第 12 讲 双曲线的硬解定理和非对称韦达定理
目 录
一：硬解定理.............................................................................................................................................1
二：非对称韦达定理................................................................................................................................16
题型01：硬解定理在双曲线中的应用......................................................................................................23
题型02：双曲线与非对称韦达定理.........................................................................................................25
一：硬解定理
知识点一：硬解定理及拓展公式
圆锥曲线硬解定理，又称CGY-EH定理（The CGY Ellipse & Hyperbola Theorem）或JZQ-EH定理
（The JZQ Ellipse & Hyperbola Theorem），其是一套求解椭圆、双曲线与直线相交时Δ， 及
相交弦长的简便算法，常应用于解析几何．
在将圆锥曲线的方程与直线方程联立求解时人们发现了可消项的存在．但其一般化的推导结果不具有普适
性，且一直无法用一个简洁的形式表示．由CGY-EH定理，以直线与椭圆为例推导，重新排列分组形式，并引
入 ，从而得出了较为简洁的表示形式．后再由CGY-EH定理的成功引入弦长计算公式，并将适用范围扩大到
对 值求解及对 的求解，从而奠定了CGY-EH定理强大的通用性与普适性．
椭圆方程用 ①表示，与直线 ②相交于 两点，联立①②式可得
，
最终的二次方程：消去 得： ，
消去 得： ，
可得如下公式：
1.判别式：
2.韦达定理：
， ，
3.弦中点公式： ，
4.弦长公式： （记 ，下同）；
．
6.向量关系：
公式简证：① ，
②
，
③ ．
说明：根据 写 的方法： 互换； 互换； 不变．④
．
7.斜率和：
已知点 ， ， ，直线 的方程为 ．
则直线 ， 的斜率和
代入韦达定理和公式②、④得
，
即 ．（设 ）
知识点二：硬解定理及拓展公式的几个口诀
1．一元二次方程：口诀：两家（加）小两口 （ ）
A方AC偶
A方站门外，C方单身狗
如果写出了这个式子，韦达定理就可以快速写出两根之和，两根之积．
2．弦长公式也有口诀可以速算
口诀：小倍积 ，大方和
成对 去见（减）单身C．方见完回到分母上
3．判别式
只需要记住：“成对去见单身方”即可
直线与椭圆相切
直线与椭圆相交
直线与椭圆相离
4．麻花公式
口诀：大倍积小方积
知识点三：硬解定理的进一步推广
以上我们就直线 与椭圆 推导出相应的结论，以下几种情形：
1.直线 与椭圆 ：只需把 互换即可得相应的公式；
2.直线 与双曲线 ：只需用 替换 即可得相应的公式；3.直线 与双曲线 ：只需用 分别替换 即可得相应
的公式．
4.若设直线 ，则它与椭圆、双曲线相应的结论表如下：（推导过程略）
（1）椭圆 与直线
图1
如图1，设 ，联立 ，得
①
②
③④
⑤
⑥
⑦
⑧
⑨
⑩
（2）、椭圆 与直线图2
如图2，设 ，联立 得
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧⑨
⑩
（3）、双曲线 与直线
图3
如图3，设 ，联立 得
①
②
③④
⑤
⑥
⑦
⑧
⑨
⑩
（4）、双曲线 与直线图4
如图4，设 ，联立 得
①
②
③
④
⑤
⑥⑦
⑧
⑨
⑩
（5）、双曲线 与直线
图5
如图5，设 ，联立 得
①②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧
⑨
⑩（6）、双曲线 与直线
图6
如图6，设 ，联立 得
①
②
③
④
⑤⑥
⑦
⑧
⑨
⑩
（7）、抛物线 与直线
图7
如图7，设 ，联立 得①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧
⑨
⑩
（8）、抛物线 与直线图8
如图8，设 ，联立 得
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦⑧
⑨
⑩
（9）、抛物线 与直线
图9
如图9，设 ，联立 得
①
②
③④
⑤
⑥
⑦
⑧
⑨
⑩
（10）、抛物线 与直线
图10如图10，设 ，联立 得
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧
⑨⑩
二：非对称韦达定理
知识点一：非对称韦达定理概念的引入
首先什么是“非对称韦达定理”呢?那就有必要先谈一下我们常见的“对称性韦达定理”,所谓对称
性韦达定理就是我们常见的如下结构式子:x +x ,x ⋅x ,y + y ,y ⋅y ,又或者
1 2 1 2 1 2 1 2
(x −2)⋅(x −2),x2+x2 等一些可以经过简单的化简,然后用韦达定理表达的结构式子.而“非对称韦达定
1 2 1 2
理”是指以下的一些结构:
y (x −2)
x +3x , 1 2
1 2 y (x +2) ，
2 1
1 m x
x x − (x +x )+ 1+m(m−1)
m y y −y 2y −y −m y y x y −2y kx x −kx +x +1 4 1 2 2 1 2 2
1 2 1 , 2 1 1 2， 2 1 1， 1 2 1 2 ,
m y y +3 y y −y x y +2y kx x +kx +x +1 x x −2x
1 2 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2
等,无法直接或经过简单化简后使用韦达定理进行计算的结构性式子.
