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考前回顾 08 函数与导数（知识清单+易错分析+23 年高考真
题+24 年最新模拟）
知识清单
1．函数的定义域和值域
(1)求函数定义域的类型和相应方法
若已知函数的解析式，则函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围．
(2)常见函数的值域
①一次函数y＝kx＋b(k≠0)的值域为R；
②二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)：当a>0时，值域为，当a<0时，值域为；
③反比例函数y＝(k≠0)的值域为{y∈R|y≠0}．
2．函数的奇偶性、周期性
(1)奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，对于定义域内的任意 x(定义域关于原点对称)，都有f(－x)＝－
f ( x ) 成立，则f(x)为奇函数(都有f(－x)＝ f ( x ) 成立，则f(x)为偶函数)．
(2)周期性是函数在其定义域上的整体性质，一般地，对于函数f(x)，如果对于定义域内的任意一个x的值，
若 f ( x ＋ T ) ＝ f ( x )( T ≠ 0) ，则f(x)是周期函数，T是它的一个周期．
3．关于函数周期性、对称性的结论
(1)函数的周期性
①若函数f(x)满足f(x＋a)＝f(x－a)，则f(x)为周期函数， 2 a 是它的一个周期；
②若函数f(x)满足f(x＋a)＝，则f(x)为周期函数， 2 a 是它的一个周期；
③若函数f(x)满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)为周期函数， 2 a 是它的一个周期．
(2)函数图象的对称性
①若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，
则函数f(x)的图象关于直线x＝对称．
②若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝－f(b－x)，
则函数f(x)的图象关于点对称．
4．函数的单调性
函数的单调性是函数在其定义域上的局部性质．
(1)单调性的定义的等价形式：设任意x，x∈[a，b]，且x≠x，
1 2 1 2
那么(x－x)[f(x)－f(x)]>0⇔>0⇔f(x)在[a，b]上单调递增；
1 2 1 2
(x－x)[f(x)－f(x)]<0⇔<0⇔f(x)在[a，b]上单调递减．
1 2 1 2(2)若函数f(x)和g(x)都是减函数，则在公共定义域内，f(x)＋g(x)是减函数；若函数f(x)和g(x)都是增函数，
则在公共定义域内，f(x)＋g(x)是增函数；根据同增异减判断复合函数y＝f(g(x))的单调性．
5．指数函数与对数函数的基本性质
(1)定点：y＝ax(a>0，且a≠1)恒过(0,1)点；
y＝log x(a>0，且a≠1)恒过(1,0)点．
a
(2)单调性：当a>1时，y＝ax在R上单调递增；y＝log x在(0，＋∞)上单调递增；
a
当0<a<1时，y＝ax在R上单调递减；y＝log x在(0，＋∞)上单调递减．
a
6．函数的零点
(1)零点定义：对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点．
(2)确定函数零点的三种常用方法
①解方程判定法：解方程f(x)＝0；
②零点存在定理法：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，
函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的
解．
③数形结合法：尤其是方程两端对应的函数类型不同时多用此法求解．
7．导数的几何意义
(1)f′(x)的几何意义：曲线y＝f(x)在点(x ，f(x))处的切线的斜率，该切线的方程为y－f(x)＝f′(x)·(x－
0 0 0 0 0
x)．
0
(2)切点的两大特征：①在曲线y＝f(x)上；②在切线上．
8．利用导数研究函数的单调性
(1)求可导函数单调区间的一般步骤
①求函数f(x)的定义域；
②求导函数f′(x)；
③由f′(x)>0的解集确定函数f(x)的单调递增区间，由f′(x)<0的解集确定函数f(x)的单调递减区间．
(2)由函数的单调性求参数的取值范围
①若可导函数f(x)在区间M上单调递增，则f′(x)≥0(x∈M)恒成立；若可导函数f(x)在区间M上单调递减，
则f′(x)≤0(x∈M)恒成立；
②若可导函数在某区间上存在单调递增(减)区间，f′(x)>0(或f′(x)<0)在该区间上存在解集；
③若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，则I是其单调区间的子
集．
9．利用导数研究函数的极值与最值
(1)求函数的极值的一般步骤
①确定函数的定义域；
②解方程f′(x)＝0；
③判断f′(x)在方程f′(x)＝0的根x 附近两侧的符号变化：
0
若左正右负，则x 为极大值点；
0若左负右正，则x 为极小值点；
0
若不变号，则x 不是极值点．
0
(2)求函数f(x)在区间[a，b]上的最值的一般步骤
①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值；
②比较函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)的大小，最大的一个是最大值，最小的一个是最小
值．
10．常见的含有导数的几种不等式构造原函数类型
(1)对于f′(x)±g′(x)>0，构造函数h(x)＝f(x)±g(x)．
(2)对于f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，构造函数h(x)＝f(x)g(x)．
(3)对于f′(x)g(x)－f(x)g′(x)>0，构造函数h(x)＝(g(x)≠0)．
例如，对于xf′(x)＋f(x)>0，构造函数h(x)＝xf(x)，
对于xf′(x)－f(x)>0，构造函数h(x)＝.
