文档文本内容
培优点14 导数中的零点问题
目录
01 重点解读..........................................................................................................................................2
02 思维升华..........................................................................................................................................3
03 典型例题..........................................................................................................................................4
题型一：利用导数研究零点个数........................................................................................................4
题型二：利用函数零点个数求参数范围............................................................................................9
题型三：隐零点问题..........................................................................................................................14
题型四：零点赋值问题......................................................................................................................19
题型五：零点差问题..........................................................................................................................26
题型六：max 与min 的零点问题.......................................................................................................34
04 课时精练........................................................................................................................................41
导数在深入探究函数的单调特性、极值以及最值等关键性质时，发挥着不可或缺的作用。而要有效运
用导数解决这些问题，一个核心要素便是精准把握函数的零点。具体而言，导函数零点的出现，往往标志
着原函数单调性发生变化的临界点，或是原函数取得极值的点，甚至可能是最值的所在点。因此，牢牢抓
住函数的零点，就等于掌握了解决导数相关问题的关键钥匙。
零点问题，作为导数应用中的一个重要方面，主要涵盖以下四大类别：
1、函数零点个数的判定问题；
2、函数零点所在范围的确定问题；
3、隐零点（即不易直接求解的零点）的处理问题；
4、分段函数零点的分析与求解问题。
1、解决零点个数
常用的方法主要有以下三种：
问题
(1)
化
两个函数
象交点的个数
，利用数形
合思想求解
转
为
图
问题
结
.
(2)
化
函数
转
为
f(x)的
象与
图
x
交点个数的
轴
问题.
(3)将
行参
分离，
化
进
变
转
为
的形式；有
了避免出
时为
现“断点”，可以考虑“倒数分参”.
2、解决含参数的零点
常用的方法主要有以下三种：
问题
(1)分离参数法：分离之后函数无参数，
可得到函数的
象，然后上下移
参数的
，
察直
与函数
象
则
图
动
值观
线
图
交点个数即可.
(2)隔离构造函数法：将一个函数分成两个函数，一个
容易求
的不含参函数，另一个
象是一条直
的
为
导
为图
线
含参函数，
察它
象的
化
，找到
界的位置，易求得参数的取
范
观
们图
变
趋势
临
值
围.
(3)直接构造法：直接研究函数f(x)，
参数
行分
，判断函数
性，利用函数零点存在定理，判断零
对
进
类讨论
单调
点个数，从而求出参数的取
范
值
围.
题型一：利用导数研究零点个数
【典例1-1】（2025·湖南长沙·模拟预测）已知函数
，其中
.
(1)求
的极值；
(2)讨论
的零点的个数.
【解析】（1）因为
，其定义域为
，
且
.
因为
，由
，所以函数在
和
上单调递减，
在
上单调递增，所以
在
处取极小值，
且极小值为
，无极大值.
（2）因为
，所以当
时，有
，此时
无零点；
当
时，由（1）知，
在
处取极小值
.
①当
时，
在
处取极小值0，此时
恰有一个零点；
②当
时，
在
处取极小值
，此时
无零点；
③当
时，
在
处取极小值
.
下面先证明：当
时，
.
令
，则
，当
时，
单调递减，
时，
单调递增，所以
，即
，等号当且仅当
时成立.
所以
，又当
且
时，
.
所以
在
和
各有一个零点，此时，
共有2 个零点.
综上可知，当
时，
无零点；当
时，
有一个零点；
当
时，
共有2 个零点.
【典例1-2】（2025·山东淄博·三模）已知函数
.
(1)当
时，判断
有无极值点，并说明理由；
(2)当
时，判断函数
在
上的零点个数并给出证明.
【解析】（1）当
时，
无极值点，理由如下：
当
时，函数
，定义域为
，
所以
，
令
，则
，由
得
，
由
得
，由
得
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，故
，
所以
在
上单调递增，故函数
无极值点．
（2）当
时，函数
在
上的零点个数为2，证明如下：
由
得
，
设
，则
，令
，得
，
所以当
时，
，当
时，
，
即
在
上单调递减，在
上单调递增，
因为
，
，
，
，
所以
，
，
所以
，使得
，
，使得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，
且
，
，
设
，则
，
，
当
时，
，
为减函数，
当
时，
，
为增函数，
所以
，故
，即
，
因为
，所以
，故
，即
.
设
，则
，
，
当
时，
，
为增函数，
当
时，
，
为减函数，
所以
，即
，
因为
，所以
.
由
得
，且
.
因为
，
，
，
所以函数
在
和
上各有一个零点，共2 个零点．
【变式1-1】（2025·湖南·模拟预测）已知
为奇函数.
(1)求a 的值；
(2)解不等式：
；
(3)证明：函数
有3 个零点.
【解析】（1）由
可得定义域为
，
因为
是奇函数，所以
，
即有
；
（2）由（1）得：
，有
，
再由复合函数单调可知：
在
上单调递增函数，
所以原不等式变形为
，
根据单调性可得：
；
即原不等式的解集为：
（3）因为
是奇函数，所以
也是奇函数，由
，
要证函数
有3 个零点，只需要证明
在
上仅有一个零点，
则由
得：
，
构造
，求导得
，
当
时，
，所以
在
上单调递减，
当
时，
，所以
在
上单调递增，
则在
上，
，
设
,
当
单调递增，当
单调递减，所以
，故
由于
恒成立，则
，
所以有
，
由于
根据
在
上单调递减，且
，所以在
上
不存在零点，
又根据
在
上单调递增，且
，所以在区间
必存在唯一零点，
故可证明
在
上仅有一个零点，
即函数
有3 个零点得证.
【变式1-2】（2025·湖北恩施·模拟预测）已知函数
，直线
.
(1)若点
是函数
图象上的一点，求点
到直线距离的最小值；
(2)若
，讨论函数
的零点的个数.
【解析】（1）点
到直线
的距离为
，
令
，令
，
令
得
，
当
时
为极大值，
当
时
，
，
当
时，
，
，所以
，
所以对应最小距离为
；
（2）若
，
定义域为
，令
可得
，
则函数
的零点的个数与
的零点个数相同，
， 再令
，
则
，所以
在
单调递减，
又因为
，
在
单调递增，在
上单调递减，
则
，
，
当
，所以当
时
恒成立，
无零点，
当
时
，
有1 个零点，
当
时
，
在
和
分别有1 个零点，
即
有2 个零点，当
时
，
在
有1 个零点，在
上，
恒成立，即
只有1 个零点；
综上所述，当
时，
无零点，当
或
时，
有1 个零点，当
时，
有2
个零点.
题型二：利用函数零点个数求参数范围
【典例2-1】已知函数
.
