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专题 02 函数零点、不等式及构造与同构问题
（16 大考向）
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速度提升 技巧掌握 手感养成
重难考向聚焦
锁定目标 精准打击：快速指明将要攻克的核心靶点，明确主攻方向
重难考向保分攻略
授予利器 瓦解难点：总结瓦解此重难考向的核心方法论与实战技巧，精选同源试题巩固内化
重难冲刺练
模拟实战 挑战顶尖：挑战此重难点的中高难度题目，养成稳定攻克难题的“题感”
近三年：函数与方程理论应用，涉及到的知识点多，处理问题的方法与技巧灵活多变，始终是高考考察的
重点之一，命题形式多样，既有选择题填空题，也有解答题应用这个数学思想，难度从容易到困难，都有
出现，属于考察必考点之一。
预测2026年：应用零点存在定理与导数结合，来求零点，恒成立求参，能成立求参，或者证明不等式，
或者解方程，是高考重要的考察方向，特别要注意和向量、数列以及解析几何等知识的应用结合来考察。
考向01 函数与方程1：零点存在性定理
函数零点存在定理：
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)
在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解。
零点主要思维方法，分离参数水平线法求零点，具体如下：
1.分离参数
2.构造函数于水平线
3.构造函数时，要注意函数是否有“水平渐近线”
注意合理的运用二分法来快速解决。
二分法的一般步骤（精确度为 ）（1）确定零点 所在区间为 ，验证 ；
（2）求区间 的中点 ；
（3）计算 ；
①若 则 就是函数的零点；
②若 ，则 ，令 ；
③若 ，则 ，令 ；
（4）判断是否达到精确度：若 ，则得到零点近似值 （或 ），否则重复步骤以上步骤.
1．（25-26高三·山东青岛·阶段练习）定义区间 、 、 、 的长度均为 ，其中
，若已知实数 .则满足不等式 解集的各区间长度之
和为 .
2．（25-26高三上·湖南衡阳·月考）判断一元五次方程 的实根个数为
（ ）
A．5 B．1 C．2 D．3
3．（25-26高三·浙江阶段练习）已知关于 的方程 恰有两个不同的解，则实数 的取值范围
为（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26高三湖南阶段练习）已知 ，且函数 有且仅有一个零点.若
方程 无解，则实数 的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
考向02 函数与方程2：分段函数零点求参
分段函数的零点问题，面临的主要问题是参数对解析式的影响，参数，参数在定义域处，或者参数在分
段解析式处等等，核心策略是“分区间拆解，逐段求解验证”，因为分段函数在不同区间有不同解析
式，零点必须满足“在对应区间内且函数值为0”
①明确分段标准，拆分定义域
②分区间列方程，求解可能零点
③验证区间归属，筛选有效零点
④特殊处理分段点
⑤抓住参数的“临界值”，分层讨论
⑥用图像辅助分析，直观判断零点个数
1．（25-26高三上·广东中山·阶段练习）已知定义在R上的函数 ，若函数
恰有2个零点，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025高三·全国·专题练习）函数 ，设 ， ，若有四个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高二下·浙江舟山·期末）记函数 .已知函数 ，
， ，若 有且只有 个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·陕西·三模）已知函数 定义为： ，若函数 恰好有3个零
点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
考向03 函数与方程3：复合二次型函数零点
.解复合函数 零点问题的：
（1）此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题的开始要作出 的图像
（2）若已知零点个数求参数的范围，则先估计关于 的方程 中 解的
个数，再根据个数与 的图像特点，分配每个函数值 被几个 所对应，从而确定
的取值范围，进而决定参数的范围
1（2025·湖南娄底·模拟预测）已知函数 ， ，若关于 的方程
有3个不同的实数根，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26高三上·辽宁·阶段练习）已知函数 ，若关于 的方程
有且仅有4个不同的实数根，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26高三上·四川广安·阶段练习）已知函数 ，若方程
有且仅有5个不同实数根，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高三·广东清远·阶段练习）已知函数 ，若关于 的方程
有5个不同的实数根，则实数 的取值范围为（ ）A． B．
C． D．
考向04 函数与方程4：镶嵌函数零点求参
.对于复合函数 的零点个数问题，求解思路如下：
（1）确定内层函数 和外层函数 ；
（2）确定外层函数 的零点 ；
（3）确定直线 与内层函数 图象的交点个数分别为 、 、 、 、 ，
则函数 的零点个数为 .