对于f(x)＋f′(x)>0，构造函数h(x)＝exf(x)，
对于f′(x)－f(x)>0，构造函数h(x)＝.
易错提醒
1．解决函数问题时要注意函数的定义域，要树立定义域优先原则．
2．解决分段函数问题时，要注意与解析式对应的自变量的取值范围．
3．求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“和”连接或用“，”
隔开．单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替．
4．判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定
义域不受影响．
5．准确理解基本初等函数的定义和性质．如指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的单调性容易忽视对a的取值进行
讨论；对数函数y＝log x(a>0，a≠1)容易忽视真数与底数的限制条件．
a
6．易混淆函数的零点和函数图象与x轴的交点，不能把函数零点、方程的解、不等式解集的端点值进行准
确互化．
7．已知可导函数f(x)在区间(a，b)上单调递增(减)，则f′(x)≥0(≤0)对∀x∈(a，b)恒成立，不能漏掉
“＝”，且需验证“＝”不能恒成立．
8．f′(x)＝0的解不一定是函数f(x)的极值点．一定要检验在x＝x 的两侧f′(x)的符号是否发生变化，若变化，
0
则为极值点；若不变化，则不是极值点．
易错分析
易错点1 对复合函数定义域的理解不透彻致误
1.[江苏三校 2023 联考]已知函数 的定义域是 ，则 的定义域是
（ ）2. [江苏扬州高邮2022调研]已知 ，且 的定义域为 ，值域为 ，设函
数 的定义域为 ，值域为 ，则 （ ）
易错点2 忽视函数定义域而致误
3.[重庆2023一诊]已知定义域为 的减函数 满足 ，且 ，则不
等式 的解集为 .
4.[安徽黄山 2022 一模]连续函数 是定义在 上的偶函数，当 时， 若
，则 的取值范围是（ ）
5.[河南中原顶级名校2022联考]函数 的零点个数为（ ）
易错点3 不能正确理解分段函数在定义域内的单调性致误
6.[吉林部分学校2023大联考]已知函数 是 上的单调函数，
则 的取值范围是（ ）
易错点4 对数型复合函数的定义域为 和值域为 理解不透彻致误
7.[河北“五个一”名校2023联考]已知函数 的值域为 ，那么 的取值范围是
.
易错点5 函数的图象画的不准确而致误8.[河北2023联考]已知函数
若函数 有3个零点，则 的取值范围是（ ）
易错点6 利用数形结合法求方程根的个数时，所画的两函数的图象的位置不准确而致误
9. [江苏常州一中2023调研]若函数 的定义域为 ， 为奇函数， 为偶函数，当
时， ，则下列结论错误的是（ ）
易错点7 忽视分段函数交界处的函数值的大小
10.[湖北鄂西北四校 2022 联考]已知 满足对于任意实数 ，都有
成立，则实数 的取值范围是 .
易错点8 底数含参数的对数函数忽视分类讨论而致误
11.[江苏南京师大附中2022开学考改编]当 时， ，则 的取值范围是 .
易错点9 对数型复合函数单调性判断不清致误
12.[四川泸州江阳区2022期末]若函数 与 互为反函数，则 的单调递减区
间是 .
易错点10 忽视函数图象端点的取值致错
13.[陕西安康2022期末]已知函数 ，若函数 有
6个零点，则 的取值范围是（ ）易错点11 混淆曲线在某点处的切线方程与过某点的切线方程
14.[江苏南通2023期末]已知函数 ，则曲线 经过点 的切线方程是
.