(1)
时，求
在点
处的切线方程；
(2)
有3 个零点，求a 的取值范围.
【解析】（1）当
时，
，
，
则
，则
，且
，
则切点
，且切线的斜率为，
故函数
在点
处的切线方程为
；
（2）令
，
，
得
，
设
，
则
，
由
解得
或
，其中
，
；
当
时，
，
在
上单调递减；
当
时，
，
在
上单调递增；
当
时，
，
在
上单调递减；
且当
时，
； 当
时，
；
如图作出函数
的图象，
要使函数
有3 个零点，
则方程
在
内有个根，即直线
与函数
的图象有个交点.
结合图象可知，
.
故
的取值范围为
.
【典例2-2】（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知函数
．
(1)若
，证明：函数
在
上单调递增；
(2)若函数
有三个零点，求
的取值范围．
【解析】（1）当
时，
，则
，
要证函数
在
上单调递增，只要证明
在
上恒成立，
令
，
因为
，令
，
解得
，
由
，得
，此时函数
单调递增，
由
，得
，此时函数
单调递减，
所以当
时，
取得最小值
，
因为
，所以
恒成立，
即
在
上单调递增；
（2）方法一：令
，等价于
，
设
，
当
时，
没有零点；
当
时，
，
当
时，
，函数
单调递增，
因为
，
所以函数
在
上有一个零点；
当
时，
，函数
单调递增，
当
时，
，函数
单调递减，
所以当
时，
的最小值为
，
若
．即
在
上没有零点；
若
，即
在
上有一个零点；
若
，即
，
因为
，当
时，
，
所以
在
上有两个零点；
综上，当
时，
有3 个零点.
方法二：当
时，
恒成立，
没有零点，故
，
当
时，
单调递增，
单调递减，
故
在
上单调递增，
且当
时，
，
故
在
上有唯一零点，
所以
在
上有三个零点等价于
在
上有两个零点，
当
时，由
，
即
，得
，
令
，则
，
当
时，
单调递减；
当
时，
单调递增，
故当
时，
，
且当
时，
，当
时，
，
故要使
在
上有两个零点，
则只要
即可，解得
；
综上，当
时，
有3 个零点.
【变式2-1】（2025·山东泰安·模拟预测）已知函数
.
(1)讨论函数
的单调性；
(2)设函数
.
（i）当
时，求
的最大值；
（ii）若函数
的图象与
轴恰有一个交点，求实数
的取值范围.
【解析】（1）由
得
，
当
时，
，
在
和
单调递增；
当
时，令
，则
，解得
或
；
令
，则
，解得
或
；
综上，当
时，
的单调递增区间为
和
；
当
时，
的单调递增区间为
和
，
递减区间为
和
.
（2）
则
.
（i）当
时，
，
当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减；
所以
；
（ii）若函数
的图象与
轴恰有一个交点，则函数
恰有一个零点，
，
当
时，由（i）知，
，故
没有零点；
当
时，令
，
，
单调递减；
令
，
，
单调递增；
此时，
，故
没有零点；
当
即
时，在
上，
，
单调递增；
在
上，
，
单调递减；
又
，
当
趋近正无穷大时，
趋近于正无穷大，
所以
仅在
有唯一零点，符合题意；
当
时，
，所以
在
上单调递增，又
，
所以
有唯一零点，符合题意；
当
即
时，在
上，
，
单调递增；
在
上，
，
单调递减；
此时
，
又
，当
趋近正无穷大时，
趋近负无穷，
所以
在
有一个零点，在
无零点，
所以
有唯一零点，符合题意；
综上，
的取值范围为
.
【变式2-2】（2025·山东泰安·模拟预测）已知函数
在
处有极小值.
(1)求实数的值；
(2)若函数
有三个不同的零点，求实数
的取值范围.
【解析】（1）因为
，
由已知
，即
，
或
，
当
时，
，
所以当
时
，当
时
，当
时
，
∴
在
上单调递增，
上单调递减，
上单调递增，
时有极小值，符合题意.
当
时，
，
所以当
时
，当
时
，当
时
，
∴
在
上单调递增，
上单调递减，
上单调递增，
时有极大值，不符合题意，故舍去.
；
（2）由已知
有三个不同零点，
即
的图像与直线
有三个不同的交点，
由（1）知
在
上单调递增，
上单调递减，
上单调递增，
故当
时，有极大值，即
，
当
时，有极小值，即
，
所以
，
.
题型三：隐零点问题
【典例3-1】（2025·新疆喀什·模拟预测）已知函数
．
(1)当
时，求
在点
处的切线方程；
(2)若
在区间
上有零点，求实数
的取值范围．
【解析】（1）因为
，所以
，
即
，
所以切线的斜率为
．又
，
所以切线方程为
，即
．
（2）
，则
，
①当
时，
，
所以
在区间
上恒成立，
在区间
上单调递增．
所以
在区间
上恒成立，即
在区间
上无零点．
②当
时，令
，
则
在区间
上恒成立，
所以
在区间
上单调递增，即
．
（ⅰ）
时，
，
在区间
上单调递增，
即
在区间
上恒成立，所以
在区间
上无零点．
（ⅱ）当
时，
，又
，
所以存在
，使得
，
所以当
时，
单调递减，
当
时，
单调递增，
即当
时，
取得最小值，因为
，所以
．
因为
，所以当
时，
，
此时，
在区间
上恒成立，
在区间
上无零点．
当
时，
，故存在
，使得
，
所以实数
的取值范围是
．
【典例3-2】已知函数
，
(1)当
时，求
的极值；
(2)若
在区间
上存在零点
求a 的取值范围；
【解析】（1）当
时，
，
，
，
当
时，
，当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，
因此可得
有极小值
，无极大值；
（2）
，
当
时，由于
恒成立，所以
在
上单调递增，
又
，
在
上无零点；
当
时，由于
，故
，
所以
在
上单调递减，又
，
在
上无零点；
当
时，
，有
，故
在
上单调递减，
，有
，故
在
上单调递增，
所以有
，
又因为当
时，
，
；
综上
；
【变式3-1】（2025·江西景德镇·模拟预测）(1)证明：
在
上恒成立.
(2)若
，证明：函数
在
上恰有1 个零点.
(3)试讨论函数
在
上的零点个数.
【解析】（1）证明：令函数
，
，则
，
所以
在
上单调递增，
则
，即
在
上恒成立.
（2）证明：因为
，所以
在
上单调递增.
由（1）得
在
上恒成立，故
在
上恒成立，
所以
，
因为
，故取
，取
，
则
，
而
，所以
在
上有1 个零点，
即
在
上恰有1 个零点.
（3）令
，即
，等价于
.
记
，
.
在
上的零点个数即
在
上的零点个数.
