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培优点14
导数中的零点问题
目录
01 重点解读..........................................................................................................................................2
02 思维升华..........................................................................................................................................3
03 典型例题..........................................................................................................................................4
题型一：利用导数研究零点个数........................................................................................................4
题型二：利用函数零点个数求参数范围............................................................................................5
题型三：隐零点问题............................................................................................................................6
题型四：零点赋值问题........................................................................................................................7
题型五：零点差问题............................................................................................................................8
题型六：max 与min 的零点问题.......................................................................................................10
04 课时精练........................................................................................................................................12
导数在深入探究函数的单调特性、极值以及最值等关键性质时，发挥着不可或缺的作用。而要有效运
用导数解决这些问题，一个核心要素便是精准把握函数的零点。具体而言，导函数零点的出现，往往标志
着原函数单调性发生变化的临界点，或是原函数取得极值的点，甚至可能是最值的所在点。因此，牢牢抓
住函数的零点，就等于掌握了解决导数相关问题的关键钥匙。
零点问题，作为导数应用中的一个重要方面，主要涵盖以下四大类别：
1、函数零点个数的判定问题；
2、函数零点所在范围的确定问题；
3、隐零点（即不易直接求解的零点）的处理问题；
4、分段函数零点的分析与求解问题。
1、解决零点个数
常用的方法主要有以下三种：
问题
(1)
化
两个函数
象交点的个数
，利用数形
合思想求解
转
为
图
问题
结
.
(2)
化
函数
转
为
f(x)的
象与
图
x
交点个数的
轴
问题.
(3)将
行参
分离，
化
进
变
转
为
的形式；有
了避免出
时为
现“断点”，可以考虑“倒数分参”.
2、解决含参数的零点
常用的方法主要有以下三种：
问题
(1)分离参数法：分离之后函数无参数，
可得到函数的
象，然后上下移
参数的
，
察直
与函数
象
则
图
动
值观
线
图
交点个数即可.
(2)隔离构造函数法：将一个函数分成两个函数，一个
容易求
的不含参函数，另一个
象是一条直
的
为
导
为图
线
含参函数，
察它
象的
化
，找到
界的位置，易求得参数的取
范
观
们图
变
趋势
临
值
围.
(3)直接构造法：直接研究函数f(x)，
参数
行分
，判断函数
性，利用函数零点存在定理，判断零
对
进
类讨论
单调
点个数，从而求出参数的取
范
值
围.
题型一：利用导数研究零点个数
【典例1-1】（2025·湖南长沙·模拟预测）已知函数
，其中
.
(1)求
的极值；
(2)讨论
的零点的个数.
【典例1-2】（2025·山东淄博·三模）已知函数
.
(1)当
时，判断
有无极值点，并说明理由；
(2)当
时，判断函数
在
上的零点个数并给出证明.
【变式1-1】（2025·湖南·模拟预测）已知
为奇函数.
(1)求a 的值；
(2)解不等式：
；
(3)证明：函数
有3 个零点.
【变式1-2】（2025·湖北恩施·模拟预测）已知函数
，直线
.
(1)若点
是函数
图象上的一点，求点
到直线距离的最小值；
(2)若
，讨论函数
的零点的个数.
题型二：利用函数零点个数求参数范围
【典例2-1】已知函数
.
(1)
时，求
在点
处的切线方程；
(2)
有3 个零点，求a 的取值范围.
【典例2-2】（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知函数
．
(1)若
，证明：函数
在
上单调递增；
(2)若函数
有三个零点，求
的取值范围．
【变式2-1】（2025·山东泰安·模拟预测）已知函数
.
(1)讨论函数
的单调性；
(2)设函数
.
（i）当
时，求
的最大值；
（ii）若函数
的图象与
轴恰有一个交点，求实数
的取值范围.
【变式2-2】（2025·山东泰安·模拟预测）已知函数
在
处有极小值.
(1)求实数的值；
(2)若函数
有三个不同的零点，求实数
的取值范围.