3.[陕西安康2022调研]曲线 过点 的切线方程是（ ）
易错点12 混淆极值点的含义致误
15. [河南洛阳 2023 月考]若 是函数 的极值点，则 的值为（
）
16. [山西长治八中2022测评]已知函数 在 处取得极值0，则 （
）
高考真题
一．选择题（共13小题）
1．（2023•全国）若 ，且 ，则
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2023•新高考Ⅰ）设函数 在区间 单调递减，则 的取值范围是
A． ， B． ， C． ， D． ，
3．（2023•天津）函数 的图象如图所示，则 的解析式可能为A． B．
C． D．
4．（2023•上海）下列函数是偶函数的是
A． B． C． D．
5．（2023•甲卷）曲线 在点 处的切线方程为
A． B． C． D．
6．（2023•乙卷）已知 是偶函数，则
A． B． C．1 D．2
7．（2023•北京）下列函数中在区间 上单调递增的是
A． B． C． D．
8．（2023•新高考Ⅱ）已知函数 在区间 上单调递增，则 的最小值为
A． B． C． D．
9．（2023•新高考Ⅱ）若 为偶函数，则
A． B．0 C． D．1
10．（2023•甲卷）函数 的图象由 的图象向左平移 个单位长度得到，则的图象与直线 的交点个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
11．（2023•乙卷）函数 存在3个零点，则 的取值范围是
A． B． C． D．
12．（2023•全国）已知函数 在 处取得极小值1，则
A． B．0 C．1 D．2
13．（2023•甲卷）已知函数 ．记 ， ， ，则
A． B． C． D．
二．多选题（共3小题）
14．（2023•新高考Ⅱ）若函数 既有极大值也有极小值，则
A． B． C． D．
15．（2023•新高考Ⅰ）已知函数 的定义域为 ， ，则
A． B． （1）
C． 是偶函数 D． 为 的极小值点
16．（2023•新高考Ⅰ）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级
，其中常数 是听觉下限阈值， 是实际声压．下表为不同声源的声压级：
声源 与声源的 声压级
距离
燃油汽车 10
混合动力汽 10
车
电动汽车 10 40已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车 处测得实际声压分别为 ， ， ，则
A． B． C． D．
三．填空题（共11小题）
17．（2023•甲卷）若 为偶函数，则 ．
18．（2023•甲卷）若 为偶函数，则 ．
19．（2023•全国） 为 上奇函数， ， （1） （2） （3） （4） （5）
， ．
20．（2023•上海）已知函数 ，且 ，则方程 的解为 ．
21．（2023•北京）已知函数 ，则 ．
22．（2023•上海）已知函数 ，则函数 的值域为 ．
23．（2023•全国）曲线 在 处切线方程为 ．
24．（2023•全国）已知函数 ，则 在区间 的最大值为 ．
25．（2023•乙卷）设 ，若函数 在 上单调递增，则 的取值范围是 ．
26．（2023•天津）若函数 有且仅有两个零点，则 的取值范围为 ．
27．（2023•北京）设 ，函数 给出下列四个结论，正确的序号为 ．
① 在区间 上单调递减；
②当 时， 存在最大值；③设 ， ， ， ，则 ；
④设 ， ， ， ，若 存在最小值，则 的取值范围是 ， ．
四．解答题（共11小题）
28．（2023•上海）为了节能环保、节约材料，定义建筑物的“体形系数” ，其中 为建筑物暴露
在空气中的面积（单位：平方米）， 为建筑物的体积（单位：立方米）．
（1）若有一个圆柱体建筑的底面半径为 ，高度为 ，暴露在空气中的部分为上底面和侧面，试求该建
筑体的“体形系数” ；（结果用含 、 的代数式表示）
（2）定义建筑物的“形状因子”为 ，其中 为建筑物底面面积， 为建筑物底面周长，又定义
为总建筑面积，即为每层建筑面积之和（每层建筑面积为每一层的底面面积）．设 为某宿舍楼的层数，
层高为3米，则可以推导出该宿舍楼的“体形系数”为 ．当 ， 时，试求当
该宿舍楼的层数 为多少时，“体形系数” 最小．
29．（2023•甲卷）已知 ， ．
（1）若 ，讨论 的单调性；
（2）若 恒成立，求 的取值范围．
