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第 3 讲 导数的几何意义及函数的单调性（3 大考点+强化训练）
【知识导图】
【考点分析】
考点一 导数的几何意义与计算
1．导数的几何意义
(1)函数在某点的导数即曲线在该点处的切线的斜率．
(2)曲线在某点的切线与曲线过某点的切线不同．
(3)切点既在切线上，又在曲线上．
2．复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′·u′.
u x
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知幂函数 在 上单调递减，则曲线 在
处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用幂函数定义解方程并利用单调性可得 ，再由导数的几何意义即可求得结果.【详解】由于 为幂函数，则 ，解得 或 ，
又 在 上单调递减，得 ，即 ，故 ，
则 ，
可得 ， ，则 ，
故曲线 在 处的切线方程为 ，即 ，
故选：C．
二、填空题
2．（2024·山西·校联考模拟预测）已知函数 ，若直线 与曲线 相切，
则 .
【答案】 /
【分析】根据切线的斜率求出切点，再代入切线方程即可得解.
【详解】设切点为 ，
，
由题意可得 ，
因为函数 在 上都是增函数，
所以函数 在 上是增函数，
又 ，所以 ，
所以切点为 ，
则 ，解得 .
故答案为： .
3．（2024上·广东深圳·高三深圳外国语学校校联考期末）已知，则 .（用数字作答）
【答案】405
【分析】两边求导，令 即可得结果.
【详解】对 两边求导得：
，
令 ，可得 .
故答案为： .
考点二 利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数单调性的步骤
(1)求函数y＝f(x)的定义域．
(2)求f(x)的导数f′(x)．
(3)求出f′(x)的零点，划分单调区间．
(4)判断f′(x)在各个单调区间内的符号．
一、单选题
1．已知函数 在区间 上不单调，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由于函数 在区间 上不单调，等价于函数 在区间 上存在极值点，对函数 求导，
对 分类讨论，求出极值点，根据极值点在区间 内，可得关于 的不等式，即可求出结果．
【详解】由 .
①当 时，函数 单调递增，不合题意；
②当 时，函数 的极值点为 ，若函数 在区间 不单调，必有 ，解得 ；
综上所述：实数a的取值范围为 .
故选：B.
二、解答题
2．（2024上·山西·高三期末）已知函数 ， .
(1)求证：函数 存在单调递减区间，并求出该函数单调递减区间 的长度 的取值范围；
(2)当 时， 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）先求 ，然后分析 的根，由此完成证明；利用韦达定理表示出 结合 的
范围求解出其范围；
（2）将问题转化为“ 在 上恒成立”，建立函数
，通过多次求导分析函数单调性的过程求解出 的取值范围.
【详解】（1） ，
令 ，
因为 ，二次函数对称轴 ， ，
且 恒成立，
所以 恒有两个不相等的正实根，且这两个正实根分别为 ， ， ，
所以 的单调递减区间是 ，所以单调递减区间 的长度 ，
因为 ，所以 的取值范围为 ；
（2）由题意 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
令 ，
则 ，令 ，
则 ，令 ，
则 ，令 ，
则 ，当 时， ，
所以 在 上单调递减， ，
所以 在 上单调递减， ，
当 ，即 时， ，
所以 在 上单调递减， ，
所以 在 上单调递减， 成立，所以 ；
当 ，即 ，单调递减函数 在 时， ，且 ，
所以 在 上有根，记为 ，
在 上， ，在 上 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，且 ，函数 在 时， ，
因此 在 上有解，记为 ，
在 上， ， 单调递增，而 ，
因此在 上， ，从而在 上 不恒成立，
综上所述， 的取值范围是 .
【点睛】方法点睛：利用导数求解参数范围的两种常用方法：
（1）分离参数法：将参数和自变量分离开来，构造关于自变量的新函数，研究新函数最值与参数之间的
关系，求解出参数范围；
（2）分类讨论法：根据题意分析参数的临界值，根据临界值作分类讨论，分别求解出满足题意的参数范
围最后取并集.
3．（2024上·天津河北·高三统考期末）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)当 时，求函数 的单调区间；
(3)在（2）的条件下，当 时， ，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)单调递减区间是 ，单调递增区间是
(3)
【分析】（1）当 时，分别求出 的值即可得解.
（2）对函数 求导，令 ，得 或 ，且满足 ，进一步即可得解.
