文档文本内容
专题02 函数零点、不等式及构造与同构问题
（16 大考向）
内容导航
速度提升
技巧掌握
手感养成
重难考向聚焦
锁定目标 精准打击：快速指明将要攻克的核心靶点，明确主攻方向
重难考向保分攻略
授予利器 瓦解难点：总结瓦解此重难考向的核心方法论与实战技巧，精选同源试题巩固内化
重难冲刺练
模拟实战 挑战顶尖：挑战此重难点的中高难度题目，养成稳定攻克难题的“题感”
近三年：函数与方程理论应用，涉及到的知识点多，处理问题的方法与技巧灵活多变，始终是高考考察的
重点之一，命题形式多样，既有选择题填空题，也有解答题应用这个数学思想，难度从容易到困难，都有
出现，属于考察必考点之一。
预测2026 年：应用零点存在定理与导数结合，来求零点，恒成立求参，能成立求参，或者证明不等式，
或者解方程，是高考重要的考察方向，特别要注意和向量、数列以及解析几何等知识的应用结合来考察。
考向01 函数与方程1：零点存在性定理
函数零点存在定理：
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)
在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c (a
∈，b)，使得f(c)＝0，这个c 也就是方程f(x)＝0 的解。
零点主要思维方法，分离参数水平线法求零点，具体如下：
1.分离参数
2.构造函数于水平线
3.构造函数时，要注意函数是否有“水平渐近线”
注意合理的运用二分法来快速解决。
二分法的一般步骤（精确度为
）
1
（1）确定零点
所在区间为
，验证
；
（2）求区间
的中点 ；
（3）计算
；
①若
则就是函数的零点；
②若
，则
，令
；
③若
，则
，令
；
（4）判断是否达到精确度：若
，则得到零点近似值
（或
），否则重复步骤以上步骤.
1．（25-26 高三·山东青岛·阶段练习）定义区间
、
、
、
的长度均为
，其中
，若已知实数
.则满足不等式
解集的各区间长度之
和为 .
2．（25-26 高三上·湖南衡阳·月考）判断一元五次方程
的实根个数为
（ ）
A．5
B．1
C．2
D．3
3．（25-26 高三·浙江阶段练习）已知关于
的方程
恰有两个不同的解，则实数
的取值范围
为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（25-26 高三湖南阶段练习）已知
，且函数
有且仅有一个零点.若
方程
无解，则实数
的取值范围是（ ）.
A．
B．
C．
D．
考向02 函数与方程2：分段函数零点求参
分段函数的零点问题，面临的主要问题是参数对解析式的影响，参数，参数在定义域处，或者参数在分
段解析式处等等，核心策略是“分区间拆解，逐段求解验证”，因为分段函数在不同区间有不同解析
式，零点必须满足“在对应区间内且函数值为0”
①明确分段标准，拆分定义域
②分区间列方程，求解可能零点
③验证区间归属，筛选有效零点
④特殊处理分段点
⑤抓住参数的“临界值”，分层讨论
⑥用图像辅助分析，直观判断零点个数
1．（25-26 高三上·广东中山·阶段练习）已知定义在R 上的函数
，若函数
恰有2 个零点，则实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025 高三·全国·专题练习）函数
，设
，
，若
2
有四个零点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 高二下·浙江舟山·期末）记函数
.已知函数
，
，
，若
有且只有个零点，则的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·陕西·三模）已知函数
定义为：
，若函数
恰好有3 个零
点，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
考向03 函数与方程3：复合二次型函数零点
.解复合函数
零点问题的：
（1）此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题的开始要作出
的图像
（2）若已知零点个数求参数的范围，则先估计关于
的方程
中
解的
个数，再根据个数与
的图像特点，分配每个函数值
被几个
所对应，从而确定
的取值范围，进而决定参数的范围
1（2025·湖南娄底·模拟预测）已知函数
，
，若关于
的方程
有3 个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（25-26 高三上·辽宁·阶段练习）已知函数
，若关于
的方程
有且仅有4 个不同的实数根，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（25-26 高三上·四川广安·阶段练习）已知函数
，若方程
有且仅有5 个不同实数根，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（24-25 高三·广东清远·阶段练习）已知函数
，若关于
的方程
有5 个不同的实数根，则实数
的取值范围为（ ）
3
A．
B．
C．
D．
考向04 函数与方程4：镶嵌函数零点求参
.对于复合函数
的零点个数问题，求解思路如下：
（1）确定内层函数
和外层函数
；
（2）确定外层函数
的零点
；
（3）确定直线
与内层函数
图象的交点个数分别为
、
、
、
、
，
则函数
的零点个数为
.