30．（2023•上海）已知 ， ，函数 ．
（1）若 ，求函数的定义域，并判断是否存在 使得 是奇函数，说明理由；（2）若函数过点 ，且函数 与 轴负半轴有两个不同交点，求此时 的值和 的取值范围．
31．（2023•新高考Ⅰ）已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）证明：当 时， ．
32．（2023•甲卷）已知函数 ， ．
（1）当 时，讨论 的单调性；
（2）若 ，求 的取值范围．
33．（2023•新高考Ⅱ）（1）证明：当 时， ；
（2）已知函数 ，若 为 的极大值点，求 的取值范围．34．（2023•乙卷）已知函数 ．
（1）当 时，求曲线 在点 ， （1） 处的切线方程；
（2）是否存在 ， ，使得曲线 关于直线 对称，若存在，求 ， 的值，若不存在，说明理
由；
（3）若 在 存在极值，求 的取值范围．
35．（2023•北京）设函数 ，曲线 在点 ， （1） 处的切线方程为 ．
（Ⅰ）求 ， 的值；
（Ⅱ）设 ，求 的单调区间；
（Ⅲ）求 的极值点的个数．
36．（2023•上海）已知函数 ， （其中 ， ， ，若任意
， 均有 ，则称函数 是函数 的“控制函数”，且对所有满足条件的函数在 处取得的最小值记为 ．
（1）若 ， ，试判断函数 是否为函数 的“控制函数”，并说明理由；
（2）若 ，曲线 在 处的切线为直线 ，证明：函数 为函数 的
“控制函数”，并求 的值；
（3）若曲线 在 ， 处的切线过点 ，且 ， ，证明：当且仅当 或
时， （c） （c）．
37．（2023•乙卷）已知函数 ．
（1）当 时，求曲线 在点 ， （1） 处的切线方程；
（2）若函数 在 单调递增，求 的取值范围．
38．（2023•天津）已知函数 ．
（Ⅰ）求曲线 在 处的切线斜率；
（Ⅱ）当 时，求证： ；
（Ⅲ）证明： ．最新模拟
一．选择题（共8小题）
1．（2024•武汉模拟）人的心脏跳动时，血压在增加或减少．若某人的血压满足函数式
，其中 为血压（单位： ， 为时间（单位： ，则此人每分钟心跳
的次数为
A．50 B．70 C．90 D．130
2．（2024•云南一模）已知函数 ，若 ， ， （3），则
A． B． C． D．
3．（2024•2月份模拟）遗忘曲线（又称作“艾宾浩斯记忆曲线” 由德国心理学家艾 宾浩斯 ．
研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律．人体大脑对新事物遗忘的循序渐进的直观
描述，人们可以从遗忘曲线中掌握遗忘规律并加以利用，从而提升自我记忆能力．该曲线对人类记忆认知
研究产生了重大影响．陈同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率 与初次记忆经过
的时间 （小时）的大致关系： ．若陈同学需要在明天15时考语文考试时拥有复习背诵记忆
的 ，则他复习背诵时间需大约在
A． B． C． D．
4．（2024•五华区校级模拟）网购已成为人们习以为常的生活方式，大量的网购增加了人们对快递的需求，
快递量几何级增长，快递包装箱的消费量也十分惊人，瓦楞纸板是最主要的快递包装材料，如何使用更少
的纸板来包裹更多的物品，这对于环境保护和商家的利益都是非常重要的问题．现某商家需设计一体积为
的纸箱．要求纸箱底面必须为正方形，为了保护易碎的商品，纸箱的底面和顶面必须用双层瓦楞纸
板制成．已知瓦楞纸板的市场价格大约为1元 ，则一个纸箱的成本最低约为（参考数据： ，A．0.32元 B．0.44元 C．0.56元 D．0.64元
5．（2024•湖北模拟）已知 对任意 ， 恒成立，则实数 的取值范围为
A． ， B． ， C． ， D． ，
6．（2024•东莞市校级一模）已知集合 ，若 ， ， 且互不相等，则使得指数
函数 ，对数函数 ，幂函数 中至少有两个函数在 上单调递增的有序数对 ， ，
的个数是
A．16 B．24 C．32 D．48
7．（2024•邵阳模拟）已知函数 的定义域为 ， 为 的导函数．若 （1） ，且
在 上恒成立，则不等式 的解集为
A． B． C． D．
8．（2024•重庆模拟）已知 是奇函数，则 在点 ， 处的切线方程为
A． B． C． D．
二．多选题（共1小题）
9．（2024•如皋市模拟）设 为常数， ， ，则
A． B． 恒成立
C． D．满足条件的 不止一个
