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重难点培优07 导数中的零点问题（含隐零点）
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01 知识重构・重难梳理固根基..........................................................................................................1
02 题型精研・技巧通法提能力..........................................................................................................2
题型一 判断函数零点的个数（★★★★）................................................................................................2
题型二 讨论函数零点的个数（★★★★）................................................................................................3
题型三 证明函数零点的个数（★★★★★）............................................................................................4
题型四 根据零点个数求参数范围（★★★★★）....................................................................................5
题型五 利用隐零点解决最值（★★★★★）............................................................................................6
题型六 利用隐零点判断零点个数（★★★★★）....................................................................................7
题型七 利用隐零点证明不等式（★★★★★）........................................................................................9
03 实战检测・分层突破验成效........................................................................................................10
检测Ⅰ组 重难知识巩固..............................................................................................................................10
检测Ⅱ组 创新能力提升..............................................................................................................................13
1、函数的零点
（1）函数零点的定义：对于函数
，把使
的实数
叫做函数
的零点．
（2）三个等价关系
方程f ( x)=0 有实数根⇔函数y=f ( x)的图象与x 轴有交点的横坐标⇔函数y=f ( x)有零点．
2、函数零点的判定
如果函数
在区间
上的图象是连续不断的一条曲线，并且有
，那么函数
在区间
内有零点，即存在
，使得
，这个
也就是
的根．我们
把这一结论称为函数零点存在性定理．
注：函数单调+存在零点=唯一零点
3、函数零点问题的常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，求参
数的值或取值范围.
求解步骤：
第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与
轴(或直线
)在某区间上的交点
问题；
第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像；
第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数.
4、针对导函数的“隐零点”，求解取值范围时，需要根据导函数零点代入方程，把参数表示成含隐零点
的函数，再来求原函数的极值或者最值问题或证明不等式.构建关于隐零点作为自变量的新函数，求函数值
域或者证明不等式恒成立问题.在使用零点存在定理确定区间时往往存在困难，必要时使用放缩法取含参的
特殊值来确定零点存在区间.
题型一 判断函数零点的个数
【技巧通法·提分快招】
函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合
函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同
的值，就有几个不同的零点．
1．（2025·陕西安康·模拟预测）已知函数
，则函数
在区间
上的零点
个数为（ ）
A．1
B．3
C．5
D．7
2．（24-25 高三上·四川·期中）已知实数
满足
，则函数
的零点个数为
（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
3．（24-25 高三下·河南·月考）函数
的零点的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
4．（2025·广西河池·二模）关于函数
，下列选项正确的
是（ ）
A．函数
没有零点
B．函数
只有1 个零点
C．函数
至少有1 个零点
D．函数
有2 个零点
5．函数
与函数
的图象交点个数为（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
6．（23-24 高三上·山东·月考）已知函数
，则函数
的零点个数为
（ ）
A．0 或3
B．0 或1
C．1 或2
D．2 或3﹒
7．（多选题）函数
的零点个数可能是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
8．（多选题）（24-25 高三下·山东青岛·开学考试）对于函数
，下列说法中正确的是
（ ）
A．有三个零点
B．零点均分布在
内
C．零点为
，
，
D．零点为
，
，
题型二 讨论函数零点的个数
1．已知函数
．
(1)讨论函数
的单调性；
(2)讨论方程
的根的个数．
2．（23-24 高三下·山东菏泽·月考）已知函数
，（
）．
(1)讨论
的单调性；
(2)讨论
的零点个数．
3．（2025·湖北恩施·模拟预测）已知函数
，直线
.
(1)若点
是函数
图象上的一点，求点
到直线距离的最小值；
(2)若
，讨论函数
的零点的个数.
4．已知函数
.
(1)当
时，求证
；
(2)讨论
的单调性；
(3)讨论
零点个数.
5．已知
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程．
(2)若
恰有1 个极大值点和1 个极小值点．
①求极大值与极小值的和；
②判断
零点的个数．
6．（2025·湖南郴州·三模）已知函数
.
(1)当
时，求
的单调区间；
(2)当
时，求
在
上的最小值；
(3)当
时，讨论
的零点个数.
题型三 证明函数零点的个数
【技巧通法·提分快招】
利用函数的零点求参数范围的方法
(1)分离参数(
)后，将原问题转化为
的值域(最值)问题或转化为直线
与
的
图象的交点个数问题(优选分离、次选分类)求解；
(2)利用函数零点存在定理构建不等式求解；
(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解．
1．已知函数
．
(1)求
在
处的切线方程；
(2)证明：函数
只有一个零点；
2．（24-25 高三下·浙江杭州·月考）已知函数
，
(1)当
时，求
的对称中心；
(2)证明：
有唯一零点
3．（24-25 高三上·江苏徐州·月考）已知函数
.