是
的1 个零点.
因为
，
所以
是奇函数，则
在
和
上的零点个数相同.
，因为
在
上为减函数，
故
在
上单调递增.
当
时，
，故
在
上单调递增.
因为
，所以
在
上恒成立，即
在
上没有零点，
所以
在
上只有1 个零点.
当
时，由（2）可得
在
上恰有1 个零点，记该零点为
.
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增.
而
，故
，取
，则
，
，
结合
在
上的单调性可得
在
上有1 个零点，
即
在
上有1 个零点，所以
在
上有3 个零点.
综上，当
时，
在
上只有1 个零点；
当
时，
在
上有3 个零点.
【变式3-2】（2025·重庆·三模）已知函数
，函数
在点
处的切线
方程为
.
(1)求
的值；
(2)讨论
的零点个数.
【解析】（1）
求导得到
，
根据函数在点
处的切线方程为
，得到
.
把
代入
得
，
因为
，所以
，即
.
又
，解得
.
（2）由第（1）问知
，
.
令
，求导得
.
当
，
，
在
递减；
当
，
，
在
递增.
，
，所以存在唯一
使
，即
.
当
，
，
在
递减；
当
，
，
在
递增，所以
.
，又
，
，
根据零点存在定理，
在
和
各有一个零点，共2 个零点.
【变式3-3】（2025·上海·三模）已知函数
.
(1)求函数
的极值；
(2)当
时，证明：
恒成立.
(3)函数
图像上存在多少组关于点
对称的点对？说明你的结论和理由.
【解析】（1）由题设
，可得
，
时，
，
在
上单调递增；
时，
，
在
上单调递减，
故函数
有唯一的极值点，当
时取得极大值
.
（2）当
时，
，
令
，
，则
，
令
，则
，
当
时，
，于是
在
上严格递增，
所以
，于是
在
上严格递增，
故
，即
，
所以
，原不等式成立.
（3）存在唯一的点对关于
对称，证明如下：
假设存在，设
，
，
，
于是，
，即
，
设
，则
，
显然
，即存在
，其中
，
令
，则
，即
在
上单调递减，
于是
时，
，
在
上单调递增；
时，
，
在
上单调递减.
且
，
，
，
于是，存在唯一的
使得
，即存在唯一的点对
、
满足题意.
题型四：零点赋值问题
【典例4-1】已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
，求
的值；
(3)当
时，证明：
有2 个零点．
【解析】（1）当
时，
，则
，
所以
，
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
，
即
．
（2）函数
的定义域为
，且
，
① 当
时，易得
，
在
上单调递减，
又
，所以当
时，
，不符合题意；
② 当
时，由
，得
时，即
在
上单调递增；
由
，得
时，即
在
上单调递减，
所以
，
因为
，则其等价于
，即
．
令
，则
，
所以当
时，
，当
时，
，
则
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，因
恒成立，故
．
（3）
．
令
，得
，
令
，则
与
有相同的零点，
且
．
令
，则
，
因为当
时，
，所以
在区间
上单调递增，
又
，
，所以
，使得
，
所以当
时，
，即
；
当
时，
，即
，
所以
在
单调递减，在
单调递增，
所以
的最小值为
．
由
，得
，即
，
令
，
，则
，则
在
单调递增．
因为
，所以
，则
，
所以
，从而
，
，
所以
的最小值
．
因为
，所以当
趋近于0 时，
趋近于
；
当
趋近于
时，
趋近于
，且
，
所以
有2 个零点，故
有2 个零点．
【典例4-2】（2025·北京·模拟预测）已知函数
，曲线
在
处的切线方
程为
.
(1)求a，b 的值；
(2)①求证：
只有一个零点；
②记
的零点为
，曲线
在
处的切线l 与x 轴的交点横坐标为
，若
，求u 的
取值范围.
【解析】（1）由题意知，
，
所以曲线
在
处的切线的斜率为
，
又曲线
在
处的切线方程为
，
所以
，解得
；
（2）①：由（1）知，
，
令
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，
且当
时，
，当
时，
，
所以函数
在
上存在唯一
，使得
，
即函数
在
上存在唯一零点.
②：由①知，切线的斜率为
，又
，
所以
，
令
，得
，
设
，则
，
令
或
，
或
，
所以函数
在
和
上单调递减，在
和
上单调递增，
当
时，
，即
，由①知
，故不符合题意；
当
时，由
，得
，
即
，符合题意，
故实数
的取值范围为
.
【变式4-1】（2025·广东汕头·三模）已知函数
.
(1)当
时，讨论
的单调性；
(2)若
有两个零点，
为
的导函数.
（i）求实数
的取值范围；
（ii）记
较小的一个零点为
，证明：
.
【解析】（1）当
时，
，函数
的定义域为
，
，
当
时，
，函数
单调递减；
当
时，
，函数
单调递增.
综上所述，函数
在
上单调递减，在
单调递增.
（2）（i）函数
的定义域为
，
，
①当
时，
，函数
在
单调递减，
至多有一个零点，不符合题意；
②当
时，令
，解得
，
当
时，
，函数
单调递减；
当
时，
，函数
单调递增.
∴当
时，
取得最小值，最小值为
.
因为函数
有两个零点，且
时，
，
时，
，所以
.
设
，易知函数
在
单调递增.
因为
，所以
的解集为
.
综上所述，实数
的取值范围是
.
（ii）因为
，由
，结合（i）知
，
要证
，即证
，即
，
当
时，因为
，
，不等式恒成立；
当
时，由
得
.
即证
.
即证
.
即证
.
设
，
，由
，
所以
在
单调递增.
所以
，故原不等式成立.
所以
.
【变式4-2】（2025·吉林长春·模拟预测）已知函数
，
，设
，
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)证明：当曲线
经过点
时，
有且仅有一个零点；
(3)证明：对小于
的实数
，若关于
方程
恰有三个不同的实根，则
.
【解析】（1）
时
，则
，故
，
，
点
处的切线方程为
；
（2）因曲线
经过点
，则
，
令
，
.
令
；
，
则
在
上单调递减，在
上单调递增，则
，
由
，可得
，此时
，
，
令
，
，则
在
上单调递增，
注意到
，结合
在
上递增，
所以
；
，故
在
单调递减，在
上单调递增，则
，
即曲线
经过点
时，
有且仅有一个零点1；
（3）
，其中
，
，
，
令
且
，
，则
，则
在
上单调递增.
注意到
，
，则
，使
，
结合
在
上递增，则
，
.
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，则
的极小值为
.
注意到
，则
，
令
且
，则
，
所以
在
上单调递减，故
.
注意到
，
，则
，使
；
令
且
，
在
上单调递增，则
，
即
，
，
，
；
令
且
，
.
