文档文本内容
微专题拓展12 利用导数解决零点问题
目录
01 解题方法总结..............................................................................................................................2
02 重难点题型梳理......................................................................................................................... 3
题型一：导数分析函数零点个数问题................................................................................................3
题型二：由函数零点个数求解参数取值范围问题............................................................................4
题型三：隐零点整体代换问题（隐零点问题）................................................................................6
题型四：零点存在性赋值找点问题....................................................................................................6
题型五：双零点差值范围问题（零点差问题）................................................................................7
题型六：含最值（max/min）结构的零点综合问题.......................................................................10
题型七：多零点综合问题.................................................................................................................. 11
03 课后拓展精练............................................................................................................................13
1、解决零点个数
常用的方法主要有以下三种：
问题
(1)
化
两个函数
象交点的个数
，利用数形
合思想求解
转
为
图
问题
结
.
(2)
化
函数
转
为
f(x)的
象与
图
x
交点个数的
轴
问题.
(3)将
行参
分离，
化
进
变
转
为
的形式；有
了避免出
时为
现“断点”，可以考虑“倒数分参”.
2、解决含参数的零点
常用的方法主要有以下三种：
问题
(1)分离参数法：分离之后函数无参数，
可得到函数的
象，然后上下移
参数的
，
察直
与函数
象
则
图
动
值观
线
图
交点个数即可.
(2)隔离构造函数法：将一个函数分成两个函数，一个
容易求
的不含参函数，另一个
象是一条直
的
为
导
为图
线
含参函数，
察它
象的
化
，找到
界的位置，易求得参数的取
范
观
们图
变
趋势
临
值
围.
(3)直接构造法：直接研究函数f(x)，
参数
行分
，判断函数
性，利用函数零点存在定理，判断零
对
进
类讨论
单调
点个数，从而求出参数的取
范
值
围.
题型一：导数分析函数零点个数问题
例1．已知函数
，曲线
在
处的切线方程为
.
(1)求
的值；
(2)证明：函数
在区间
上存在唯一极大值点；
(3)求函数
的零点个数.
例2．已知函数
.
(1)讨论
单调性
(2)当
时，证明：函数
有且仅有一个零点；
例3．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数
.
(1)设
，讨论函数
在
上的单调性；
(2)判断函数
在
上的零点个数.
变式1．（2026·高三·河南·阶段检测）已知函数
.
(1)若
，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)当
时，讨论曲线
与
的交点个数.
变式2．已知函数
(1)求
在
处的切线方程；
(2)讨论
在
上的零点个数.
题型二：由函数零点个数求解参数取值范围问题
例4．已知函数
．
(1)当
时，求
的单调区间；
(2)在（1）问的条件下，求
的最小值
(3)若
有两个零点，求
的取值范围．
例5．已知函数
．
(1)当
时，求
的极值；
(2)若
在
上存在零点，求
的取值范围．
例6．（2026·重庆·三模）设函数
．
(1)当
时，求曲线
在
处的切线方程；
(2)若
有两个零点，求
的范围．
变式3．（2026·北京·模拟预测）已知函数
.
(1)若函数
的极值点在
内，求m 的取值范围；
(2)若
有两个零点，求m 取值的范围.
变式4．（2026·高三·广东茂名·阶段检测）已知函数
.
(1)讨论
的单调性；
(2)若函数
有两个零点
，求m 的范围．
变式5．（2026·四川广安·二模）已知函数
（
为常数）.
(1)若曲线
在
处的切线在两坐标轴上的截距相等，求
的值；
(2)是否存在实数
，使得
有3 个零点？若存在，求实数
的范围；若不存在，请说明理由.
题型三：隐零点整体代换问题（隐零点问题）
例7．已知函数
．
(1)求曲线
在函数
零点处的切线方程；
(2)求函数
的单调区间；
(3)若关于
的方程
恰有两个不同的实根
，且
，求证：
．
例8．（2026·高三·云南临沧·阶段检测）已知函数
．
(1)若
存在两个极值点，求实数
的取值范围；
(2)设函数
，且
在
上有
个零点，若
，证明：
．
例9．（2026·天津·一模）设函数
．
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)讨论
的单调性；
(3)设
为
的导函数，若
在
上有两个不同的零点
，
，求证：
．
变式6．设函数
.
(1)求
的最大值；
(2)若函数
存在两个极值点.
（i）求
的取值范围；
（ii）设
的极大值点为
，
的零点为
，求证：
.
题型四：零点存在性赋值找点问题
例10．（2026·高三·广西玉林·阶段检测）已知函数
.
(1)当
时，求
的极值；
(2)当
时，
（i）证明：
恰有两个零点
；
（ii）在（i）的条件下，证明：
，且
.