（3）由题意只需 ，即 ，解不等
式即可得解.
【详解】（1） 时， ，
，整理得 .
曲线 在点 处的切线方程为 .
（2） ，
，
令 ，
，解得 或 ，且满足 .
当 变化时， 的变化情况如下表：
2
- 0 + 0 -
极大
极小值
值
函数 单调递减区间是 ，单调递增区间是 .
（3）由（2）可知，函数 在区间 单调递增，在区间 单调递减，
，解得 ，
，
实数 的取值范围为 .
【点睛】关键点睛：第二问的关键是将极值点先求出来，然后根据导数与单调性的关系即可得解，第三问
的关键是由 ，列出相应的不等式，从而即可顺利得解.
考点三 单调性的简单应用
1．函数f(x)在区间D上单调递增(或递减)，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在x∈D上恒成立．
2．函数f(x)在区间D上存在单调递增(或递减)区间，可转化为f′(x)>0(或f′(x)<0)在x∈D上有解．
一、单选题
1．（2024上·甘肃兰州·高三校考阶段练习）已知函数 的定义域为 ， ， 且
在 恒有 成立，则 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由题意，可得函数 的图象关于 对称，且在 上单调递增，在 上单调递减，
从而可判断出函数 的正负分布情况， 即为 或 ，进而可得出答案.【详解】因为 ，所以函数 的图象关于 对称，
因为 在 恒有 成立，
所以函数 在 上单调递增，
由对称性可得函数 在 上单调递减，
又 ，所以 ，
故当 时， ，当 或 时， ，
由 ，得 或 ，
所以 或 ，解得 或 ，
即 的解集为 .
故选：D.
【点睛】关键点点睛：由题意得出函数的对称性及单调性，从而判断出函数 的正负分布情况，是解决
本题的关键.
二、解答题
2．（2024上·河北·高三雄县第一高级中学校联考期末）已知函数 为常
数，过曲线 上一点 处的切线与 轴垂直.
(1)求 的值及 的单调递增区间；
(2)若对任意的 ，使得 （ 是自然对数的底数）恒成立，求实数 的取值范
围.
【答案】(1) ， ， 的单调递增区间为(2)
【分析】（1）由题意可得 ， ，联立可求得 ， ，根据二阶导数大于0，可得一
阶导函数单调递增，讨论可得函数 得单调区间；
（2）由题意可得 ，由（1）可知所以当 时， ，讨论可得
，进而得出 恒成立，进而求解即可得证.
【详解】（1） ，
，
又 ，
，
则 ，
令 ，
在 上单调递增，又 ，
所以不等式 的解集为 ，
故函数 的单调递增区间为 .
（2）若对任意的 ，使得 恒成立，
只需 ，
由（1）知， 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以当 时， ，为 中的最大值，
，
令 ，则 ，
在 上是增函数，而 ，
即 ，
，
对于 ，则 ，所以函数 在 上是增函数，
所以 ，因为 ，
所以 的取值范围为 .
【点睛】（1）主要考查导数的几何意义，运用解方程得思想求出 ， ，二次求导是解决本题单调
性的重要方法；（2）证明的关键有两点：1、对任意的 ，使得 恒成立，
转化为证明 ，2、讨论 中的最大值，进而证明 恒成立.
3．（2024上·江苏盐城射阳中学校联考期末）设函数 .
(1)求 在 处的切线方程；
(2)若 在 上单调递增，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件，利用导数的几何意义即可求出结果；
（2）根据条件，将问题转化成 恒成立，再构造函数 ，将问题转化成求函数的最大值，再利用导数与函数单调性间的关系即可求出结果.
【详解】（1）因为 ，则 ，
当 时， ， ，所以 在 处的切线方程为 .
（2）因为 在 上单调递增，所以 恒成立，即 恒成立，
令 ，则 ，当 时， ，当 时， ，
即 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
所以 ，故 .
【强化训练】
一、单选题
1．对于三次函数 ，给出定义：设 是函数 的导数， 是
的导数，若方程 有实数解 ，则称点 为函数 的“拐点” 经过探究发现：
任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心 设函数
，则
A．2016 B．2017 C．2018 D．2019
【答案】C
【详解】分析：对已知函数求两次导数可得图象关于点 对称，即 ，利用倒序相加
法即可得到结论.