所以
；
，
则
在
上单调递增，在
上单调递减，则
，
所以
，
，
综上，
，
又
，
.
则
，使
，则
、
大致图象如下，
方程
恰有三个不同的实数根，则直线
与
图象有3 个交点，
由图，得
时满足题意.
对小于
的实数
，存在实数
使关于
方程
恰有三个不同的实数根，
注意到
，则
时满足题意，
令
且
，则
，
则
在
上递增，则
，得证.
题型五：零点差问题
【典例5-1】（2025·北京海淀·三模）已知函数
，曲线
在点
处的切
线斜率为
．
(1)求
的值．
(2)求
在
上的零点个数．
(3)证明：
在
上存在两个零点
，且
．
【解析】（1）
，定义域为
．
．由题可得，
，解得
．
（2）由（1）可得，
．
当
时，
，
，故
，在
时无零点；
当
时，
，
，故
，在
时无零点．
当
时，
，所以
在
上单调递增．
而
，
．
故由零点存在性定理知，
在
上存在唯一零点．
当
时，
，
，故
，在
时无零点；
综上：
在
上的零点个数为1．
（3）
．令
，
．
令
，则
．
当
时，
，
，
，所以
．所以
在
上单调递增．
，
，所以由零点存在性定理，存在唯一
，使得
．
当
变化时，
，
的变化如下表：
0
极小值
又
，
，
．
所以由零点存在性定理，
分别在
，
上各恰有一个零点，即
在
上存在两个零
点
．
不妨设
．则当
时，
；当
时，
．
而
，
．
所以
．故
．
【典例5-2】（2025·高三·安徽蚌埠·期末）已知函数
．
(1)求函数
在
处的切线方程；
(2)求函数
的极值；
(3)若关于
的方程
有两个根
和
，求证：
．
【解析】（1）因为
，所以
，则
，
又
，
故
在
处的切线方程为
，即
．
（2）函数
的定义域为
，又
，
令
，解得
；令
，解得
，
故
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
的极大值为
，无极小值．
（3）由（2）不妨令
，
，
，
构造
，
，
则
，令
，解得
；令
，解得
，
在
上单调递增，在
上单调递减，
，
由
，则
，
所以
，当且仅当
时等号成立，
构造
，
，
，令
，得
；令
，得
，
在
上单调递增，在
上单调递减，
，
由
，则
，
所以
，当且仅当
时等号成立，
所以
，又等号不同时成立，
所以
．
【变式5-1】（2025·重庆·模拟预测）牛顿在《流数法》一书中，给出了代数方程的一种数值解法——牛顿
法．具体做法如下：如图，设r 是
的根，首先选取
作为r 的初始近似值，若
在点
处的切线与
轴相交于点
，称
是r 的一次近似值；用
替代
重复上面的过程，得到
，称
是
r 的二次近似值；一直重复，可得到一列数：
．在一定精确度下，用四舍五入法取值，当
近似值相等时，该值即作为函数
的一个零点．
(1)若
，当
时，求方程
的二次近似值（保留到小数点后两位）；
(2)牛顿法中蕴含了“以直代曲”的数学思想，直线常常取为曲线的切线或割线，求函数
在点
处的切线，并证明：
；
(3)若
，若关于
的方程
的两个根分别为
，证明：
．
【解析】（1）
，
当
时，
，
在点
处的切线方程为
，与
轴的交点横坐标为
，
所以
，
，
在点
处的切线方程为
，与
轴的交点为
，
所以方程
的二次近似值为
．
（2）由题可知，
，
，
，
所以
在
处的切线为
，即
；
设
，
则
，显然
单调递减，令
，解得
，
所以当
时，
，则
在
单调递增，
当
时，
，则
在
单调递减，
所以
，
所以
，即
．
（3）由
，得
，
当
时，
；当
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
是
的极大值点，也是
的最大值点，即
，
又
时，
，
时，
，
所以当方程
有两个根时，必满足
；
曲线
过点
和点
的割线方程为
，
下面证明
，
设
，
则
，
所以当
时，
；当
时，
，
所以
在
上单调递增，
；
在
上
单调递减，
，
所以当
时，
，即
（当且仅当
或
时取等号），
由于
，所以
，解得
；①
下面证明当
时，
，
设
，因为
，
所以当
时，
（当且仅当
时取等号），
由于
所以
，解得
，②
①
②，得
．
【变式5-2】（2025·河南南阳·一模）已知函数
.
(1)若函数
在
上单调递增，求
的取值范围.
(2)若函数
的两个零点分别是
，且
，证明：
①
随着
的增大而减小；
②
.
【解析】（1）若函数
在
上单调递增，易知
，
令
，
，令
，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
故原命题等价于求
，且
，故
，解得
，
即
的取值范围为
.
（2）①引理：对
，必有
成立，令
，
故
，令
，
，令
，
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
则
，即
恒成立，故
成立，
设
，则
，即
，
可得
的最小值为
而
，当
时，
，
且由引理知
，故
，
由零点存在性定理得
有两个零点
，
结合
可得
，
故当
时，两个根一定会存在，设
是关于
的函数，记为
，
我们同样可以定义为：对
，存在唯一的
，使得
，
且这个
就是关于
的方程
中的较大根，此时已有
，
此时发现
是
上的函数，则证明
在
上单调递减即可，
由于
，
首先，我们有
，
，所以
，
，
其次，我们实际上有
，（因为要么
，要么
），
所以
，若
，则
，
，
然后考虑
，显然我们有
，
若
，则
，所以另一根一定小于
，从而
，
若
，由于
是关于
的较大根，故
，
即
，解得
，但是对任意的
时，
关于的方程
的较小根都不超过，
要么
，解得
，要么
，
所以
是较大根，从而
，这表明
与
关于
对称，
所以我们只需要证明
在
上单调递减，
这里
是
的较大根，且
，
由于
，故对
，设
，
则
，
，
从而由
是较大根，知
，
，
也意味着
位于单调递增区间，
设
，由于当
时，
，
所以
，
而
，方程的较小根一定不超过，
这表明
的较大根
一定成立，所以
，
这就证明了
在
上单调递减，从而一定在
上单调递减，
故
随着
的增大而减小得证.
②由①知
有两个零点
，且
，
由于
，
由引理又有
，
而根据单调性得，当
或
时，必有
，
所以
，
可得
即
，原不等式得证.