例11．已知函数
(1)求
在点
处的切线l 的方程；
(2)若
；
（ⅰ）证明：函数
恰有两个零点；
（ⅱ）设
为
的较大零点，
，证明：
．
例12．（2026·四川雅安·二模）已知函数
(1)当
时，求函数
的最小值；
(2)当
时，讨论函数
的单调性；
(3)若函数
存在两个极值点，设
为
的极小值点，
为
的零点，证明：
．
题型五：双零点差值范围问题（零点差问题）
例13．（2026·高三·黑龙江·期中）已知函数
．
(1)设函数
，求
的最大值．
(2)证明：
在定义域内有且仅有两个零点．
(3)设
的两个零点分别为
，且
，若存在两实数
，满足
，且
，证明：
．
例14．（2026·北京海淀·三模）已知函数
，曲线
在点
处的切线斜率
为
．
(1)求
的值．
(2)求
在
上的零点个数．
(3)证明：
在
上存在两个零点
，且
．
例15．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数
．
(1)讨论函数
在区间
内极值点的个数．
(2)设函数
，若函数
存在两个不同的零点
，且
．
（i）求实数a 的取值范围；
（ii）证明：
．
变式7．（2026·高三·安徽蚌埠·期末）已知函数
在区间
内存在零点．
（1）求
的范围；
（2）设
，
是
的两个零点，求证：
．
题型六：含最值（max/min）结构的零点综合问题
例16．（2026·浙江·二模）定义
，已知函数
，其中
.
(1)当
时，求过原点的切线方程；
(2)若函数
只有一个零点，求实数
的取值范围.
例17．已知函数
.
(1)当
为何值时，
轴为曲线
的切线；
(2)用
表示
中的最大值，设函数
，试讨论函数
零点的个数.
例18．（2026·湖北黄冈·三模）已知函数
．
(1)当
时，求函数
在
上的极值；
(2)用
表示
中的最大值，记函数
，讨论函数
在
上
的零点个数．
变式8．（2026·高三·陕西商洛·期末）已知函数
，
.
（1）讨论
的单调性；
（2）用
表示
，
中的最大值，已知
，求函数
的零点的个
数.
变式9．已知函数
.
(1)若
是
的极大值点，求
的值；
(2)用
表示
中的最大值，设函数
，试讨论
零点的个数.
注：若
，当
时，
，当
时，
.
题型七：多零点综合问题
例19．已知函数
，
．
(1)若过原点的直线与曲线
相切于点
，证明：
为定值；
(2)已知
恰有两个零点
，
，
恰有两个零点
，
，且
．
（ⅰ）求实数a 的取值范围；
（ⅱ）证明：
．
例20．（2026·河北邢台·二模）已知函数
，其中
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
有三个零点
，
，
，其中
，函数
的两个极值点分别为
，
.
（i）求
的取值范围；
（ii）证明：
.
例21．已知函数
，其中
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
有三个零点，
，
，其中
，函数
的两个极值点分别为
，
.
（i）求
的取值范围；
（ii）证明：
.
变式10．（2026·高三·重庆·开学考试）已知函数
和
．设
为函数
的两个零点，
，
为函数
的两个零点．
(1)求
的取值范围；
(2)证明：
．
1．已知函数
.
(1)当
时，求函数
的极值；
(2)讨论函数
的零点个数.
2．已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在
处的切线方程；
(2)讨论
的零点个数；
3．（2026·高三·云南昆明·期中）已知函数
.
(1)若
，证明：当
时，
；
(2)若
，求
的最小值；
(3)讨论
的零点个数.
4．（二、隐式零点探求型）已知函数
．当
时，讨论函数
的零点个数．
5．（2026·河南郑州·模拟预测）已知函数
．
(1)若a＝1，求函数
的极值；
(2)若函数
在区间
上有且只有一个零点，求实数a 的范围．
6．（2026·宁夏银川·三模）已知曲线
.
(1)求
在
处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；
(2)若函数
有两个零点，求实数
的取值范围．
7．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)令
，若函数
在
上存在两个零点，求实数
的取值范围.
8．（2026·四川南充·三模）已知函数
，
．
(1)当
时，求函数
在
上的极值；
(2)用
表示
，
中的最大值，记函数
，讨论函数
在
上
的零点个数．
9．（2026·四川南充·三模）已知函数
，
其中为自然对数的底数.
(1)当
时，求函数
的极值；
(2)用
表示
，
中的最大值，记函数
，当
时，讨论函数
在
上的零点个数.
10．（2026·安徽铜陵·模拟预测）已知函数
．
(1)
时，对任意
，有“
”是“
”的充分条件，求
的取值范围；
(2)若对任意
，函数
有两个零点
．
（i）求
的范围；
（ii）在（1）的条件下，求当两个零点距离
最小时
的值．
11．已知函数
.
(1)若
，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若函数
存在两个不同的零点
，
，且
.
（ⅰ）求
的取值范围；
（ⅱ）证明：
.
12．已知函数
.
(1)讨论函数
的单调性；
(2)若函数
有三个不同的零点
、
、
，且
.
（ⅰ）证明：
；
（ⅱ）证明：
.
13．（2026·江苏苏州·模拟预测）已知函数
.
(1)
时，求
的最小值；
(2)若存在
，使得
有四个零点，这四个零点从小到大依次记为
，
，
，
.
①求
的取值范围（直接写出答案，无需说明理由）；
②证明：
.
14．（2026·高三·广东东莞·期末）已知函数
．
(1)判断函数
的单调性；
(2)当
时，证明：曲线
恒在曲线
的上方；
(3)当
恰有四个零点
时，证明：
．
15．（2026·高三·安徽合肥·阶段检测）已知函数
和
有相同的最大值．
(1)求
的值；
(2)已知直线
与两条曲线
和
共有四个不同的交点，从左到右四个交点的横坐标分别设
为
，证明：
．
16．已知函数
和
有相同的最小值．
(1)求
；
(2)若直线
与
和
的图象共有四个不同的交点，试探究：从左到右四个交点横坐标之间
的等量关系．