(1)讨论函数
在区间
上的单调性；
(2)证明：函数
在
上有两个零点．
4．（2024·内蒙古赤峰·二模）已知
(1)将
，
，
，
按由小到大排列，并证明；
(2)令
求证:
在
内无零点.
5．（2024·广西钦州·三模）已知函数
.
(1)若
，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
，证明：
在
上有3 个零点.
题型四 零点个数求参数范围
【技巧通法·提分快招】
求函数的零点个数时，常用的方法有：
（1）直接根据零点存在定理判断；
（2）将
整理变形成
的形式，通过
两函数图象的交点确定函数的零点个
数；
（3）结合导数，求函数的单调性，从而判断函数零点个数.
1．（24-25 高三上·山东日照·月考）若过点
可以作曲线
的两条切线，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·广东·一模）函数
与函数
有两个不同的交点，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数
有且仅有3 个零点，则m 的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024·广东广州·模拟预测）已知函数
，若
存在唯一的零点
，且
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知函数
有两个零点，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（24-25 高三上·江苏苏州·期末）已知函数
有两个零点，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（24-25 高三上·江苏·月考）已知函数
有两个零点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2025·四川成都·二模）已知函数
且
与函数
且
有两个不同交点，则
的取值范围是 .（其中为自然对数的底数）
9．（2025·湖北·模拟预测）已知函数
有2 个零点
，
，且
，则实数
的取值范
围是 ．
题型五 利用隐零点解决最值
【技巧通法·提分快招】
1、隐零点问题
隐零点问题是函数零点中常见的问题之一，其源于含指对函数的方程无精确解，这样我们只能得到存在性
之后去估计大致的范围（数值计算不再考察之列）.
基本步骤：
第 1 步: 用零点存在性定理判定导函数零点的存在性, 列出零点方程
, 并结合
的单调性
得到零点的范围;
第 2 步: 以零点为分界点, 说明导函数
的正负, 进而得到
的最值表达式;
第 3 步: 将零点方程
适当变形, 整体代入
最值式子进行化简:
（1）要么消除
最值式中的指对项
（2）要么消除其中的参数项;
从而得到
最值式的估计.
1．（24-25 高三下·安徽·月考）已知函数
，若
与
的图象有两个交
点，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·江西鹰潭·模拟预测）已知
，若函数
有两个不同的零点，则a 的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 高三上·辽宁·期中）已知函数
，若
在区间
上恒
成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（25-26 高三上·上海·期末）若对任意
，不等式
恒成立，则
的取值范围为
.
5．（2025·江西九江·二模）已知函数
恰好有3 个零点，则实数
的取值范围是
.
6．（2024·四川自贡·一模）函数
的最小值为
.
(1)判断
与2 的大小，并说明理由：
(2)求函数
的最大值.
7．（23-24 高三上·黑龙江绥化·月考）已知函数
.
(1)若
，证明：
；
(2)若
对任意的
恒成立，求a 的取值范围.
题型六 利用隐零点判断零点个数
【技巧通法·提分快招】
1、函数零点的存在性定理
函数零点存在性定理：设函数
在闭区间
上连续，且
，那么在开区间
内至
少有函数
的一个零点，即至少有一点
，使得
.
2、隐零点的同构
实际上, 很多隐零点问题产生的原因就是含有指对项, 而这类问题由往往具有同构特征, 所以下面我们看到
的这两个问题, 它的隐零点代换则需要同构才能做出, 否则, 我们可能很难找到隐零点合适的代换化简方
向. 我们看下面两例: 一类同构式在隐零点问题中的应用的原理分析
所以在解决形如
, 这些常见的代换都是隐零点中常见的操作.
1．（2025·河北秦皇岛·三模）设函数
．
(1)求
的图象在
处的切线方程；
(2)记
，若
，试讨论
在
上的零点个数．
2．（2025·安徽·模拟预测）已知函数
，曲线
在
处的切线斜率为0．
(1)证明：函数
在
上单调递增；
(2)设
，若
，判断函数
的零点个数．
3．（2025·安徽合肥·二模）已知函数
，曲线
在点
处的切线方程为
．
(1)求
，
的值；
(2)讨论
的零点个数，并证明所有零点之和为0．
4．（2025·江西·模拟预测）已知函数
.
(1)若存在
，使得
的图象在
处的切线过原点，求
的取值范围；
(2)若
，判断
的零点个数.
5．已知函数
，
.函数
，求
的零点个数；
6．（2025·江西景德镇·模拟预测）(1)证明：
在
上恒成立.
(2)若
，证明：函数
在
上恰有1 个零点.
(3)试讨论函数
在
上的零点个数.
题型七 利用隐零点证明不等式
1．设
，
，证明：
；
2．（2025·四川雅安·二模）已知函数
.
(1)若
，
，求
的单调区间和极值；
(2)若
，证明：当
时，
.
3．（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知函数
.
(1)讨论函数
的单调性；
(2)求证：对
，使得
.