【变式5-3】已知函数
有两个零点
．
(1)求实数a 的取值范围；
(2)求证：
；
(3)求证：
．
【解析】（1）
，
又因为函数
单调递增，且
，
所以
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
当
，即
时，
，
，
所以
在
和
上各有一个零点，
当
时，
的最小值为
，且
，
所以
在
内至多只有一个零点，
综上，实数
的取值范围是
；
（2）设
，
，
，
，
当
时，
，
，
所以
，
所以
在
上单调递增，
当
时，
，
即当
时，
，
又因为函数
有两个零点
，
由（1）知，
，
，
所以
，
（3）设
，
，
，当
时，
因为
，
令
，
，
设
，
，
令
，解得：
，令
，解得：
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
,
所以
恒成立，显然
，
令
，解得：
，令
，解得：
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，
即
，
设
的零点为
，
，
易知
，
所以
，
设
，
设
，
，
令
，解得：
，令
，解得：
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，
所以
恒成立，即
，
设
的零点为
，
，
易知，
，
所以
，
所以
，
所以
题型六：max 与min 的零点问题
【典例6-1】（2025·高三·安徽阜阳·开学考试）已知函数
，
.
(1)若曲线
与曲线
在
处的切线平行，求实数
的值；
(2)定义
，记函数
，若函数
有三个零点，求实数
的
取值范围.
【解析】（1）因为
，所以
.
因为
，所以
，
解得
.
（2）令
，解得
，易知
在R 上单调递增.
当
时，
，由
，得
，
此时函数
有三个零点，符合题意.
当
时，
.由
，得
或
，
则
在
，
上单调递增，在
上单调递减，
因为
，若函数
有三个零点，则
，
解得
.
当
时，
.由
，得
或
，
(ⅰ)当
，即
时，则
在
，
上单调递减，在
上单调递增，
因为
，
，此时函数
没有零点，不符合题意；
(ⅱ)当
，即
时，因为
在
上单调递减，且
，此时函数
无零点，
不符合题意；
(ⅲ)当
，即
时，
在
，
上单调递减，在
上单调递增.
①若
，则函数
至多有两个零点，不符合题意；
②若
，则
，
此时
，
此时函数
有三个零点，符合题意；
③若
，得
，
，
记
，因为
，
，单调递增；
所以
，此时函数
有四个零点，不符合题意.
综上所述，满足条件的实数a 的取值范围是
.
【典例6-2】（2025·河南·三模）已知函数
，
，其中
．
(1)求函数
的零点；
(2)
．
（ⅰ）用
表示m，n 的最大值，证明：
；
（ⅱ）是否存在实数a，使得
，
恒成立？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理
由．
【解析】（1）函数
的定义域为R，
则
，
当
时，
，则
，
当
时，
，则
，
所以函数
在
上为减函数．
又因为
，故函数
有且只有一个零点0.
（2）（ⅰ）函数
的定义域为
，
当
时，
，
当
时，
，
所以
.
（ⅱ）由（1）知，当
时，
，
又
，
所以当
时，
恒成立，
因为当
时，
恒成立，
所以
等价于当
时，
恒成立，
又
，
若
，当
时，由
，
所以
在
上递增，所以此时
恒成立.
若
，当
时，由
，解得为
，
在
上递减，此时
，不符合题意．
综上可知，存在实数a 满足题意，a 的取值范围是
.
【变式6-1】已知函数
.
(1)若
是
的极大值点，求
的值；
(2)用
表示
中的最大值，设函数
，试讨论
零点的个数.
注：若
，当
时，
，当
时，
.
【解析】（1）由函数
，可得
，
因为
是
的极大值点，则
，解得
，
当
时，可得
，
当
时，
，令
，则
，
所以
在
上单调递减，则
，即
，
此时
在
上单调递增；
当
时，令
，可得
，则
，
故
即
单调递减，
又因为
，所以当
时，
单调递减，
所以，当
时，
是
的极大值点，符合题意.
（2）（I）由函数
，
当
时，
，
，此时
无零点；
（II）当
时，可得
，
①若
，即
时，
，
此时
不是
的零点；
②若
，即
时，
，
此时
是
的零点；
（III）当
时，
，
零点个数等于
零点个数，
显然
是
的一个零点；
当
时，
可转化为
，
令
，则
，
由（1）知，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递减，在
上单调递增，
且当
时，
，当
时，
，
可得
，函数
的图象所示：
①当
或
或
时，
有1 个零点；
②当
或
时，
有2 个零点；
③当
时，
无零点.
综合（I）（II）（III）得：
当
或
时，
有2 个零点；
当
或
或
时，
有3 个零点；
当
或
时，
有4 个零点.
【变式6-2】（2025·浙江·二模）定义
，已知函数
，其中
.
(1)当
时，求过原点的切线方程；
(2)若函数
只有一个零点，求实数
的取值范围.
【解析】（1）由题意知
定义域
，当
时，
，
令
，
，
在
单调递增，
单调递减，且
，
令
，则在
单调递增，而
，
又
，
，而
，
所以当
时，
，当
时，
，
所以当
时，
，当
时，
，
所以
，
所以
在
和
单调递增，在
单调递减.
（ⅰ）当
时，
，设切点
，
则此切线方程为
，
又此切线过原点，
所以
，解得
，
即此时切线方程是
；
（ⅱ）当
时，
，所以
，
设切点为
，此时切线方程
，
又此切线过原点，所以
，解得
，
所以此时切线方程
，
综上所述，所求切线方程是：
或
；
（2）（ⅰ）当
时，
由（1）知，
在
和
单调递增，
单调递减，
且
，
，
，
此时
有两个零点；
（ⅱ）当
时，
当
时，
，
由（1）知：
在
递增，
递减，且
，
所以
时，
，而
，
所以
在
只有一个零点，
没有零点；
（ⅲ）当
时，
，此时
得
，
由（1）知，当
时，
只有一个零点
，
要保证
只有一个零点，只需要当
时，
没有零点，
，得
；
（ⅳ）当
时，当
时，
，
此时
只有一个零点
，
综上，
只有一个零点时，
或
.
1．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)讨论
的单调性；
(3)证明：当
时，函数
只有一个零点.
【解析】（1）当
时，
，则
，
所以
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
，即
.
（2）
.
若
，即
时，
，则
在
上单调递减；
若
，即
时，令
，得
；令
，得
，
所以函数
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减.
综上所述：
时，函数
在
上单调递减；
时，函数
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减.
（3）证明：由题知函数
，
则
.
若
，则
，所以
在
上单调递增，
此时
，所以
只有一个零点为0；
若
，令
，得
或
；令
，得
，
所以函数
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减，
此时函数
的极大值为
，极小值为
.
不妨令
，则
，
显然
时，
，此时
单调递增，
时，
，此时
单调递减，
易知
，
所以
，
又
，
所以
只有一个零点，且零点在区间
内；
若
，令
，得
或
，令
，得
，
所以
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减，
此时极大值为
，极小值为
.
不妨令
，则
，
此时
单调递减，又
，
，
所以函数
只有一个零点，且零点在区间
内.
