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培优点 03 同构函数问题（2 大考点+强化训练）
目录
题型归纳............................................................................................................................................................................................1
题型01 双变量同构问题 ...............................................................................................................................................................1
题型02 指对同构问题...................................................................................................................................................................10
1.指对同构与恒成立问题...............................................................................................................................................................15
2.指对同构与证明不等式...............................................................................................................................................................15
【考情分析】
同构函数问题，是近几年高考的热点问题，考查数学素养和创新思维．同构函数问题是指在不等式、方程、函数中，
通过等价变形形成相同形式，再构造函数，利用函数的性质解决问题，常见的同构有双变量同构和指对同构，一般都
是压轴题，难度较大
【核心题型】
考点一：双变量同构问题
规律方法 含有地位相等的两个变量的不等式(方程)，关键在于对不等式(方程)两边变形或先放缩再变形，使不等式
(方程)两边具有结构的一致性，再构造函数，利用函数的性质解决问题．
【例题1】（2023·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)若曲线 在 处的切线方程为 ，求实数a，b的值；
(2)若 ，对任意的 ，且 ，不等式 恒成立，求m的取值范围．【变式1】（2024·四川·模拟预测）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)设函数 有两个不同的极值点 ， .证明： .
【变式2】（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知函数 .
(1)设函数 ，讨论 的单调性；
(2)设 分别为 的极大值点和极小值点，证明： .
【变式3】（2024·贵州铜仁·模拟预测）已知函数 .
(1)当 时，求函数 的单调递增区间；
(2)当 ， 时，关于 的不等式 恒成立，求实数 的最大值.
(3)设点A(x ,y )、B(x ,y )是函数 图象上两个不同的点，令 ，证明：
1 1 2 2考点二：指对同构问题
规律方法 指对同构的常用形式
(1)积型：aea≤bln b，一般有三种同构方式：
①同左构造形式：aea≤ln beln b，构造函数f(x)＝xex；
②同右构造形式：ealn ea≤bln b，构造函数f(x)＝xln x；
③取对构造形式：a＋ln a≤ln b＋ln(b>1)，构造函数f(x)＝x＋ln x.
(2)商型：≤，一般有三种同构方式：
①同左构造形式：≤，构造函数f(x)＝；
②同右构造形式：≤，构造函数f(x)＝；
③取对构造形式：a－ln a≤ln b－ln(ln b)(b>1)，构造函数f(x)＝x－ln x.
(3)和、差型：ea±a>b±ln b，一般有两种同构方式：
①同左构造形式：ea±a>eln b±ln b，构造函数f(x)＝ex±x；
②同右构造形式：ea±ln ea>b±ln b，构造函数f(x)＝x±ln x.
考向1：指对同构与恒成立问题
【例题2】（2024·全国·模拟预测）若关于 的不等式 在 上恒成立，则实数 的取值范围为
（ ）
A． B．
C． D．【变式1】（2022·安徽马鞍山·模拟预测）设实数 ，对任意实数 ，若不等式 恒成立，则实
数a的取值范围是（）
A． B． C． D．
【变式2】（2023·湖南郴州·三模）设实数 ，若对任意的 ，不等式 恒成立，则实
数 的取值范围为 .
【变式3】（2023·河北保定·三模）若 ，不等式 恒成立，则实数 的最小值为
.
考向2 指对同构与证明不等式
【例题3】（2022高三·全国·专题练习）已知函数 .当x＞y＞e－1时，求证：
.
【变式1】（2024·四川内江·模拟预测）已知函数 .
(1)讨论函数 的导函数 的零点个数；
(2)若 有两个极值点 ，求证：
（i） ；
（ii） .【变式2】（2023·陕西铜川·一模）已知函数 ．
(1)若 存在零点，求 的取值范围；
(2)若 ，求证： ．
【变式3】（2022·四川成都·一模）设函数 （ ）．
(1)求 的单调区间；
(2)若 的两个零点 且 ，求证：
【强化训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·河南焦作）已知当 时， 恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·河南·模拟预测）已知 ，对任意的 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
3．（2020·江苏常州·模拟预测） ，不等式 恒成立，求a的最小值是
4．（2023·江西鹰潭·一模）已知函数 ，若 恒成立，则实数a的取值范围为 .
三、解答题
5．（2021·山西·一模）已知函数f（x）＝ln x＋ax2－x.
(1)若a＝－1，求函数f（x）的极值；
(2)设f′（x）为f（x）的导函数，若x，x 是函数f′（x）的两个不相等的零点，求证：f（x）＋f（x）<x＋x－5.
1 2 1 2 1 2
6．（2022·安徽黄山·二模）已知函数 .
(1)求 的极值；
(2)当 时， 求证： .7．（2023·河南洛阳·模拟预测）已知函数 .
(1)若 ，求 的极值；
(2) ，若函数 有两个零点 ，且 ，求证： .
8．（2023·河北张家口·二模）已知函数 .
(1)若函数 为其定义域上的单调函数，求实数 的取值范围；
(2)若函数 的极值点为 ，求证： .
9．（2023·河北·一模）已知函数 .
(1)若 ，求 的极值；
(2)若函数 有两个零点 ， ，且 ，求证： .