例如：已知点P在圆O:x2+ y2=9上,点P在X轴上的投影为Q,动点M满足4⃗PQ=3❑√2⃗MQ.
(1)求动点M轨迹E的方程;
(2)设G(−3,0),H(3,0),过点F(1,0)的直线l与曲线E交于A,B两点,问直线AG与直线BH的斜率之比是否
为定值?若为定值,请求出该值,若不为定值,试说明理由.
x2 y2
解:(1)动点M的轨迹方程E: + =1
9 8{x=my+1,
(2)由题意知,l的斜率不为0,则设l:x=my+1,A(x ,y ),B(x ,y ),与曲线E联立得 x2 y2 整理得
1 1 2 2 + =1,
9 8
−16m −64 y
(8m2+9)+16my−64=0,则y + y = ,y y = ,设直线AG的斜率为k = 1 ,直线BH的斜
1 2 8m2+9 1 2 8m2+9 1 x +3
1
y k y (x −3)
率为k = 2 ,此时 1= 1 2 ，此时无法应用韦达定理,这就是典型的“非对称韦达定理”结构式子.
2 x −3 k y (x +3)
2 2 2 1
知识点二：非对称问题的处理方法
当韦达定理却无法代入，这时我们就需要通过所求得的韦达定理找到x +x 和x ⋅x 之间的关系，将其中
1 2 1 2
一个替换，常用手段是把乘法的替换成加法.
这样的非对称形式，即韦达定理无法直接代入，可以通过韦达定理构造互化公式，先局部互化，然后可整
理成对称型.
具体办法：
{x +x =f(t)
① 联立方程后得到韦达定理： x
1
x
2
=g(t)
⇒m(t)(x
1
+x
2
)=n(t)x
1
x
2代入之后进行代换消元
1 2
解题.
② 利用点在椭圆方程上代换.
注：在圆锥曲线大题中使用非对称处理时，要写出完整的转化过程.
五种解题方法来对此类问题进行解决.
方法一:积化和法
就是把韦达定理的积式转化为和式表达,这是处理“非对称韦达定理”问题的最重要方法.下面就用这种方法
解决例题的后续部分:y y −64 −16m 4
因为 1 2 = ÷ = ,所以m y y =4(y + y ),
y + y 8m2+9 8m2+9 m 1 2 1 2
1 2
k y (x −3) y (my +1−3) y (my −2) my y −2y 4 y +4 y −2y 1
所以 1= 1 2 = 1 2 = 1 2 = 1 2 1= 1 2 1= .
k y (x +3) y (my +1+3) y (my +4) my y +4 y 4 y +4 y +4 y 2
2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2
1
所以直线AG与BH的斜率之比是定值 .
2
从解题的过程可以看出,核心就是利用韦达定理的积式转为和式表达,然后把题目所求的部分化为统一的和结
构式子进行运算处理,使问题得以解决.
方法二:配凑保留单变量法
就是把原来的非对称韦达定理结构式经过化简后只保留一个未知数,进行最后的计算,从而得到结果.下面就
用这种方法解决例题的后续部分.
k y (x −3) y (my +1−3) y (my −2) my y −2y
因为 1= 1 2 = 1 2 = 1 2 = 1 2 1 ①
k y (x +3) y (my +1+3) y (my +4) my y +4 y
2 2 1 2 1 2 1 2 1 2
−64 −16m
m −2 +2y
m y y −2(y + y )+2y 8m2+9 8m2+9 2
= 1 2 1 2 2=
②
m y y +4 y −64
2 1 2 m +4 y
8m2+9 2
−32m+2y (8m2+9) 1
= 2 = .
−64+4 y (8m2+9) 2
2
1
所以直线AG与BH的斜率之比是定值 .