综上所述，当
时，函数
只有一个零点.
2．已知函数
.若
在
上恰有两个零点，求实数a 的取值范围.
【解析】由题意，函数
在
上恰有两个零点，
可得
，
令
，则
，
当
时，由
，即
，得
或
.
当
时，
，
递增；
当
时，
，
递减；
当
时，
，
递增；
，
，
，
，
因为
在
上恰有两个零点，
所以直线
与曲线
（
）恰有两个交点，
所以实数a 的取值范围为
.
3．（2025·安徽蚌埠·三模）已知函数
．
(1)若
，讨论函数
在
的单调性；
(2)若
在
上有唯一的零点，求实数a 的最小值．
【解析】（1）由条件，
则
，
由
，所以
，
令
，则
，得
或
，
令
，则
，得
，
所以
在
和
上单调递增，在
上单调递减．
（2）由
，则
，
令
，则
，
所以当
时，
单调递增，
又
，所以
，
，
所以
在
上单调递增，
，
由题意，
，解得
，
所以a 的最小值为1．
4．（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知函数
.
(1)
时，求
在
处的切线．
(2)求函数
的极值；
(3)若函数
在区间
上恰有两个零点，求
的取值范围．
【解析】（1）由题设
，则
，
所以
，
，则
，可得
；
（2）
的定义域为
，则
，
当
时，
恒成立，
此时
在
上单调递增，无极大值和极小值，
当
时，
，
由
得：
，由
得：
，
此时
在
单调递增，在
单调递减，
所以
的极大值为
，无极小值．
（3）由（2）可知，当
时，
在
单调递增，
所以
在
单调递增，不可能有两个零点，
当
时，
的极大值为
，
因为
，所以
是
的一个零点，
若函数
在区间
上恰有两个零点，则
，
即
，可得：
，
所以
的取值范围为
．
5．已知函数
．
(1)若
，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
有两个零点，求a 的取值范围．
【解析】（1）若
，
，
，
则
；
，
故所求的切线方程为
，即
．
（2）由题意函数的定义域为
，
，
①当
时，
恒成立，
在
上单调递增，
函数在定义域内最多一个零点，不符合题意；
②当
时，令
，则
；
令
，则
；令
，则
，
函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
，
若
，则
，此时
最多一个零点，不符合题意；
若
，则
，
又
时，
；
时，
，
由零点存在性定理和函数
的单调性可知，
在
上存在唯一的零点，
在
上也存在唯一的零点，符合题意，
综上
．
6．已知函数
．
(1)若
，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)设
，当
时，求函数
的最大值；
(3)讨论函数
与函数
的图象的交点个数．
【解析】（1）若
，则
，
所以
，则
，
又
，
所以曲线
在点
处的切线方程是
，
即
．
（2）
，
函数
的定义域为
．
当
时，
，
令
，得
，
令
，得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
的最大值为
．
（3）联立得
得
，
得
，
结合（2）可知
．
则“函数
与函数
的图象的交点个数”等价于“函数
的零点个数”．
当
时，
无零点．
当
时，
的最大值为
．
若
，即
，则
无零点．
若
，即
，则
只有一个零点．
若
，即
，则
，又
，
令
，则
且
，
由
，得
；由
，得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
故
有最大值
，无最小值．
故
，所以
，由（2）知
在
上单调递
增，所以
在
上有唯一零点．
令
，
则
，且
，
由
，得
；由
，得
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
故
有最小值
，无最大值．
所以
，
于是
和
，
所以
，
又
在
上单调递减，
故
在
上有唯一零点．
当
时，由上得
，于是
，而
，
所以
，即
无零点．
综上，当
或
时，
无零点；当
时，
只有一个零点；当
时，
有两个零
点，
即当
或
时，函数
与函数
的图象无交点；
当
时，函数
与函数
的图象有1 个交点；
当
时，函数
与函数
的图象有2 个交点．
7．（2025·浙江嘉兴·二模）已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)当
时，存在
，使得
，求证：
；
(3)当
时，判断
的零点个数，并作出证明．
【解析】（1）当
时，
，定义域为
，
对函数求导得
，则曲线
在
处的切线斜率为
.
而
，得到曲线
在
处的切线方程为
，即
.
（2）当
时，
，
.
因为存在
，使得
.
所以
，
化简得：
，
，可求得
，
.
将
代入得：
，化简得
.
进一步化简得：
，令
，
，
令
，则
，
令
，
，令
，
，
则
在
上单调递减，在
上单调递增，
故
，即
得证，
因为
，所以令
，故
.
（3）因为
，所以
.
对函数求导得：
.
令
，解得
，
当
时，
，则函数在
上单调递增；
当
时，
，则函数在
上单调递减；
所以函数在
处取极小值为
.
令
，
，对
求导：
.
在
上恒成立，
在
上单调递增，
.
当
时，
；当
时，
.
所以
有两个零点.
8．已知函数
．
(1)讨论
的极值点个数；
(2)探究
的零点个数.
【解析】（1）
定义域为
，
，
①当
时，
，当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
有1 个极值点．
②当
时，令
，得
或
，
（ⅰ）当
时，
，所以
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单
调递增，
有2 个极值点；
（ⅱ）当
时，
，
，所以
在
上单调递增，
无极值点；
（ⅲ）当
时，
，所以
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调
增，
有2 个极值点．
综上，当
时，
有1 个极值点；当
时，
无极值点；当
或
时，
有2 个极
值点．
（2）由题知，
．
当
时，由
，得
，
则
的零点个数即直线
与曲线
的交点个数．
令
，
则
，
当
时，
，
单调递减，当
时，
，
单调递增．
因为
，当
，且
时，
，当
时，
，
又
时，
，且当
时，
，当
时，
．
所以
的大致图象如图所示．
由图象可知，当
时，
与曲线
有2 个交点；当
时，
与曲线
有1 个交
点．
所以，当
时，
有2 个零点；当
时，
有1 个零点．
9．（2025·广东广州·三模）已知函数
.
(1)当
时，求与
相切，且垂直于直线
的直线方程；
(2)若
有两个零点，求实数
的取值范围.
【解析】（1）当
时，
，求导可得
，
因为直线
的斜率为
，所以切线斜率为3，
令
，解得
，此时切点为
，
所以切线方程为
，即
.
（2）函数
的定义域为
，
①当
时，
，函数
在
单调递减，此时
最多一个零点，舍去；
②当
时，令
，解得
，
当
时，
，函数
单调递减；
当
时，
，函数
单调递增.
由（1）知，当
时，
取得最小值，最小值为
.
因为当
时，
；
时，
所以要函数
有两个零点，当且仅当
.