1．（24-25·湖南衡阳·期末）已知函数
，
，若关于x 的方程
有19 个不等实数根，则实数m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（25-26·湖南邵阳·阶段练习）已知函数
，
，其中
均为实数．
若方程
有且仅有5 个不相等的整数解，则其中最大整数解和最小整数解之积为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（25-26 高三上·重庆·阶段练习）已知函数
，若函数
有6 个零点，则
实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·甘肃武威·模拟预测）已知函数
若函数
恰有3 个
零点，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
考向05 函数与不等式1：根的分布
.根的分布
1.基础分布：0 分布
特征：（1）、两正根；（2）、两负跟；（3）、一正一负两根。
方法：判别式+韦达定理
2．区间分布与K 分布
特征：（1）、根比某个常数K 大或者小；（2）、根在某个区间（a，b）内（外）
方法：借助复合条件的大致图像，从以下四点入手
4
（1）开口方向；
（2）判别式；
（3）对称轴位置；
（4）根的分布区间端点对应的函数值正负
如果是“0”分布，可以用韦达定理
指数型根的分布
1. 换元，令
，有指数函数性质知，t 的最大范围为正。
2. 注意题中对方程根的正负范围，对应的t 的取值范围
3. 根据换元后新“根”的范围，用一元二次型“根的分布”求解。
4. 特殊的函数式子，可以分离参数，转化为“水平线型”求解。
1．（24-25 高三·全国·专题练习）若在定义域内存在实数
，满足
，则称
为“有点奇
函数”，若
为定义域
上的“有点奇函数”，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高三·全国·专题练习）若函数
在
上单调递减，
则实数
的取值范围为
A．
B．
C．
D．
3．（23-24 高三上·江苏苏州·开学考试）已知函数
有三个不同的零点
，
，
，且
，则实数a 的取值范围是 ；
的值为 .
4．（24-25 高三江西丰城开学考试）设函数
，
.若方程
在
上有4 个不相等的实数根，则
的取值范围是 .
考向06 函数与不等式2：换元构造型
.换元型根的分布，要注意换元前后，新元与旧元的范围传递与变化。比如指数型根的分布
1.换元，令
，有指数函数性质知，t 的最大范围为正。
2.注意题中对方程根的正负范围，对应的t 的取值范围
3.根据换元后新“根”的范围，用一元二次型“根的分布”求解。
4.特殊的函数式子，可以分离参数，转化为“水平线型”求解。
1．（24-25 高三·江苏镇江阶段练习）已知函数
，若函数
在区间
上的值域为
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
5
2．（24-25 高三·江苏苏州阶段练习）函数
的定义域为
，若满足：①
在
内是单调函数；②存
在
，使得
在
上的值域也是
，则称
为高斯函数．若
是高斯函数，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 高三河北保定阶段练习）已知函数
，若存在区间
，使得函数
在区间
上的值域为
，则实数k 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（24-25 高三·新疆阿克苏·阶段练习）定义域为
的函数
同时满足条件：①常数
满足
，区
间
，②使
在
上的值域为
，那么我们把
叫做
上的“
级矩形”
函数．函数
是
上的“ 级矩形”函数，则满足条件的常数对
共有（ ）
A．对
B．
对
C．对
D．
对
考向07 函数与不等式3：恒成立型求参
恒成立问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数
，
（1）若
，
，总有
成立，故
；
（2）若
，
，有
成立，故
；
（3）若
，
，有
成立，故
；
（4）若
，
，有
，则
的值域是
值域的子集．
1．（24-25 高三下·江西南昌·阶段练习）设函数
，若
恒成立，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025 高三·全国·专题练习）若关于
的不等式
对任意的正实数
恒成立，则
的最小值是（ ）
A．7
B．9
C．10
D．
7．（25-26 高三上·山东聊城·阶段练习）已知
，
，不等式
恒成立，则实数a 的取值范围是 ．
4．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
，若
恒成立，则
.