三．填空题（共7小题）10．（2024•江西模拟）若不等式 在 ， 上恒成立，则 的最大值为 ．
11．（2024•重庆模拟）给机器人输入一个指令 ， （其中常数 后，该机器人在坐标平面
上先面向 轴正方向行走 个单位距离，接着原地逆时针旋转 后再面向 轴正方向行走 个单位
距离，如此就完成一次操作．已知该机器人的安全活动区域满足 ，若开始时机器人在函数
图象上的点 处面向 轴正方向，经过一次操作后该机器人落在安全区域内的一点 处，且点 恰好也在
函数 图象上，则 ．
12．（2024•常德模拟）已知曲线 在 处的切线 与圆 相交于 、 两
点，则 ．
13．（2024•罗湖区校级模拟）已知函数 若函数 的图象在点 ， 和
点 ， 处的两条切线相互平行且分别交 轴于 ， 两点，则 的取值范围为 ．
14．（2024•沙依巴克区校级模拟）已知函数 ，若 ， 是方程 的两不等实根，
则 的最小值是 ．
15 ． （ 2024• 黄 浦 区 校 级 模 拟 ） 设 函 数 ， 若 对 任 意 ， 皆 有
成立，则实数 的取值范围是 ．16．（2024•中山市校级模拟）若关于 的不等式 在 ， 上恒成立，则实数
的最大值为 ．
四．解答题（共11小题）
17．（2024•榆阳区校级一模）已知函数 ．
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若 ， ，使得不等式 成立，求实数 的取值范围．
18．（2024•庄浪县校级一模）设 ， ，且 （1） ．
（1）求 的值及 的定义域．
（2）求 在区间 ， 上的最大值．
19．（2024•广东模拟）已知函数 ．
（1）若 ，求曲线 在 ， （1） 处的切线方程；
（2）若 ， 恒成立，求实数 的取值范围．20．（2024•龙岗区校级模拟）已知函数 ．
（1）若 在 上有唯一零点，求 的取值范围；
（2）若 对任意实数 恒成立，证明： ．
21．（2024•重庆模拟）已知函数 为实数）．
（1）求函数 的单调区间；
（2）若存在两个不相等的正数 ， 满足 ，求证 ．
（3）若 有两个零点 ， ，证明： ．
22．（2024•吉林模拟）在平面直角坐标系 中， 的直角顶点 在 轴上，另一个顶点 在函
数 图象上．
（1）当顶点 在 轴上方时，求 以 轴为旋转轴，边 和边 旋转一周形成的面所围成的几
何体的体积的最大值；
（2）已知函数 ，关于 的方程 有两个不等实根 ， ．
求实数 的取值范围；证明： ．
23．（2024•汕头一模）2023年11月，我国教育部发布了《中小学实验教学基本目录》，内容包括高中数
学在内共有16个学科900多项实验与实践活动．
我市某学校的数学老师组织学生到“牛田洋”进行科学实践活动，在某种植番石榴的果园中，老师建议学
生尝试去摘全园最大的番石榴，规定只能摘一次，并且只可以向前走，不能回头．结果，学生小明两手空
空走出果园，因为他不知道前面是否有更大的，所以没有摘，走到前面时，又发觉总不及之前见到的，最
后什么也没摘到．
假设小明在果园中一共会遇到 颗番石榴（不妨设 颗番石榴的大小各不相同），最大的那颗番石榴出现
在各个位置上的概率相等，为了尽可能在这些番石榴中摘到那颗最大的，小明在老师的指导下采用了如下
策略：不摘前 颗番石榴，自第 颗开始，只要发现比他前面见过的番石榴大的，就摘这颗番
石榴，否则就摘最后一颗．
设 ，记该学生摘到那颗最大番石榴的概率为 ．
（1）若 ， ，求 ；
（2）当 趋向于无穷大时，从理论的角度，求 的最大值及 取最大值时 的值．
（取
24．（2024•天津模拟） ， ，已知 的图象在 ， 处的切线
与 轴平行或重合．
（1）求 的值；（2）若对 ， 恒成立，求 的取值范围；
（3）利用如表数据证明： ．
1.010 0.990 2.182 0.458 2.204 0.454
25．（2024•济宁一模）已知函数 ．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若 ，证明：对任意 ，存在唯一的实数 ， ，使得 成
立；
（3）设 ，数列 的前 项和为 ．证明： ．
26．（2024•广东模拟）已知函数 有极值点
（Ⅰ）求函数 的单调区间及 的取值范围；
（Ⅱ）若函数 有两个极值点 、 ，且 ，求 的值．27．（2024•海淀区校级模拟）已知函数
（Ⅰ）求函数 的单调区间；
（Ⅱ）若存在两条直线 ， 都是曲线 的切线．求实数 的取值范围；
（Ⅲ）若 ， ，求实数 的取值范围．