详解：函数 ，
函数的导数 ， ，由 得 ，
解得 ，而 ，
故函数 关于点 对称，
，
故设 ，
则 ，
两式相加得 ，则 ，故选C.
点睛：本题主要考查初等函数的求导公式，正确理解“拐点”并利用“拐点”求出函数的对称中心是解决
本题的关键，求和的过程中使用了倒序相加法，属于难题.
2．已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】观察到 ，构造函数 进行尝试比较 ，可证
其在 是增函数，由 可得 ，
对于 ，注意到 ，把 换成 ，直接构造函数 进行尝试比较
其大小，证明其在 是增函数，由 可得 ，可得答案.
【详解】令 ，则 ，
当 时， ， 在 是增函数，
所以 ，所以 ，
即 ，所以 ，令 ，则 ，
当 时， ， 在 是增函数，
所以 ，所以 ，
即 ，所以 ，
综上 .
故选：B.
【点睛】本题属于构造函数，利用单调性比较大小问题，是近几年的高考热点，往往要求高难度大，解决
问题的关键在于构造函数，平时对常见函数要熟悉，解题时细心观察题目特征，联想构造函数，利用导数
判断单调性求解.
3．（2023上·江苏盐城阜宁中学校联考期末）已知点P是曲线 上一动点， 为曲线在点P处的切
线的倾斜角，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出函数 的导数，利用均值不等式求出切线斜率的取值范围即可计算作答.
【详解】函数 的定义域是R，求导得：函数 ，而 ，
则曲线在点 处的切线的斜率 ，
当且仅当 ，即 ， 时取“=”，而 ，
于是得 ，又 ，因此， ，所以 的取值范围是 .
故选：A
4．若对任意的 ， ，且 ，都有 ，则m的最小值是（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【分析】已知不等式变形为 ，引入函数 ，
则其为减函数，由导数求出 的减区间后可 的最小值．
【详解】因为 ，
所以由 ，
可得 ，
，
即 ．
所以 在 上是减函数，
，
当 时， ， 递增，
当 时， ， 递减，
即 的减区间是 ，
所以由题意 的最小值是 ．
故选：A．5．（2023下·四川宜宾校考期中）设函数 ，曲线 在点 处的切线方程
为 ．则 （ ）
A．0 B．2 C．1 D．
【答案】C
【分析】对函数 求导，再利用导数的几何意义求解作答.
【详解】函数 ，求导得 ，显然 ，
因此 ，解得 ，
所以 .
故选：C
6．已知函数 ，则 等于（ ）
A．0 B．2 C． D．
【答案】D
【分析】利用诱导公式化简函数 ，再对函数 求导，从而可求得 的值.
【详解】∵ ，
∴ ，则 ，
∴ .
故选：D.
二、多选题
7．（2023上·云南·高三校联考阶段练习）已知 ， ， 是 的导函数，
则（ ）．
A． 是由 图象上的点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移
个单位长度得到的B． 是由 图象上的点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移
个单位长度得到的
C． 的对称轴方程为 ，
D． 是 的一条切线方程
【答案】BC
【分析】根据复合函数求导可得 ，再利用三角函数伸缩变换规则可判断A错误，B正
确，由整体代换法可知 的对称轴方程为 ， ，所以C正确，利用导数的几何意义可求
得 不是 的切线，可知D错误.
【详解】由题意可得 ，
是由 横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标伸长2倍，再把得到的曲线向左平移 后得到的，故A
错误；
函数 图象将横坐标缩短为原来的 倍（纵坐标不变），得 ，
再向右平移 个长度单位，得 ，即 ，故B正确；
因为 ，令 ， ，则 ， ，
则 的对称轴方程为 ， ，故C正确；
因为 ，所以 ，
由导数的几何意义令 ，可得 ，即 ， ，
解得 ， ，
所以切点为 ，而 不在 上，故D错误．
故选：BC
8．已知函数 的定义域为 ．（ ）
A．
B．
C．
D． 被8整除余数为7
【答案】BC
【分析】利用赋值 或 ，判断AB；对函数两边求导，再赋值 ，判断C； ，
展开后可判断余数，判断D.
【详解】A.当 时， ，①故A错误；
B.当 时， ，②，
① ② ，解得： ，故B正确；
C. ，令 得 ，故
C正确；
D. ，所以 被8整除余数为1，故D错误.
故选：BC
三、填空题9．已知函数 ，若关于 的方程 有4个不同的实数根，则实数 的取值范
围为 .
