文档文本内容
培优点05 隐零点
题型方法
题型一 不含参函数的隐零点问题
题型二 含参数的隐零点问题
隐零点问题是指函数的零点存在但无法直接求解出来的问题，在函数、不等式与导数的综合题目中常会遇到涉及
隐零点的问题，处理隐零点问题的基本策略是判断单调性，合理取点判断符号，再结合函数零点存在定理处理．
【题型一】不含参函数的隐零点问题
【例1】）已知函数
.若对任意
，都有
（e 为自然对数的底数），求证：
.
【答案】证明见解析
【分析】构造函数
求导求最小值来证明本题，零点难求出时，设隐零点的方式即可证得.
【详解】设
，则
，
设
，则
，显然方程有唯一解
，
因为
在
上单调递增，
题型梳理
知识清单
题型方法
所以当
时，
；当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，
令
，则
，
所以
在
上单调递减，
因为
，所以
，所以
.
解题技巧
已知不含参函数f(x)，导函数方程f′(x)＝0 的根存在，却无法求出，利用函数零点存在定理，判断零点
存在，设方程f′(x)＝0 的根为x0，则①有关系式f′(x0)＝0 成立，②注意确定x0的合适范围．
【举一反三】【变式1】（2024 高三·全国·专题练习）已知函数
，求证：
.
【答案】证明见解析
【分析】
构造函数
，求导分析函数的单调性可得函数
在区间
上单调递增，再根据零点存在性
定理可得存在
使得
，从而有
，再代入
证明即可.
【详解】证明：
.
设
，
，则
.
设
，则
，
故函数
在区间
上单调递增．
因为
，
，
所以存在
使得
，
所以
，即
，则
.
当
时，
；当
时，
，
故函数
的最小值为
，
所以
，
所以
.
【变式2】已知函数
（
）．
(1)若
在区间
上单调递减，求
的取值范围；
(2)当
时，求证：
．
【答案】(1)
；
(2)证明见解析.
【分析】（1）由
在
上恒成立可得，再由导数确定
的单调性与最值后可得参数范围；
（2）利用导数求得
的最大值，由这个最大值小球0 可得证，为此需要对
的零点
进行定性确定，然后利用
的性质写明
．
【详解】（1）由已知得
，
设
，
，
因为
在区间
上单调递减，
所以
时，
恒成立．
因为
时，
，
所以
在区间
上单调递减，
所以
的最大值为
，即
．
当
时，符合题意．
所以
．
（2）当
时，
，
，
则
．
设
，则
，
所以
在区间
上单调递减．
因为
，
，
所以
，使得
，
即
．
当
变化时，
，
，
的变化如下表：
＋
0
－
＋
0
－
单调递增
极大值
单调递减
所以
的最大值为
．
因为
，所以
，
，
所以
，故
．
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式
，一般可利用导数求得最大值
，再由
证得结论，
此类题这里有一个难点，即
的
不易求得，我们可以进行定性分析，即证明存在
，使得
，利用
此等式可化简
并证明出结论成立．
【变式3】（2023·陕西咸阳·模拟预测）已知
.
(1)讨论函数
的单调性；
(2)当
时，判定函数
零点的个数，并说明理由.
【答案】(1)答案见解析
(2)
有且只有一个零点，理由见解析
【分析】（1）利用导数分类讨论含参函数的单调性即可；
（2）利用导数分析函数的单调性，从而求出极值，即可判断函数的零点个数.
【详解】（1）由题知，
.
当
时，当
时，
；当
时，
，
在区间
上是㺂函数，在区间
上是增函数；
当
时，
；当
或
时，
；当
时，
；
在区间
上是增函数，在区间
上是减函数，在区间
上是增函数；
当
时，
在区间
上是增函数；
当
时，
；当
或
时，
；当
时，
；
在区间
上是增函数，在区间
上是减函数，在区间
上是增函数；
综上所述，当
时，
在区间
上是减函数，在区间
上是增函数；
当
时，
在区间
上是增函数，在区间
上是减函数，在区间
上是增函数；
当
时，
在区间
上是增函数；
当
时，
在区间
上是增函数，在区间
上是减函数，在区间
上是增函数.