1．（24-25·湖南衡阳·期末）已知函数 ， ，若关于x的方程
有19个不等实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26·湖南邵阳·阶段练习）已知函数 ， ，其中 均为实数．
若方程 有且仅有5个不相等的整数解，则其中最大整数解和最小整数解之积为（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26高三上·重庆·阶段练习）已知函数 ，若函数 有6个零点，则
实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·甘肃武威·模拟预测）已知函数 若函数 恰有3个
零点，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
考向05 函数与不等式1：根的分布
.根的分布
1.基础分布：0分布
特征：（1）、两正根；（2）、两负跟；（3）、一正一负两根。
方法：判别式+韦达定理
2．区间分布与K分布
特征：（1）、根比某个常数K大或者小；（2）、根在某个区间（a，b）内（外）
方法：借助复合条件的大致图像，从以下四点入手（1）开口方向；
（2）判别式；
（3）对称轴位置；
（4）根的分布区间端点对应的函数值正负
如果是“0”分布，可以用韦达定理
指数型根的分布
1. 换元，令 ，有指数函数性质知，t的最大范围为正。
2. 注意题中对方程根的正负范围，对应的t的取值范围
3. 根据换元后新“根”的范围，用一元二次型“根的分布”求解。
4. 特殊的函数式子，可以分离参数，转化为“水平线型”求解。
1．（24-25高三·全国·专题练习）若在定义域内存在实数 ，满足 ，则称 为“有点奇
函数”，若 为定义域 上的“有点奇函数”，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高三·全国·专题练习）若函数 在 上单调递减，
则实数 的取值范围为
A． B．
C． D．
3．（23-24高三上·江苏苏州·开学考试）已知函数 有三个不同的零点 ， ，
，且 ，则实数a的取值范围是 ； 的值为 .
4．（24-25高三江西丰城开学考试）设函数 ， .若方程 在
上有4个不相等的实数根，则 的取值范围是 .
考向06 函数与不等式2：换元构造型
.换元型根的分布，要注意换元前后，新元与旧元的范围传递与变化。比如指数型根的分布
换元，令
1. ，有指数函数性质知，t的最大范围为正。
2.注意题中对方程根的正负范围，对应的t的取值范围
根据换元后新“根”的范围，用一元二次型“根的分布”求解。
3.
4.特殊的函数式子，可以分离参数，转化为“水平线型”求解。
1．（24-25高三·江苏镇江阶段练习）已知函数 ，若函数 在区间 上的值域为
，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．2．（24-25高三·江苏苏州阶段练习）函数 的定义域为 ，若满足：① 在 内是单调函数；②存
在 ，使得 在 上的值域也是 ，则称 为高斯函数．若
是高斯函数，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三河北保定阶段练习）已知函数 ，若存在区间 ，使得函数
在区间 上的值域为 ，则实数k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高三·新疆阿克苏·阶段练习）定义域为 的函数 同时满足条件：①常数 满足 ，区
间 ，②使 在 上的值域为 ，那么我们把 叫做 上的“ 级矩形”
函数．函数 是 上的“ 级矩形”函数，则满足条件的常数对 共有（ ）
A． 对 B． 对 C． 对 D． 对
考向07函数与不等式3：恒成立型求参
恒成立问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数 ，
（1）若 ， ，总有 成立，故 ；
（2）若 ， ，有 成立，故 ；
（3）若 ， ，有 成立，故 ；
（4）若 ， ，有 ，则 的值域是 值域的子集．
1．（24-25高三下·江西南昌·阶段练习）设函数 ，若 恒成立，则
的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025高三·全国·专题练习）若关于 的不等式 对任意的正实数 恒成立，则
的最小值是（ ）
A．7 B．9 C．10 D．
7．（25-26高三上·山东聊城·阶段练习）已知 ， ，不等式
恒成立，则实数a的取值范围是 ．
4．（2025高三·全国·专题练习）已知函数 ，若 恒成立，则 .