考向08 函数与不等式4：能成立型求参
6
.能成立于恒成立之间的关系，可以简单的总结为：
恒成立转化为能成立时候，max 与min 互换
1．（25-26 ·湖南衡阳阶段练习）已知函数
，若对任意的
，总存在
，使得
，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（25-26 高三上·山东济宁·期中）已知函数
，
，若
，
，
使得
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（25-26 高三·江西丰城·期中）已知
，
，若任给
，存在
，使得
，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
（其中
为常数），设
，存在正数
，
使得对于区间
上的任意3 个实数
，都存在以
为边长的三角形，则
这样的
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
考向09 导数公式构造1：幂指构造
.幂指函数构造技巧：
1.
2.
3.
7
4.
指数函数，主要是以e 为底的函数构造：
1.
，
2.
3.
，
4.
1．（2024·四川德阳·模拟预测）设定义域为
的函数
的导函数为
.已知
，
，若
在
上恒成立，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025 高三·全国·专题练习）定义在
上的函数
的导函数为
，若对任意实数x，有
，且
为奇函数，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（25-26 高三上·河南·月考）已知定义在
上的可导函数
的导函数为
，若
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（25-26 高三上·江苏盐城·月考）已知可导函数
的导函数为
， 若对任意的
， 都有
且
为奇函数， 则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
考向10 导数公式构造2：对数函数构造
.对数函数型构造
1.
2.授课时，可以让学生写出y=ln（kx+b）与y=f(x)的加、减、乘、除各种结果
1．（24-25 高三上·江苏南京·期中）已知函数
的导函数为
，当
时，
，
则下列结论一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
在
上单调递减
D．当
时，
2．（23-24·江苏南通·阶段练习）已知函数
的导函数为
，且
，当
时，
，
则不等式
的解集为（ ）
8
A．
B．
C．
D．
3．（23-24 高三上·河南周口·阶段练习）已知函数
的定义域为
，导函数为
，不等式
恒成立，且
，则不等式
的解集为
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（24-25 高三·河北保定·阶段练习）已知函数
是定义在
上的奇函数，
的图象连续，且
，记
的导函数为
，若
在
上恒成立，则使
成立的
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
考向11 导数公式构造3：三角函数构造
.三角函数构造：
1.
，
2.
3.对于正切型，可以通分（或者去分母）构造正弦或者余弦积商型
4.
，
5.
1．（23-24 安徽六安·阶段练习）函数
是定义在
上的奇函数，其导函数为
，且
，当
时，
，则关于
的不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高三全国 阶段练习）已知
是定义域为
的函数
的导函数，且
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（23-24 甘肃 阶段练习）定义在
上的函数
，其导函数是
，且恒有
成立，
则（ ）
9
A．
B．
C．
D．
4．（24-25 高二下·四川绵阳·阶段练习）已知函数
在定义域
上为偶函数，并且
时,
，若
，则不等式
的解集为 .
考向12 导数公式构造4：线性构造
.比较常见的几种“线性”构造，可以借助这几类做扩展构造，培养这类观察和构造的思维
1.
,或者f（x）+kx+b
2.
3.
。
2．（24-25 高三河北阶段练习）若定义在
上的可导函数
满足
，
，
则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（23-24 高三上·江苏常州·期末）已知定义在
上的函数
的导数为
，
，且对任意的
满足
，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023·浙江·模拟预测）已知
是定义在
上的可导函数，且对于
，
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（25-26 高三上·四川南充·月考）设函数
的定义域为
，导数为
，若当
时，
，且对于任意的实数
，
，则不等式
的解集为
（ ）
A．
B．
C．
D．
考向13 构造与同构1：双方程型同构
双方程同构型：
原理：主要是利用指数与对数互为反函数这个函数性质
10
方法：指数和对数底数一致时，可以借助对称轴y=x 来构造（要注意是否同时发生了平
移）
1．（25-26 高三上·广西·阶段练习）已知正实数a，b 满足
和
，则
的值为
（ ）．
A．
B．
C．
D．
2．（2022·山西太原·一模）已知实数
，
满足
，
，则
（ ）
A．112
B．28
C．7
D．4
3．（2025·湖南·一模）已知正实数
满足
和
．则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（24-25·云南曲靖·阶段练习）已知实数
满足
，
，则
.