【答案】
【分析】利用导数求出函数 的单调区间和最值，设 ，则要使方程 有4个
不同的实数根等价于方程 在 上有两个不同的实数根，故 ，从而
可求出实数 的取值范围
【详解】依题意，求导 ，令 ，解得： ，
当 时， ， 单调递增；
当 ， ，函数单调递减，且 ，
又 时， ；又 时， ；
设 ，显然当 时，方程 有两个实数根，
则要使方程 有4个不同的实数根等价于方程 在 上有两个不同
的实数根，
故 ， ，解得： .
故答案为：
【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合应用，考查导数的应用，解题的关键是利用导数判断出
函数 的单调区间和最值，设 ，将问题转化为方程 在 上有两个不同的实数
根，然后利用一元二次方程根的分布情况求解即可，考查数学转化思想和计算能力，属于中档题
10．函数 与 的图象上存在关于 轴的对称点，则实数 的取值范围为 .
【答案】
【解析】先求得与 关于 轴对称的函数 ，将问题转化为 与 的图象有交
点，即方程 有解.对 分成 三种情况进行分类讨论，由此求得实数 的取值范围.
【详解】因为 关于 轴对称的函数为 ，因为函数 与 的图象上
存在关于 轴的对称点，所以 与 的图象有交点，方程 有解.
时符合题意.
时转化为 有解，即 ， 的图象有交点， 是过定点 的直线，
其斜率为 ，若 ，则函数 与 的图象必有交点，满足题意；若 ，设 ，
相切时，切点的坐标为 ，则 ，解得 ，切线斜率为 ，由图可知，当
，即 时， ， 的图象有交点，此时， 与 的图象有交点，函数 与 的图象上存在关于 轴的对称点，综上可得，实数 的取值
范围为 .
故答案为：
【点睛】本小题主要考查利用导数求解函数的零点以及对称性，函数与方程等基础知识，考查学生分析问
题，解决问题的能力，推理与运算求解能力，转化与化归思想和应用意识.
11．若关于x不等式 的解集中的正整数有且只有一个，则k的取值范围是 .
【答案】
【分析】对 进行分类讨论，结合构造函数法以及导数，求得 的取值范围.
【详解】当 时，任一正整数都满足不等式 ，故 .
当 ， 时，不等式 等价于 ，
令 ， ，
∴当 时， 恒成立，
∴ 在 上单调递增，
∴ ，解得 .
故答案为： .12．若函数 在 处的切线方程为 ，则 ．
【答案】
【分析】根据导数的几何意义即得.
【详解】因为
∴ ，
∴ ，
解得： .
故答案为：3.
四、解答题
13．已知函数 ，其中 ．
（1）若曲线 在点 处的切线与直线 平行，求实数a的值及函数
的单调区间；
（2）若函数 在定义域上有两个极值点 ， ，且 ，求证： ．
【答案】（1） , 单调递减区间为 ，单调递增区间为 ；（2）证明见解析
【分析】（1）由函数导数求得切线斜率，利用两直线平行斜率相等，求出 的值，再求 的定义域，
求 ，由 ，求得 的递增区间，由 ，求得递减区间；
（2）函数 在定义域上有两个极值点 等价于 在 上有两个不相等的根.解不等式组 ，求得 的范围，再化简得到 ，
再构造 ，再利用导数证明 ，即得证.
【详解】（1）由 ，
得 ，
又 在点 处的切线与直线 平行，
所以 ，解得 ．
则 ，
得 ．
当 时， ， 单调递减，区间为 ；
当 时， ， 单调递增，区间为 ．
（2）证明：因为函数 在定义域上有两个极值点 ， ，且 ，
所以
在 上有两个根 ， ，且 ，
即 在 上有两个不相等的根 ， ，
则 ， ，由题意得 ，解得 ，
则
，
令 ，其中 ，
故 ．令 ， ，
在 上单调递增．
由于 ， ，
所以存在常数 ，使得 ，即 ， ，
且当 时， ， 在 上单调递减；
当 时， ， 在 上单调递增，
所以当 时，
．
又 ， ，
所以 ，即 ，
故 得证．
【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查利用导数证明不等
式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，难度较大.14．设函数
（1）判断函数 的单调性;
（2）若方程 在区间 上恰有两个不同的实根,求实数 的取值范围.