考向08 函数与不等式4：能成立型求参.能成立于恒成立之间的关系，可以简单的总结为：
恒成立转化为能成立时候，max与min互换
1．（25-26 ·湖南衡阳阶段练习）已知函数 ，若对任意的
，总存在 ，使得 ，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
2．（25-26高三上·山东济宁·期中）已知函数 ， ，若 ， ，
使得 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26高三·江西丰城·期中）已知 ， ，若任给 ，存在
，使得 ，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2025高三·全国·专题练习）已知函数 （其中 为常数），设 ，存在正数 ，
使得对于区间 上的任意3个实数 ，都存在以 为边长的三角形，则
这样的 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
考向09 导数公式构造1：幂指构造
.幂指函数构造技巧：
1.
2.
3.4.
指数函数，主要是以e为底的函数构造：
1. ，
2.
3. ，
4.
1．（2024·四川德阳·模拟预测）设定义域为 的函数 的导函数为 .已知 ，
，若 在 上恒成立，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025高三·全国·专题练习）定义在 上的函数 的导函数为 ，若对任意实数x，有
，且 为奇函数，则不等式 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
3．（25-26高三上·河南·月考）已知定义在 上的可导函数 的导函数为 ，若
，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26高三上·江苏盐城·月考）已知可导函数 的导函数为 ， 若对任意的 ， 都有
且 为奇函数， 则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
考向10 导数公式构造2：对数函数构造
.对数函数型构造
1.
2.授课时，可以让学生写出y=ln（kx+b）与y=f(x)的加、减、乘、除各种结果
1．（24-25高三上·江苏南京·期中）已知函数 的导函数为 ，当 时， ，
则下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． 在 上单调递减 D．当 时，
2．（23-24·江苏南通·阶段练习）已知函数 的导函数为 ，且 ，当 时， ，
则不等式 的解集为（ ）A． B．
C． D．
3．（23-24高三上·河南周口·阶段练习）已知函数 的定义域为 ，导函数为 ，不等式
恒成立，且 ，则不等式 的解集为
（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高三·河北保定·阶段练习）已知函数 是定义在 上的奇函数， 的图象连续，且
，记 的导函数为 ，若 在 上恒成立，则使
成立的 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
考向11 导数公式构造3：三角函数构造
.三角函数构造：
1. ，
2.
3.对于正切型，可以通分（或者去分母）构造正弦或者余弦积商型
4. ，
5.
1．（23-24安徽六安·阶段练习）函数 是定义在 上的奇函数，其导函数为 ，且
，当 时， ，则关于 的不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高三全国 阶段练习）已知 是定义域为 的函数 的导函数，且
，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24甘肃 阶段练习）定义在 上的函数 ，其导函数是 ，且恒有 成立，
则（ ）A． B． C． D．
4．（24-25高二下·四川绵阳·阶段练习）已知函数 在定义域 上为偶函数，并且 时,
，若 ，则不等式 的解集为 .
考向12 导数公式构造4：线性构造
.比较常见的几种“线性”构造，可以借助这几类做扩展构造，培养这类观察和构造的思维
1. ,或者f（x）+kx+b
2.
。
3.
2．（24-25高三河北阶段练习）若定义在 上的可导函数 满足 ， ，
则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三上·江苏常州·期末）已知定义在 上的函数 的导数为 ， ，且对任意的
满足 ，则不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·浙江·模拟预测）已知 是定义在 上的可导函数，且对于 ， ，
则（ ）
A． B．
C． D．
4．（25-26高三上·四川南充·月考）设函数 的定义域为 ，导数为 ，若当 时，
，且对于任意的实数 ， ，则不等式 的解集为
（ ）
A． B．
C． D．
考向13 构造与同构1：双方程型同构
双方程同构型：
原理：主要是利用指数与对数互为反函数这个函数性质方法：指数和对数底数一致时，可以借助对称轴y=x来构造（要注意是否同时发生了平
移）
1．（25-26高三上·广西·阶段练习）已知正实数a，b满足 和 ，则 的值为
（ ）．
A． B． C． D．
2．（2022·山西太原·一模）已知实数 ， 满足 ， ，则 （ ）
A．112 B．28 C．7 D．4
3．（2025·湖南·一模）已知正实数 满足 和 ．则 的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25·云南曲靖·阶段练习）已知实数 满足 ， ，则 .