题型三：隐零点问题
【典例3-1】（2025·新疆喀什·模拟预测）已知函数
．
(1)当
时，求
在点
处的切线方程；
(2)若
在区间
上有零点，求实数
的取值范围．
【典例3-2】已知函数
，
(1)当
时，求
的极值；
(2)若
在区间
上存在零点
求a 的取值范围；
【变式3-1】（2025·江西景德镇·模拟预测）(1)证明：
在
上恒成立.
(2)若
，证明：函数
在
上恰有1 个零点.
(3)试讨论函数
在
上的零点个数.
【变式3-2】（2025·重庆·三模）已知函数
，函数
在点
处的切线
方程为
.
(1)求
的值；
(2)讨论
的零点个数.
【变式3-3】（2025·上海·三模）已知函数
.
(1)求函数
的极值；
(2)当
时，证明：
恒成立.
(3)函数
图像上存在多少组关于点
对称的点对？说明你的结论和理由.
题型四：零点赋值问题
【典例4-1】已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
，求
的值；
(3)当
时，证明：
有2 个零点．
【典例4-2】（2025·北京·模拟预测）已知函数
，曲线
在
处的切线方
程为
.
(1)求a，b 的值；
(2)①求证：
只有一个零点；
②记
的零点为
，曲线
在
处的切线l 与x 轴的交点横坐标为
，若
，求u 的
取值范围.
【变式4-1】（2025·广东汕头·三模）已知函数
.
(1)当
时，讨论
的单调性；
(2)若
有两个零点，
为
的导函数.
（i）求实数
的取值范围；
（ii）记
较小的一个零点为
，证明：
.
【变式4-2】（2025·吉林长春·模拟预测）已知函数
，
，设
，
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)证明：当曲线
经过点
时，
有且仅有一个零点；
(3)证明：对小于
的实数
，若关于
方程
恰有三个不同的实根，则
.
题型五：零点差问题
【典例5-1】（2025·北京海淀·三模）已知函数
，曲线
在点
处的切
线斜率为
．
(1)求
的值．
(2)求
在
上的零点个数．
(3)证明：
在
上存在两个零点
，且
．
【典例5-2】（2025·高三·安徽蚌埠·期末）已知函数
．
(1)求函数
在
处的切线方程；
(2)求函数
的极值；
(3)若关于
的方程
有两个根
和
，求证：
．
【变式5-1】（2025·重庆·模拟预测）牛顿在《流数法》一书中，给出了代数方程的一种数值解法——牛顿
法．具体做法如下：如图，设r 是
的根，首先选取
作为r 的初始近似值，若
在点
处的切线与
轴相交于点
，称
是r 的一次近似值；用
替代
重复上面的过程，得到
，称
是
r 的二次近似值；一直重复，可得到一列数：
．在一定精确度下，用四舍五入法取值，当
近似值相等时，该值即作为函数
的一个零点．
(1)若
，当
时，求方程
的二次近似值（保留到小数点后两位）；
(2)牛顿法中蕴含了“以直代曲”的数学思想，直线常常取为曲线的切线或割线，求函数
在点
处的切线，并证明：
；
(3)若
，若关于
的方程
的两个根分别为
，证明：
．
【变式5-2】（2025·河南南阳·一模）已知函数
.
(1)若函数
在
上单调递增，求
的取值范围.
(2)若函数
的两个零点分别是
，且
，证明：
①
随着
的增大而减小；
②
.
【变式5-3】已知函数
有两个零点
．
(1)求实数a 的取值范围；
(2)求证：
；
(3)求证：
．
题型六：max 与min 的零点问题
【典例6-1】（2025·高三·安徽阜阳·开学考试）已知函数
，
.
(1)若曲线
与曲线
在
处的切线平行，求实数
的值；
(2)定义
，记函数
，若函数
有三个零点，求实数
的
取值范围.
【典例6-2】（2025·河南·三模）已知函数
，
，其中
．
(1)求函数
的零点；
(2)
．
（ⅰ）用
表示m，n 的最大值，证明：
；
（ⅱ）是否存在实数a，使得
，
恒成立？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理
由．
【变式6-1】已知函数
.