（2）由（1）知，
，定义域为
，
，设
，
在区间
上是增函数，
存在唯一
，使
，即
，
当
时，
，即
；当
时，
，
即
；当
时，
，即
，
在区间
上是增函数，在区间
上是减函数，在区间
上是增函数，
当
时，
取极大值为
，
设
，其知
在区间
上是减函数.
在
内无零点，
在
内有且只有一个零点，
综上所述，
有且只有一个零点.
【点睛】用导数研究函数零点个数问题，主要是由导数确定函数的单调性，然后结合零点存在定理得零点个数．难点
是在确定零点存在时，零点两边函数值异号时点的取得．
【题型二】含参数的隐零点问题
【例2】（2025·重庆·三模）已知函数
．
(1)讨论函数
的单调性；
(2)已知函数
．
①若
，求证： 当
时，
；
②若
，函数
在区间
上存在唯一零点，求
的取值范围．
【答案】(1)答案见解析；
(2)①证明见解析；②
.
【分析】（1）求导得
，再对
分类讨论即可；
（2）①
，从而得到
在
下单调递增，则
，则得
到
的单调性，即可证明
；
②当
时,分析得
在
上单调递增，再取点计算得
，最后利
用零点存在性定理即可得到答案.
【详解】（1）
，
①当
，即
时，
恒成立，
在
上单调递增．
②当
，即
或
时，令
，解得
，
当
时，
单调递增；
当
时，
单调递减；
当
时，
单调递增．
即
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上
单调递增．
（2）(i)
，
，
当
时，
函数
在
上单调递增，
在
上单调递减，
在
单调递增，
则
在
上单调递增，则
，得证．
（ii）当
时，
，同理有
在
上单调递增，
而
，
故由零点存在定理可知，存在唯一的
，使得
．
当
时，
单调递减；
当
时
单调递增．
，
故由零点存在定理可知，
在
无零点，在
上存在唯一零点．
符合题意．
当
时，由（i）可知不合题意，故舍去．
综上所述，
的取值范围为
．
解题技巧
已知含参函数f(x，a)，其中a 为参数，导函数方程f′(x，a)＝0 的根存在，却无法求出，设方程f′(x)
＝0 的根为x0，则①有关系式f′(x0)＝0 成立，该关系式给出了x0，a 的关系；②注意确定x0的合适范
围，往往和a 的范围有关．
【举一反三】【变式1】（2025·山东济南·一模）已知
，函数
，
.
(1)当
时，求
的极值；
(2)若
存在零点.
（i）当
时，求
的取值范围；
（ii）求证：
.
【答案】(1)答案见解析；
(2)（i）
；（ii）证明见解析.
【分析】（1）直接求导得
，再分
和
讨论即可；
（i）转化得
有解，再设
，求导后再对
分类讨论，最后利用隐零点法即可得到其范围；
（ⅱ）分析得
表示原点与直线
上的动点
之间的距离，再等价转化为证明
，再设新函数并多次求导即可证明.
【详解】（1）
时，
，
当
时，
，函数
单调递增，既无极大值也无极小值.
当
时，
，
，函数
单调递减，
，
，函数
单调递增，
函数
的极小值是
，无极大值.
（2）（ⅰ）当
时，因为函数
存在零点，故
有解，
若
，此时无解，所以
，
有解，
，
①若
单调递增，
此时不存在零点；
②若
，令
，
，
，
由零点存在定理可知存在
，
所以
在
上为减函数，在
上为增函数，
故
，解得
，故
.
（ⅱ）因为函数
存在零点，所以
有解
，其中
，
若
，则
，该式不成立，故
.
故
，考虑直线
，
表示原点与直线
上的动点
之间的距离，
，所以
，
时，要证
，只需证
，
解法一：即证
.
令
，则
，
令
，
，故
在
上为增函数，故
.
即
在
上为增函数，
故
，故
，即
成立.
