
即
在
上有1 个零点；
当
时，
即
在
上无零点；
综上所述：
时，
有2 个零点；
或
时，
有1 个零点；
时，
无零点.
10．（2026·安徽铜陵·模拟预测）已知函数
．
(1)
时，对任意
，有“
”是“
”的充分条件，求
的取值范围；
(2)若对任意
，函数
有两个零点
．
（i）求
的范围；
（ii）在（1）的条件下，求当两个零点距离
最小时
的值．
【解析】（1）当
时，
，
又任意
，有“
”是“
”的充分条件，
所以
，所以
在
上单调递增，
所以
对
恒成立，
所以
对
恒成立，
令
，
，所以
在
上单调递减，
所以
，所以
．
（2）（i）因为
，
所以
有两个不相等的根
，且两根均不为零，故
.
令
，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
最小值为
，
所以
对任意
都成立，
设
，
，
当
时，
；当
时，
，
所以当
时，
取最大值为
，
所以
；
（ii）由（1）中条件及结论可得
，
结合（i）中结论可得
.
因为
为
的两个非零实数根，
故
，
，
不妨设
，则
，故
，
故
，故
，故
，
所以
，
设
，
，
，
，当
时，
；当
时，
，
在
上为减函数，在
上为增函数，
故当
时，
且
.
而
，
设
，则
，
故
在
上为减函数，故
，故
，
故
在
上为减函数，且
时，
，
时，
，
故
在
上的值域为
.
又
中，
且
，
故
在
上为减函数，
而
，
时，
，故
的值域为
.
故取最小值当且仅当
取最大值，
即当且仅当
取最小值即当且仅当
取最小值即
.
所以
最小时，
．
11．已知函数
.
(1)若
，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若函数
存在两个不同的零点
，
，且
.
（ⅰ）求
的取值范围；
（ⅱ）证明：
.
【解析】（1）当
时，
，
，
则
，
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
.
（2）（ⅰ）由题知
的定义域为
，
.
令
，得
；令
，得
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，
当
时，
，当
时，
，
所以函数
存在两个不同的零点，只需
，即
，
所以
的取值范围为
.
（ⅱ）证明：找两个点
，
，使得
，
成立，
又
，且
，于是考虑找点
，
，
证明
，
即可.
①要证
，即证
，即
，即证
，
令
，则
，
当
时，
，
单调递减；当
时，
，
单调递增；
所以
在
处取得最小值，所以
，即
.
令
，则
，
当
时，
，
单调递增；当
时，
，
单调递减；
所以
在
处取得最大值，所以
，即
.
又
，所以
，即
，
又
，所以
.
②
，
设
，则
，
易知
在
上单调递增，在
上单调递减，所以
，即
.
因为
，即
，所以
，且
，
因此
，
因为
，所以
，
所以
，即证得
.
12．已知函数
.
(1)讨论函数
的单调性；
(2)若函数
有三个不同的零点
、
、
，且
.
（ⅰ）证明：
；
（ⅱ）证明：
.
【解析】（1）
定义域为
，
求导得：
，
令
，即
，则
．
当
时，
，方程无解，即
恒成立，则
在
单调递减，
当
时，
，方程有相等实数解，即
恒成立，则
在
单调递减，
当
时，则
，
有两个正数根
．
，
所以函数
在
和
单调递减，
在
单调递增，
综上所述，当
时，
在
单调递减，
当
时，函数
在
和
单调递减，
在
单调递增；
（2）（ⅰ）根据（1）可知，若函数
有三个不同的零点，则
，
因为
，则
是
的一个零点，
设是函数
的一个零点，即
，
则
，
所以也是函数
的一个零点，设
，则
，
，
所以
；
（ⅱ）由上可知不等式
等价于
，
即
，也就是
，
由于
，则
，
则只需证
，
因为
，所以上式化简为
，即
，
设
，
则
，
所以
在
上单调递减，则
，
所以上述不等式成立，原不等式成立.
13．（2026·江苏苏州·模拟预测）已知函数
.
(1)
时，求
的最小值；
(2)若存在
，使得
有四个零点，这四个零点从小到大依次记为
，
，
，
.
①求
的取值范围（直接写出答案，无需说明理由）；
②证明：
.
【解析】（1）（1）
时
，所以
.