考向14 构造与同构2：对化指型同构
对化指同构，主要是借助对数运算性质：
对数的性质：①a ＝ N ； ②log aN＝ N (a>0且a≠1)．
a
1．（2025·甘肃金昌·三模）若关于 的不等式 在 上恒成立，则实数 的取值范围
为（ ）.
A． B． C． D．
2．（2025·海南·模拟预测）若不等式 对任意 恒成立，则实数 的最大值是
（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·湖北·三模）若不等式 恒成立，则实数a的最大值为（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
4．（23-24·湖南衡阳·阶段练习）已知m是方程 的一个根，则
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
考向15 构造与同构3：同构解方程
1．（25-26高三上·四川绵阳·月考）已知函数 恰有4个零点，则实数
a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26高三上·云南·阶段练习）已知函数 与函数 的图象有两个不同的交
点，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．3．（2025·云南·三模）设函数 ， ，若存在 ，使得 ，则
的最大值为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25·山东聊城·阶段练习）已知实数 分别满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
考向16 构造与同构4：同构证明不等式
1．（25-26高三上·山东淄博·期中）已知实数 ， ， 满足 ，则下列关系不可能
成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·湖南益阳·模拟预测）已知 ， ，且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025·山东济南·一模）已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（24-25高三上·贵州贵阳·期末）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
冲刺练
（建议用时：60分钟）
一、单选题
1．（25-26高三上·安徽·月考）已知函数 ，且 ，则 所在区间可以为（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26高三上·江苏无锡·月考）已知函数 ，若方程 有且仅
有 个不同实数根，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26高三上·湖南衡阳·月考）已知函数 ，若有另一函数有且仅有3个不同零点，则常数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26高三上·安徽六安·阶段练习）已知函数 的定义域为 ，且 在 上是单调函
数，若 ，则 的零点为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·四川·模拟预测）已知一元二次函数 的定义域为 ，若 ， ，且
该二次函数的图象经过 、 不同两点，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．（25-26高三上·四川南充·月考）已知 ， 分别为定义域为 的偶函数和奇函数，且
，若关于x的不等式 在 上恒成立，则正实数a的取值范围是（
）
A． B． C． D．
7．（2025·四川德阳·模拟预测）任意实数 ，函数 在 上有最值，则实
数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．（25-26高三上·山东菏泽·期中）已知关于 的方程 在 内有两个不等的实数根，
则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2025·广东佛山·三模）已知函数 及其导函数 的定义域为 ，若 为奇函数，
，且对任意 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．（25-26高三上·重庆南岸·期中）设函数 的定义域为D，如果存在 ，使得 ，那么
我们称 为该函数的一个不动点；若 满足 ，则称 为 的次不动点，下列结论正确的是
（ ）
A．函数 存在次不动点
B．对于函数 ，既存在不动点，也存在次不动点
C．函数 的不动点有2个
D．函数 在 上仅有一个不动点和一个次不动点，则 的取值范围是11．（25-26高三上·河南·阶段练习）已知函数 ，且 ．定义在 上的
函数 ，其导函数为 ，且 ，则下列不等式一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2025高三·全国·专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．若 ，且 ，则
B．若 且 ，则
C．若 ，且 ，则
D．若 且 ，则
三、填空题
13．（25-26高三上·江苏宿迁·期中）已知 ，若对任意的 恒成立，则实数 的最
大值为 .
14．（25-26高三上·陕西西安·月考）已知在平面直角坐标系中，点Q的坐标 满足
，且对于 ，都有 ，则k的取值范围是 .
结束