解法二：令
,则
，
令
，得
单调递减，
令
，得
单调递增，
所以
.
【变式2】已知函数
．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若
，
恒成立，求整数
的最大值．
【答案】(1)答案见解析
(2)最大值为4．
【分析】（1）求得
，对
的取值分类讨论，从而求得
的单调区间；
（2）根据
，
恒成立，分离常数
，通过构造函数，对函数求导计算出函数最小值为
，根据
的范围，结合函数单调性，确定
的范围，从而求得整数
的最大值.
【详解】（1）
，
①当
时，
恒成立，故
在
上恒增；
②当
时，令
，则
，解得
，
当
时，
，
单调递增；
时，
单调递减；
时，
单调递增．
综上所述，当
时，
在
上恒增；
当
时，
在
和
，
上单调递增，
在
上单调递减．
（2）因为
，即
，整理可得
，
由于
，所以
，则
；
令
，
，
令
，
，由于
，则
，
故
单调递增，
，
，
所以存在
使得
，即
．
当
时，
单调递减，
当
时，
单调递增，
则
，
，
二次函数的对称轴为
，所以
在
单调递增，
故
，
由于
为整数，则
的最大值为4．
【变式3】（2023·内蒙古包头·一模）已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线与两坐标轴所围成三角形的面积；
(2)证明：当
时，
没有零点．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求出导函数
后计算斜率
，再计算
，然后写出切线方程，求出其在坐标轴上的截距后可得
三角形面积；
（2）求出导函数
，引入新函数
，由导数确定
的零点的存在，从而得出
的正
负，得
的最小值，然后证明这个最小值大于0 即可证．
【详解】（1）当
时，
．
，
故曲线
在点
处的切线方程为
，
即
．
因为该切线在x，y 轴上的截距分别为
和
，
所以该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积
．
（2）当
时，因为
，所以
，
令
，则
，
因为
，所以
，所以
在
上单调递增，
又
，
故
在
上有唯一的零点
，即
，因此有
．
当
时，
，即
；当
时，
，即
．
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，故
为最小值．
由
，得
，
所以在
时，
，
因为
，所以
，又因为当
时，
，所以
．
所以
．
因此当
时，
没有零点．
【点睛】方法点睛：证明函数无零点问题，可利用导数求出函数的最小值（或最大值），然后证明最小值大于0（或
最大值小于0）即可，难点在于函数的最值点不能具体地求出，因此可象本题利用零点存在定理说明导函数
的零
点
的存在性，得出最小值
，注意利用
对
进行化简变形，然后证明
．
一、解答题
1．（2024·江苏·模拟预测）已知函数
，其中
．
(1)若
，证明
；
(2)讨论
的极值点的个数．
【答案】(1)证明见解析；
(2)有且仅有一个极值点.
【分析】（1）根据导函数的正负，判断
的单调性，求得最小值，即可证明；
（2）求得
，构造函数
，对参数
的取值进行分类讨论，结合零点存在性定理，
判断
的单调性，即可求得函数极值点个数.
【详解】（1）证明：当
时，
，
，
，
，
好题必刷
又易知
在
上为增函数，
所以当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增，
从而
.
（2）由题意知，函数
的定义域为
，
，
设
，
，显然函数
在
上单调递增，
与
同号，
①当
时，
，
，所以函数
在
内有一个零点
，
且
，
，
，
，
故
在
单调递减，在
单调递增；
所以函数
在
上有且仅有一个极值点；
②当
时，由（1）知，函数
在
上有且仅有一个极值点；
③当
时，
，
，
因为
，所以
，
，
又
，所以函数
在
内有一个零点
，
且
，
，
，
，
故
在
单调递减，在
单调递增；
所以函数
在
上有且仅有一个极值点；
综上所述，函数
在
上有且仅有一个极值点．
2．（2024·全国·模拟预测）已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)若
存在唯一的极值点
，证明：
．
【答案】(1)答案见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）求导，分
，
，
三种情况讨论，综合可得；
（2）由（1）得
，表示出
得
的范围，并代入所证不等式，消去a 得关于
的不等式，
构造函数判单调性得最值即可证明.