考向14 构造与同构2：对化指型同构
对化指同构，主要是借助对数运算性质：
对数的性质：①a
＝
N ；
log
②
aaN＝
N (a>0 且a≠1)．
1．（2025·甘肃金昌·三模）若关于
的不等式
在
上恒成立，则实数
的取值范围
为（ ）.
A．
B．
C．
D．
2．（2025·海南·模拟预测）若不等式
对任意
恒成立，则实数的最大值是
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·湖北·三模）若不等式
恒成立，则实数a 的最大值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
4．（23-24·湖南衡阳·阶段练习）已知m 是方程
的一个根，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．5
考向15 构造与同构3：同构解方程
1．（25-26 高三上·四川绵阳·月考）已知函数
恰有4 个零点，则实数
a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（25-26 高三上·云南·阶段练习）已知函数
与函数
的图象有两个不同的交
点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
11
3．（2025·云南·三模）设函数
，
，若存在
，使得
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（24-25·山东聊城·阶段练习）已知实数
分别满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
考向16 构造与同构4：同构证明不等式
1．（25-26 高三上·山东淄博·期中）已知实数
，
，满足
，则下列关系不可能
成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·湖南益阳·模拟预测）已知
，
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·山东济南·一模）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（24-25 高三上·贵州贵阳·期末）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
冲刺练
（建议用时：60 分钟）
一、单选题
1．（25-26 高三上·安徽·月考）已知函数
，且
，则
所在区间可以为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（25-26 高三上·江苏无锡·月考）已知函数
，若方程
有且仅
有个不同实数根，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（25-26 高三上·湖南衡阳·月考）已知函数
，若有另一函数
12
有且仅有3 个不同零点，则常数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（25-26 高三上·安徽六安·阶段练习）已知函数
的定义域为
，且
在
上是单调函
数，若
，则
的零点为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·四川·模拟预测）已知一元二次函数
的定义域为
，若
，
，且
该二次函数的图象经过
、
不同两点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（25-26 高三上·四川南充·月考）已知
，
分别为定义域为
的偶函数和奇函数，且
，若关于x 的不等式
在
上恒成立，则正实数a 的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
7．（2025·四川德阳·模拟预测）任意实数
，函数
在
上有最值，则实
数m 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（25-26 高三上·山东菏泽·期中）已知关于
的方程
在
内有两个不等的实数根，
则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．（2025·广东佛山·三模）已知函数
及其导函数
的定义域为
，若
为奇函数，
，且对任意
，
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（25-26 高三上·重庆南岸·期中）设函数
的定义域为D，如果存在
，使得
，那么
我们称
为该函数的一个不动点；若
满足
，则称
为
的次不动点，下列结论正确的是
（ ）
A．函数
存在次不动点
B．对于函数
，既存在不动点，也存在次不动点
C．函数
的不动点有2 个
D．函数
在
上仅有一个不动点和一个次不动点，则
的取值范围是
13
11．（25-26 高三上·河南·阶段练习）已知函数
，且
．定义在
上的
函数
，其导函数为
，且
，则下列不等式一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（2025 高三·全国·专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．若
，且
，则
B．若
且
，则
C．若
，且
，则
D．若
且
，则
三、填空题
13．（25-26 高三上·江苏宿迁·期中）已知
，若对任意的
恒成立，则实数
的最
大值为 .
14．（25-26 高三上·陕西西安·月考）已知在平面直角坐标系中，点Q 的坐标
满足
，且对于
，都有
，则k 的取值范围是 .
结束
14
15