设
，知函数
在
单调递增.
因为
，则
的解集为
.
综上所述，
的取值范围是
.
10．（2025·海南·模拟预测）已知函数
．
(1)当
时，求
的极值；
(2)若
在区间
上有且仅有一个零点，求实数a 的取值范围．
【解析】（1）当
时，
，定义域为
，
则
，
由
可得
，由
可得
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以函数
的极小值为
，无极大值.
（2）由
可得
，
设
，则函数
在区间
上单调递增，且
，
，
当
时，当
时，
，
，即函数
在区间
上单调递增，
则
，即函数
在区间
上没有零点；
当
时，即当
时，当
时，
，
，即函数
在区间
上单调递减，
则
，即函数
在区间
上没有零点；
当
时，
，
，则存在
，使得
，
当
时，
，
，函数
在
上单调递减，
当
时，
，
，函数
在
上单调递增，
因为
，要使得函数
有零点，需满足
，解得
，
综上所述， 实数
的取值范围是
.
11．（2025·安徽六安·模拟预测）已知函数
.
(1)若
为
上的单调函数，求k 的取值范围；
(2)若函数
，求证：k 可以取无数个值，使得每一个
的取值
都恰有三个不同的零
点.
【解析】（1）
，
因为
为
上的单调函数，
所以对任意
，有
；或对任意
，有
，
即
恒成立，或
恒成立，
所以
的取值范围是
.
（2）
，且
，
所以
是奇函数，
所以只需证明：
存在无数个取值使得
在
上恰有一个零点.
，令
，
由（1）知，
时，
在
上是减函数.
所以，
在
上是减函数.
，故存在
.
当
变化时，
的变化情况如下表：
0
2
+
0
0
极大值
故
时，
.
故存在唯一的
.
于是
时，
在
上存在唯一的零点.
于是
存在无数个取值使得
恰有三个不同的零点.
12．（2025·安徽·模拟预测）已知函数
，曲线
在
处的切线斜率为0．
(1)证明：函数
在
上单调递增；
(2)设
，若
，判断函数
的零点个数．
【解析】（1）依题意，
，
因为曲线
在
处的切线斜率为0，
所以
，即
．
所以
，
故函数
在
上单调递增．
（2）由（1）得
，所以
故
，设
，
则
，设
，则
，
当
时，
，所以
单调递减，
因为
，所以当
时
，从而函数
即
单调递减，
又
，
从而存在唯一
，使得
，
且当
时，
在
上单调递增，
当
时，
在
上单调递减，
而
，
故存在唯一
，使得
．
因为
是奇函数，且
，
所以函数
有3 个零点．
13．（2025·江西·模拟预测）已知
．
(1)当
时，讨论
的单调性；
(2)已知方程
恰有3 个实根，求
的值．
【解析】（1）当
时，求导得
，
构造
，求导得
，
则当
时，
，所以
在
时单调递增；
则当
时，
，所以
在
时单调递减；
即
，则
，
所以当
时，
，
当
时，
，
所以在
上单调递减，在
上单调递增．
（2）同理
，由（1）得
，
所以当
时，有
则当
时，
，
当
时，
，
则
在
上单调递减，在
上单调递增．
此时方程
最多只有两根，不满足题意；
则讨论
的情形：
由
，存在三个零点，分别为
和1，
其中
的零点由数形结合可得：
可知
，
由此可得：当
时，
，则
，
所以
在区间
上单调递减；
当
时，
，则
，
所以
在区间
上单调递增；
当
时，
，则
，
所以
在区间
上单调递减；
当
时，
，则
，
所以
在区间
上单调递增；
此时
依次有2 个极小值点
和一个极大值点1，
因为
，所以
则
，
，
所以有
，即两个极小值相等，
所以方程有3 个实根，必然
，
即
．
14．（2025·江西南昌·模拟预测）已知函数
，且
不是
的极值点.
(1)求a 的值；
(2)判断
的零点个数.
【解析】（1）
，
因为
不是
的极值点，
所以方程
还有其它正根（变号零点），
则
必须大于0，
若曲线
在
只有一个公共点，
则
相切，不符合题意，
所以此时
必须有两个正根，且
为其中一个，
即
所以
；
（2）由（1）可得：
，
设
，
则方程
的两根为
，其中
，
当
时，
，所以
，即
，
在
单调递减，
当
时，
，所以
，即
，
在
单调递增，
当
时，
，所以
，即
，
在
单调递增，
所以
因为
即
，
所以
，
且
时，
，
时，
所以
在
上各有一个零点，
所以
在
上有且仅有2 个零点.
15．（2025·重庆九龙坡·三模）已知函数
.
(1)当
时，求函数
的极值;
(2)设
有两个不同的零点
，求
的取值范围.
【解析】（1）当
时，
，
，
由
得：
，由
得：
或
，
当
时，
单调递增，当
和
时，
单调递减，
的极小值为
的极大值为
．
（2）
，
令
，则
，
记
，则
，
当
时，
，当
时，
，
在
单调递增，在
单调递减，
且
，
又当
时
恒成立，
要使
有两个零点，则
与图象
有两个交点，
，解得：
．
16．已知函数
.
(1)讨论
的零点个数；
(2)记
，证明：在
上，当
时，
的图象恒在
的图象上方.
【解析】（1）令
，得
，
即
的零点个数可看作直线
与曲线
的交点个数问题；
令
，则
，
当
时，
单调递增，
当
时，
单调递减，
故
，当
时，
，当
时，
，
当
时，
，当
时，
.
所以当
时，直线
与曲线
有2 个交点；
当
或
时，直线
与曲线
有1 个交点；
当
时，直线
与曲线
无交点.
故
时，函数
的零点个数是2；
或
时，函数
的零点个数是1；
时，函数
的零点个数是0.
（2）令
，则
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，所以
成立，所以
，
要证
的图象恒在
的图象上方，
即证
在
上恒成立，
又
，只需证
，
故只需证
，
令
，则
，
当
时，
单调递减；
当
时，
单调递增.
故
，
所以当
时，
，所以
恒成立，
所以
的图象恒在
的图象上方.
17．（2025·山东·二模）已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)若
有两个零点，求a 的取值范围．
【解析】（1）函数
的定义域为
，
，
若
恒成立，
时
，
时
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减；
若
，令
或
；
当
时，
时
，
时
，
时
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
在
上单调递增；
当
时，
，
当
，
，
，
当
，
，
，
，
所以
恒成立，
在
上单调递增；
当
时，
时
，
时
，
时
，
所以
在
上单调递增，
在
上单调递减，在
上单调递增.