【详解】（1）因为
，
当
时，
，此时
在
上恒成立，
所以
在
上单调递减；
当
时，
在
上单调递减，所以
在
上有唯一零点
，
当
时，
，
在
上单调递增，
当
时
在
上单调递减；
当
时，
在
上有零点
，
当
和
时，
，所以
在
和
上
单调递减，
当
时，
，所以
在
上单调递增．
综上：当
时，
在
上单调递减；
当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减；
当
时，
在
和
上单调递减，在
上单调递增．
（2）由题意可知
，
若
存在唯一的极值点
，
由（1）可知
且
．
因为
，
要证
，
只需证
①．
因为
，所以
．
将
代入①整理可得，只需证
．
令
，
则
，
所以
在
上单调递减，
所以
，
所以
，即原不等式成立．
3．（2023·河南开封·模拟预测）已知函数
．
(1)若函数
的图象与直线
相切，求实数
的值；
(2)若函数
有且只有一个零点，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
;
(2)
.
【分析】（1）设切点坐标，根据导数的几何意义求出切线的斜率，进而列出关于
的方程组，解之即可;
（2）由题意可得
只有一个根，易知
，可转化为
与
的图象只有一个交点，根
据导数研究函数
的单调性，数形结合即可求解.
【详解】（1）设直线
与函数
的图象相切于点
，
因为
,
所以
，由②③可得
④，易知
.
由①得
，代入④可得
，
即
，即
，解得
.
故
.
（2）令
，可得
，
由题意可得
只有一个根.
易知
不是方程
的根，所以
，
所以由
，可得
.
设
，则
与
的图象只有一个交点.
，
当
时，
，函数
单调递增；
当
时，
，函数
单调递减；
当
时，
，函数
单调递增.
设
，则
，
当
时，
，函数
单调递减；
当
时，
，函数
单调递增.
所以
.
所以
.
又
，
时，
，
时，
，
画出函数
的图象如图所示：
由图可知，若
与
的图象只有一个交点，
则
.
所以实数
的取值范围是
.
4．（2022·陕西宝鸡·三模）已知函数
(1)函数
为
的导函数，讨论当
时
的单调性；
(2)当
时，证明：
存在唯一的极大值点.
【答案】(1)在
上单调递减，在
上单调递增
(2)证明见解析
【分析】（1）由导数分析单调性求解，
（2）由导数分析单调性，及零点存在性定理证明．
【详解】（1）
，设
，则
.
当
时，令
，则
，
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增.
所以
在
上单调递减，在
上单调递增.
（2）证明：当
时，
，
，
由（1）可知
的最小值为
，而
，又
，
由函数零点存在定理可得存在
使得
，又
在
上单调递减，
所以当
时，
，当
时，
，故
为
的极大值点，
又
在
上单调递增，故
在
上不存在极大值点，
所以
存在唯一的极大值点
，
5．（2024·广西·模拟预测）设函数
，
．
(1)当
时，求函数
的单调区间；
(2)证明：
．
【答案】(1)函数
的单调递减区间为
，单调递增区间为
．
(2)证明见解析
【分析】（1）求出函数
的定义域，利用导数求出其单调区间即可.
（2）通过导数及零点存在定理判断函数
在
上单调递减，在
上单调递增，且
，等式两边取对数并使用基本不等式证明即可.
【详解】（1）当
时，
，定义域为
，
所以
，
令
因为
，
所以
在
上单调递增，
即
在
上单调递增，注意到
，
所以当
时，
；
当
时，
，
所以函数
的单调递减区间为
，单调递增区间为
．
（2）证明：
，
即
，
的定义域为
，
且
．
在
上单调递增，
当
时，
在
上单调递增，
故
在
上单调递增，
又
，当
趋近于0 时，
，
根据零点存在定理可知，导函数
存在唯一的零点，
设该零点为
．当
时，
；当
时，
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
当
时，
取得最小值
．
，即
，
两边同时取对数得
，
所以
，
当且仅当
，即
时，取等号，
故当
时，
，
即
．
6．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数
，若
的最小值为0，
(1)求
的值;
(2)若
，证明:
存在唯一的极大值点
，且
.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）对函数求导后，分
和
两种情况讨论求解即可；
（2）令
，求导后可得
在
递减，
递增，再结合零点存在性定理得
在
存在唯一的
使得
，在
存在唯一的零点
，从而得
是
唯一的极大值点.