4．（2025·河北秦皇岛·三模）已知函数
是函数
的导函数，且
．
(1)求
；
(2)若
在区间
内单调递增，求实数
的取值范围；
(3)当
时，证明：
．
5．（2025·河北·模拟预测）已知函数
．
(1)若
在
上单调递减，求a 的取值范围；
(2)求
在
上的最大值；
(3)若存在
，使得
，证明：
．
6．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知函数
．
(1)当
时，求
在区间
上的零点个数；
(2)当
，
时，求证：
．
7．已知函数
．
(1)当
时，讨论函数
的单调区间；
(2)当
时，证明：
．
检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．已知函数
，若
存在唯一的零点
，且
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
或
D．
2．（2024·浙江杭州·模拟预测）若函数
有且仅有两个零点，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 高三上·浙江·期末）已知函数
，
，若函数
有
5 个零点，则a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．若
，函数
有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·云南曲靖·二模）已知函数
，若该函数有且只有一个零点，则
的值为（ ）
A．1
B．
C．
D．
6．（23-24 高三上·安徽合肥·月考）已知函数
，
，若不等式
对任
意
恒成立，则实数
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（23-24 高三上·广东广州·月考）（多选题）已知
，则函数
的零点的个数可能是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
8．（多选题）已知函数
，则下列说法正确的有（ ）
A．
有唯一零点
B．
C．
，使得
有三个不等实根
D．
，使得
有六个不等实根
9．（2024·江西新余·模拟预测）（多选题）关于
的方程
的实根个数可能为：（ ）.
A．
B．
C．
D．
10．若函数
有两个不同的零点，则实数
的取值范围是 .
11．（23-24 高三下·安徽黄山·月考）已知
，若函数
恰有
三个零点，则
的取值范围为 .
12．（23-24 高三上·黑龙江大庆·期末）设函数
，若不等式
有且只有
三个整数解，则实数
的取值范围是 .
13．（23-24 高三下·四川雅安·开学考试）已知函数
．
(1)若
，当
时，证明：
．
(2)若
，证明：
恰有一个零点．
14．（23-24 高三下·浙江·开学考试）设函数
.
(1)
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)证明：
至多只有一个零点.
15．（2024·江西新余·模拟预测）已知函数
.
(1)若
，求
在
处的切线方程.
(2)讨论
的单调性.
(3)求证：若
，
有且仅有一个零点.
16．（23-24 高三下·北京延庆·期末）已知函数
，其中
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
在
上存在极值，求实数
的取值范围；
(3)求
的零点个数．
17．（2025·江西九江·三模）已知函数
，其中
．
(1)讨论
的单调性；
(2)当
时，证明：
．
18．（2025·辽宁锦州·二模）已知
．
(1)若
在
上单调递增，求a 的取值范围；
(2)若
的图像在
处的切线为
，求a 与b 的值，并证明
时，
．
19．（2025·浙江嘉兴·二模）已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)当
时，存在
，使得
，求证：
；
(3)当
时，判断
的零点个数，并作出证明．
20．（2025·重庆·三模）已知函数
．
(1)讨论函数
的单调性；
(2)已知函数
．
①若
，求证： 当
时，
；
②若
，函数
在区间
上存在唯一零点，求
的取值范围．
21．（24-25 高三下·河南郑州·期中）已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)求函数
在区间
上的最小值；
(3)当
时，判断函数
的零点个数．
22．（24-25 高三下·福建漳州·月考）已知函数
.
(1)求函数
在区间
上的最大值；
(2)当
时，证明：
.
23．已知函数
的导数分别为
．
(1)若存在直线与
的图像分别在
处相切，求证：
．
(2)若
，求
的取值范围．
24．（2025·辽宁·模拟预测）已知函数
．
(1)当
时，求
的图象在
处的切线方程；
(2)若
在区间
内存在极值点
，求
的取值范围；
(3)证明：当
时，
在区间
内有且仅有3 个零点．
参考数据：
．
25．（24-25 高三下·甘肃白银·月考）已知函数
.
(1)证明：
，
；
(2)求函数
的零点个数.
检测Ⅱ组 创新能力提升
1．（2025·江西·二模）已知函数
.
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)证明：
时，
；
(3)判断函数
的零点个数.
2．（2025·陕西·二模）已知函数
.
(1)若
，求
的极值.
(2)若
且
，关于
的方程
在
上仅有一个实根
.
（i）证明：
；
（ii）求
的最大值.
3．（2025·湖北黄冈·二模）已知函数
．
(1)若
，求
在
的值域；
(2)证明：
存在唯一的极值点
，且
；
(3)若
恒成立，证明：
．
4．（24-25 高三下·天津南开·月考）已知函数
，
.设
为
的导函数.
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)证明：
有且仅有一个极值点；
(3)判断
的所有零点之和与
的大小关系，并说明理由.