(1)若
是
的极大值点，求
的值；
(2)用
表示
中的最大值，设函数
，试讨论
零点的个数.
注：若
，当
时，
，当
时，
.
【变式6-2】（2025·浙江·二模）定义
，已知函数
，其中
.
(1)当
时，求过原点的切线方程；
(2)若函数
只有一个零点，求实数
的取值范围.
1．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)讨论
的单调性；
(3)证明：当
时，函数
只有一个零点.
2．已知函数
.若
在
上恰有两个零点，求实数a 的取值范围.
3．（2025·安徽蚌埠·三模）已知函数
．
(1)若
，讨论函数
在
的单调性；
(2)若
在
上有唯一的零点，求实数a 的最小值．
4．（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知函数
.
(1)
时，求
在
处的切线．
(2)求函数
的极值；
(3)若函数
在区间
上恰有两个零点，求
的取值范围．
5．已知函数
．
(1)若
，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
有两个零点，求a 的取值范围．
6．已知函数
．
(1)若
，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)设
，当
时，求函数
的最大值；
(3)讨论函数
与函数
的图象的交点个数．
7．（2025·浙江嘉兴·二模）已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)当
时，存在
，使得
，求证：
；
(3)当
时，判断
的零点个数，并作出证明．
8．已知函数
．
(1)讨论
的极值点个数；
(2)探究
的零点个数.
9．（2025·广东广州·三模）已知函数
.
(1)当
时，求与
相切，且垂直于直线
的直线方程；
(2)若
有两个零点，求实数
的取值范围.
10．（2025·海南·模拟预测）已知函数
．
(1)当
时，求
的极值；
(2)若
在区间
上有且仅有一个零点，求实数a 的取值范围．
11．（2025·安徽六安·模拟预测）已知函数
.
(1)若
为
上的单调函数，求k 的取值范围；
(2)若函数
，求证：k 可以取无数个值，使得每一个
的取值
都恰有三个不同的零
点.
12．（2025·安徽·模拟预测）已知函数
，曲线
在
处的切线斜率为0．
(1)证明：函数
在
上单调递增；
(2)设
，若
，判断函数
的零点个数．
13．（2025·江西·模拟预测）已知
．
(1)当
时，讨论
的单调性；
(2)已知方程
恰有3 个实根，求
的值．
14．（2025·江西南昌·模拟预测）已知函数
，且
不是
的极值点.
(1)求a 的值；
(2)判断
的零点个数.
15．（2025·重庆九龙坡·三模）已知函数
.
(1)当
时，求函数
的极值;
(2)设
有两个不同的零点
，求
的取值范围.
16．已知函数
.
(1)讨论
的零点个数；
(2)记
，证明：在
上，当
时，
的图象恒在
的图象上方.
17．（2025·山东·二模）已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)若
有两个零点，求a 的取值范围．
18．（2025·甘肃白银·二模）已知函数
，
(1)当
时，若直线过原点且与曲线
相切，求的方程.
(2)若关于
的方程
恰有两个不同的正实数根
，求
的取值范围.
19．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）已知
是定义在区间
上的单调递增函数，对于
有如下甲、
乙两个命题：
甲：
是方程
的根；
乙：
是方程
的根.
(1)求证：甲是乙的充分必要条件；
(2)设
，若
，方程
有唯一实数根，求
的值.
20．已知函数
.
(1)当
为何值时，
轴为曲线
的切线；
(2)用
表示
中的最大值，设函数
，试讨论函数
零点的个数.
21．（2025·湖北黄冈·三模）已知函数
．
(1)当
时，求函数
在
上的极值；
(2)用
表示
中的最大值，记函数
，讨论函数
在
上
的零点个数．
22．已知函数
．
(1)求函数
的极值；
(2)若
的导数分别为
，且
，求a 的取值范围；
(3)用
表示m，n 中的最小值，设
，若
，判断函数
的零点个数．
23．（2025·高三·黑龙江大庆·期中）已知函数
(1)若
，证明：
在
上恒成立；
(2)若方程
有两个实数根
且
，证明：