【答案】（1）在 上单调递减；在 上单调递增；（2） .
【分析】（1）求导后，通过二阶导 可知 单调递增，又 ，可得 的符号，进而
确定 的单调性；（2）将问题转化为 ， ，且 与 恰有两个不同交点；
通过导数来得到 的图象，根据数形结合可知当 时，恰有两个不同交点.
【详解】（1）由题意知： ，则
在 上单调递增，又
当 时， ；当 时，
在 上单调递减；在 上单调递增
（2）由 得：
即： 在 上恰有两个不同的实根
设 ， ，则 与 恰有两个不同交点
则
当 时， ；当 时，
在 上单调递减，在 上单调递增又 ， ，
由此可得 图象如下图所示：
由图象得：当 ，即 时， 与 恰有两个不同交点
即 时，方程 在区间 上恰有两个不同的实根
【点睛】本题考查利用导数求解函数的单调性、根据方程在某一区间内根的个数求解参数范围的问题，解
决方程根的个数问题的关键是能够将问题转化为曲线与直线的交点个数问题，通过数形结合的方式来进行
求解.
15．已知函数 .
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）是否存在实数 ，使得 在 具有单调性？若存在，求所有 的取值构成的集合；若不存在，
请说明理由.
【答案】（1） ；（2）存在实数 ，使得 在 单调递增，理由见解析.
【解析】（1）由题得 ，求导得 ，进而得切线方程为 ；
（2）令 ，结合 ，研究 在 上的单调性即可得答案.
【详解】解：（1）求导得 ，
所以 ，又 ，所以曲线 在点 处的切线方程为： .
（2）存在实数 ，使得 在 单调递增，理由如下：
由（1）得 ，
令 ，则 ，
故当 时， 在 上恒成立，
故 在 上单调递增，由于 ，
故 时， ， 单调递减，
时， ， 单调递增.
当 时，令 得 ，
所以当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
由于 ，
所以当 时， ，
所以不可能使得 在 恒成立，
所以当 时，均不能使得 在 具有单调性.
当 时， ，
此时 时， 单调递减， 时， 单调递增，
所以 ，所以 在 恒成立，此时函数 在 单调递增.
故存在实数 ，使得 在 具有单调性.
【点睛】本题考查切线方程的求解，利用导数研究函数的单调性，考查综合分析能力，运算能力，分类讨
论思想，是中档题.
16．已知函数 在 处的切线与直线 ： 平行．
（1）求 的值；
（2）若 ，试讨论 在 上的零点个数．
【答案】（1） ；（2）答案见解析．
【分析】（1）根据平行关系得到切线斜率为 ，即 ，求解出 即可求解出 的值；
（2）先求解出 ，然后令 ，通过分析 确定出 的单调性，由此确定出 的单
调性，再根据 的端点值与 的大小关系对 进行分类讨论： 、 、 ，最后结合
的单调性分析每一种情况下零点个数.
【详解】解：（1） 在 处的切线与直线 ： 平行，
则有 ， ，则
（2） ， ，
，令 ，则 ，
当 时， 且 ，则 ，则 在 单调递减，
， ，当 时， 且 在 单调递减，则 ， 在 单调递减，
， ，
由于 ，则 ， 在 单调递减，则有一个零点，
当 时， ，由于 在 单调递减，则 ， 在 单调递增，
，则 ，则 在 无零点，
当 时， ， ， 在 单调递减，则存在 使 ，
当 ， ， 单调递增，当 ， ， 单调递减，
， ，
若 ，则由 ， 及 的增减性可得： 在 无零点，此
时 ，
若 ，由 ， 和 的增减性可得： 在 有一个零点，
此时 ，
综上，当 时， 在 无零点，当 时， 在 有一个零点．
【点睛】关键点点睛：本题第二问考查利用导数分析函数的零点个数问题，解答此问题的关键在于多次求导以及分类讨论思想的运用；当原函数 的导函数 无法直接判断出正负时，可先通过将原函数的
导函数看作新函数 ，利用导数思想先分析 的单调性以及取值正负，由此确定出 的单调性并
分析其取值正负，从而 的正负可分析，则根据 的单调性以及取值可讨论零点个数.