综上所述，
若
，
在
上单调递增，在
上单调递减；
若
，
在
上单调递增，在
上单调递减，
在
上单调递增；
当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
上单调递增，
在
上单调递减，在
上单调递增.；
（2）若
，当
恒成立，
当
时，
单调递增，不可能有两个零点；
若
，因为
在
上单调递增，
在
上单调递减，在
上单调递增；
所以
的极小值
，故不可能有两个零点；
若
在
上单调递增，在
上单调递减；
因为
有两个零点，则必有
，即
；
此时，当
时，
；当
时，
；
故
有两个零点，符合题意，
综上
．
18．（2025·甘肃白银·二模）已知函数
，
(1)当
时，若直线过原点且与曲线
相切，求的方程.
(2)若关于
的方程
恰有两个不同的正实数根
，求
的取值范围.
【解析】（1）当
时，
，设直线的方程为
，
曲线
与直线相切于点
，
因为
，所以
①，
又点
既在曲线
上，又在直线
上，
所以
②，由①②得
，所以
，
所以
，故的方程为
.
（2）由
得：
，
恰有2 个正实数根
恰有两个正实数根
，
令
，则
与
有两个不同交点，
当
时，
；当
时，
；
在
上单调递减，在
上单调递增，又
，
当
从0 的右侧无限趋近于0 时，
趋近于
；
当
无限趋近于
时，
的增速远大于
的增速，则
趋近于
，则
的图象如图所示，
当
时，
与
有两个不同交点，
实数
的取值范围为
.
19．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）已知
是定义在区间
上的单调递增函数，对于
有如下甲、
乙两个命题：
甲：
是方程
的根；
乙：
是方程
的根.
(1)求证：甲是乙的充分必要条件；
(2)设
，若
，方程
有唯一实数根，求
的值.
【解析】（1）①充分性：若
是方程
的根，则
，
所以
，即
是
的根，充分性成立；
②必要性：若
是方程
的根，则
.
如果
，那么
，由函数
在定义域
内单调递增，得
，矛盾.
如果
，那么
，由函数
在定义域
内单调递增，得
，矛盾.
所以
是方程
的根，
综上，甲是乙的充分必要条件.
（2）因为
，所以
，
函数
在
上单调递增，
由（1）知“
是方程
的根”与“
是
的根”等价，
故只需求：当
时有唯一的
，满足
的
值.
令
，则
.
因为
为
上的单调递减函数，又
，当
趋向于无穷大时，
趋近于
，
故存在唯一的
使
，并得
.
此时
在
上单调递增，在
上单调递减，
故
.
要方程
在
内有唯一实数根，即要
，解得
.
所以，
.
20．已知函数
.
(1)当
为何值时，
轴为曲线
的切线；
(2)用
表示
中的最大值，设函数
，试讨论函数
零点的个数.
【解析】（1）设曲线
与
轴相切于点
，则
，
即
，解得
.
（2）当
时，
在
无零点.
当
时，若
，则
，
故
是
的零点；
若
，则
，
故
不是
的零点.
当
时，
，所以只需考虑
在
的零点个数.
（i）若
或
，则
在
无零点，
故
在
单调，而
，
所以当
时，
在
有一个零点；
当
时，
在
无零点.
（ii）若
，则
在
单调递增，在
单调递减，
故当
时，
取的最大值，最大值为
.
①若
，即
在
无零点.
②若
，即
，则
在
有唯一零点；
③若
，即
，由于
，
所以当
时，
在
有两个零点；
当
时，
在
有一个零点.
综上，当
或
时，
有一个零点；
当
或
时，
有两个零点；
当
时，
有三个零点.
21．（2025·湖北黄冈·三模）已知函数
．
(1)当
时，求函数
在
上的极值；
(2)用
表示
中的最大值，记函数
，讨论函数
在
上
的零点个数．
【解析】（1）当
时，
，
由
，得
或
，则
和
随
的变化如下表所示：
0
+
0
-
0
+
0
-
极
大
极小
极
大
∴
在
上有2 个极大值：
在
上有1 个极小值
．
（2）由
，知
．
（ⅰ）当
时，
，
∴
，故
在
上无零点．
（ⅱ）当
时，
．
故当
时，即
时，
是
的零点；
当
时，即
时，
不是
的零点．
（ⅲ）当
时，
．故
在
的零点就是
在
的零点，
．
①当
时，
，故
时，
在
是减函数，
结合
，
可知，
在
有一个零点，
故
在
上有1 个零点．
②当
时，
，故
时，
在
是增函数，
结合
可知，
在
无零点，故
在
上无零点．
③当
时，
，使得
时，
在
是增函数；
时，
在
是减函数；
由
知，
．
当
，即
时，
在
上无零点，故
在
上无零点．
当
，即
时，
在
上有1 个零点，故
在
上有1 个零点．
综上所述，
时，
有2 个零点；
时，
有1 个零点；
时，
无零点
22．已知函数
．
(1)求函数
的极值；
(2)若
的导数分别为
，且
，求a 的取值范围；
(3)用
表示m，n 中的最小值，设
，若
，判断函数
的零点个数．
【解析】（1）
，令
得，
或
（不合题意舍去），
当
时，
，
在
上单调递增，
当
时，
，
在
上单调递减，
所以
的极大值为
，无极小值．
（2）由（1）得，
时，
，
对
求导得，
，
时，
恒成立，
所以
时，
恒成立，设
，
，令
，得
，
当
时，
，
在
上单调递减，
当
时，
，
在
上单调递增，
所以
，
所以
，即a 的取值范围是
．
（3）因为
，设
，则
，
①若
，令
，解得
，
当
时，
，所以
在
上单调递增，
当
时，
，所以
在
上单调递减，
所以
，
所以
时，
没有零点；
②若
，由（1）知，
当
时，
，
在
上单调递增，
又
，所以
时，
，
当
时，
，所以
在
上单调递增，且
，
存在唯一
，使得
，则
，
当
时，
，即
在
单调递增，
所以
，
当
时，
在
上单调递减，且
，
所以存在唯一
，使得
，
综上所述，
时，
无零点，当
时
有2 个零点．
23．（2025·高三·黑龙江大庆·期中）已知函数
(1)若
，证明：
在
上恒成立；
(2)若方程
有两个实数根
且
，证明：
【解析】（1）因为
，
，令
所以
，
下证
，
令
，
则
，
当
时,
，当
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，
所以
在
上恒成立
（2）证明：先证右半部分不等式：
；
因为
，
，
所以
；
可求曲线
在
和
处的切线分别为
和
；
设直线
与直线，函数
的图象和直线
交点的横坐标分别为
则
则
；
因此
.
再证左半部分不等式：
.
设取曲线上两点
，
用割线
，
来限制
，
设直线
与直线
的交点的横坐标分别为
，
则
，且
，
所以
.
综上可得
成立