【详解】（1）
，
当
时，
，所以
在
上递减，则
没有最小值，
当
时，由
，得
，由
，得
，
所以
在
上递减，在
上递增，
所以
时，
取得最小值
，得
成立，
下面证
为唯一解，
令
，则
，
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上递增，在
上递减，
所以
，
所以方程
有且只有唯一解
，
综上，
；
（2）证明:由（1）知
，
令
，
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上递减，
上递增，
因为
，
所以
在
存在唯一的
使得
，在
存在唯一的零点
，
所以当
或
时，
，即
，
当
时，
，即
，
所以
在
上递增，在
上递减，在
上递增，
即
是
唯一的极大值点，
，
由
，得
，
所以
，
因为
，所以
.
【点睛】关键点点睛：此题考查函数的单调性，考零点存在性定理，考查导数的综合应用，第（2）问解题的关键是
二次求导后结合零点存在性定理确定出函数极值点的范围，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题.
7．（2023·四川成都·一模）已知函数
.
(1)若
，求
的取值范围；
(2)当
时，证明：
.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）令
，将问题转化为
，利用导数求出
即可；
（2）令
，将问题转化为
，通过导数研究
单调性，借
助隐零点和放缩法证明
即可.
【详解】（1）记
，
，则
恒成立，即
.
因为
，
当
；当
；
所以
在
上单调递增，在
上单调递减.
所以
，解得
.
故实数
的取值范围是
；
（2）记
，则
，
令
，则
，
所以
即
在
上单调递增.
由
，知
.
所以
，即
，
故当
单调递减；当
单调递增.
所以
，
由（*）式，可得
.
代入
式，得
.
由（1）知，当
时有
，故
，
所以
.
由于
，所以
.
故
，即
，原不等式得证.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式，转化为构造函数，利用导数分析构造的函数的单调性，求得最值，证明即
可.当导函数的零点不易求出时，可借助其单调性和零点存在定理确定零点所在区间，设出零点
，再整体代换即可.
8．（2023·辽宁·二模）已知函数
．
(1)讨论函数
的单调性；
(2)设函数
有两个极值点
，
，证明：
．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）运用导数分类讨论
、
、
时的单调性即可.
（2）根据已知条件将证明
转化成证明
（
），运用导
数研究
的最大值与0 比较即可.
【详解】（1）由题意知，
定义域为
，
，
令
，则
，
①当
时，
，
，
在
上单调递减，
②当
时，
，
的2 个根为
，
，
此时
，则
，
或
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，在
上单调递减，
③当
时，
，
的2 个根为
，
，
此时
，
，则
，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
综上，①当
时，
在
单调递减；
②当
时，
在
单调递减，在
单调递增，在
单调递减；
③当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减．
（2）因为
有两个极值点
，
，
所以由（1）可知
，且
，
，
所以
，
要证
，即证
，
只需证
，
，
令
，
，
则
，
令
，则
恒成立，
所以
在
上单调递减，
又
，
，
由零点存在性定理得，
使得
，即
，
所以
时，
，
单调递增，
时，
，
单调递减，
则
，
令
，
，
则当
时，
，
所以
在
上单调递增，
所以
，
所以
，即
．
【点睛】隐零点问题求解三步曲：
（1）用函数零点存在定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程
，并结合
的单调性得到零点的取值
范围．
（2）以零点为分界点，说明导函数
的正负，进而得到f(x)的最值表达式．
（3）将零点方程适当变形，整体代入最值式子进行化简证明，有时(1)中的零点范围还可以适当缩小．