当
时，
，则
在
上单调递减；
当
时，
，则
在
上单调递增，所以
.
（2）（2）①
.
②证明：由题意得
，
且
，
，
，
，
则
，
令
，
，则
.
要证
，即证
，
即证
，即证
，
即证
，即证
.
由
，得
，同理
，
所以即证
，即证
.
令
，
则
.
令
，则
，
，
，
，所以
在
上递减，所以
，
所以
在
上递减，所以
，即
，
所以
在
上递减，又因为
，所以
，
即
，所以可得
.
14．（2026·高三·广东东莞·期末）已知函数
．
(1)判断函数
的单调性；
(2)当
时，证明：曲线
恒在曲线
的上方；
(3)当
恰有四个零点
时，证明：
．
【解析】（1）由
得函数定义域为
，
且
，令
，即
，∴
．
当
时，
，当
或
时，
，
所以
在
上单调递增，在
和
上单调递减.
（2）
．
令
，
，故
在
上单调递增．
，即
．
由（1）可知
在
单调递增，
，∴
，
即
，即曲线
恒在曲线
的上方．
（3）令
，得
或
由题意得直线
与两条曲线
共有四个交点．
对于
且
，
当
时，
，此时
在
上单调递增，
当
时，
，此时
在
上单调递减，
当
时，
，此时
在
上单调递减，
同（2）可证，当
时，曲线
恒在曲线
的下方
如图所示，
，且
．
由
，得
．
，且
在
上单调递减，
，即
．
．
同理：
，得
，
∵
，且
在
上单调递增，
∴
，即
，∴
.
故
，即
，得证．
15．（2026·高三·安徽合肥·阶段检测）已知函数
和
有相同的最大值．
(1)求
的值；
(2)已知直线
与两条曲线
和
共有四个不同的交点，从左到右四个交点的横坐标分别设
为
，证明：
．
【解析】（1）函数
的定义域为R，求导得
，
当
时，当
时，
，当
时，
，
函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
，
当
时，当
时，
，当
时，
，
函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
无最大值；
函数
的定义域为
，求导得
，
当
时，当
时，
，当
时，
，
函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
，
当
时，当
时，
，当
时，
，
函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
无最大值，
依题意，
，即
，而
，所以
.
（2）由（1）知，
，且
，
，
设两曲线交点的纵坐标为
，当
时，从左到右四个交点的横坐标依次为
，显然
，
则
，即
，
由
，且
在
上单调递增，于是
，
由
，且
在
上单调递减，
，
因此
，
当
时，也有四个交点，其横坐标从左到右依次为
，
，
且有
，
，同理得
，
所以
.
16．已知函数
和
有相同的最小值．
(1)求
；
(2)若直线
与
和
的图象共有四个不同的交点，试探究：从左到右四个交点横坐标之间
的等量关系．
【解析】（1）因为
，所以
．
若
，则
，此时
无最小值，故
.
当
时，
，故
在
上为减函数，
当
时，
，故
在
上为增函数，
故
.
因为
的定义域为
，而
.
当
时，
，故
在
上为减函数，
当
时，
，故
在
上为增函数，
故
.
因为
和
有相同的最小值，
故
，整理得到
，其中
，
设
，则
，
故
为
上的减函数，而
，
故
的唯一解为
，故
的解为
.
综上，
.
（2）由（1）知，
，故
，
，
且
在
上为减函数，在
上为增函数，
在
上为减函数，在
上为增函数，且
，
所以直线
与
和
的图象有四个不同的交点，存在以下两种情况：
第一种情况，如图：
设直线
与
的图象交点横坐标从左到右依次为
，
直线
与
的图象交点横坐标从左到右依次为
．
由图可知
且
．
∵
且
．
∴
．
同理，
且
．
∴
．
∴
，
，
又∵
，即：
．
∴
．
∴
．
第二种情况，如图：
设直线
与
的图象交点横坐标从左到右依次为
，
直线
与
的图象交点横坐标从左到右依次为
．
由图可知
，
，且
，
，
∵
且
．
∴
．
同理，
且
．
∴
．
∴
，
，
又∵
，即：
．
∴
．
∴
．
综上所述，若直线
与
和
的图象共有四个不同的交点，从左到右四个交点横坐标之间
的等量关系为：
.