2
在上面的过程中我们可以看到,在①式的时候,式子是含有y的两个变量的,我们通过配凑的手段,就合成了含
有y + y 和y y ,而且只剩下了一个变量y 的式子,即②式.最终通过韦达定理代入化简得到结果.
1 2 1 2 2
方法三:圆锥曲线替换法
就是在“非对称韦达定理”结构式子的分子和分母同时乘以y 或y ,使式子出现二次的平方项,然后再利用
1 2
圆锥曲线的方程式代入进行消元化简,从而得到结果的一种方法.下面就用这种方法解决例题的后续部分:k y (x −3) y2 (x −3)
因为, 1= 1 2 = 1 2 ③
k y (x +3) y y (x +3)
2 2 1 1 2 1
x2 y2 8(9−x2) 8(3−x )(3+x )
而 1+ 1=1,所以,y2= 1 = 1 1 ④
9 8 1 9 9
8(3−x )(3+x )
代入③式得k
1=
y
1
2 (x
2
−3)
=
1
9
1 (x
2
−3)
k y y (x +3) y y (x +3)
2 1 2 1 1 2 1
8(x −3)(x −3) 8[x x −3(x +x )+9]
= 1 2 = 1 2 1 2 ⑤
−9 y y −9 y y
1 2 1 2
18
9(1−8m2)
又∵x +x = ,x x = ,代入⑤式
1 2 8m2+9 1 2 8m2+9
(9(1−8m2) 18 )
8 −3 +9
k 8[x x −3(x +x )+9] 8m2+9 8m2+9 1
得∴ 1= 1 2 1 2 = = .
k −9 y y −64 2
2 1 2 −9
8m2+9
1
所以直线AG和BH的了斜率之为定值 .
2
从以上的过程我们可以明显看出,这个方法的关键步骤就是(3)式同时乘以y ,和在(4)式中通过圆锥曲线的方
1
程进行代换化简,从而得到(5)式的对称性结构式,再而代入韦达定理的式子,最后得到想要的结果.
方法四:圆锥曲线第三定义法
利用利用椭圆或双曲线第三定义中两斜率的积为定值这一性质,把其中的一个斜率进行转移替换,从而把原来
的求证式从“非对称韦达定理”的形式转为对称性韦达定理的结构形式,从而得解.b2 8 8
连接AH,根据椭圆的第三定义我们知道,k k =− =− ,所以,k =− . ⑥
AG AH a2 9 AG 9k
AH
8
−
此时题目所求的,k AG= 9k AH =− 8 . ⑦
k k 9k k
BH BH AH BH
−64
y y y y 8m2+9 −16
而k k = 1 ⋅ 2 = 1 2 ⑧ = = .
AH BH x −3 x −3 x x −3(x +x )+9 9(1−8m2) 18 9
1 2 1 2 1 2 −3 +9
8m2+9 8m2+9
k 8 8 1
AG=− =− = 1
所以k 9k k 16 2,所以直线AG和BH的斜率之比为定值 .
BH AH BH 9⋅ 2
−9
由以上的解题过程我们可以看到,关键的步骤在于第⑥步利用第三定义进行的斜率转移替换,从而把原来的非
对称形式转成第⑦，⑧步的常规对称结构形式,从而使题目得到解决.
方法五:求根公式代入法
就是对直线方程与圆锥曲线联立得到的一元二次方程,使用求根公式求出对应的根,代入所求的式子直接化简
得到结果.下面就用这种方法求解例题后续部分:
(2)由题意知,l的斜率不为0,则设l:x=my+1,
{x=my+1,
A(x ,y ),B(x ,y ),与曲线E联立得 x2 y2
1 1 2 2 + =1,
9 8
−16m
整理得(8m2+9)+16my−64=0,则y + y = ,
1 2 8m2+9
−64 −8m+6❑√m2+1
y y = ,y = ,⑨
1 2 8m2+9 1 8m2+9
y y
设直线AG的斜率为k = 1 ,直线BH的斜率为k = 2
1 x +3 2 x −3
1 2k y (x −3) y (my +1−3) y (my −2) my y −2y
1= 1 2 = 1 2 = 1 2 = 1 2 1
⑩
k y (x +3) y (my +1+3) y (my +4) my y +4 y
2 2 1 2 1 2 1 2 1 2
−64 −8m+6❑√m2+1
m −2
8m2+9 8m2+9 −48m−12❑√m2+1 1
= = = .
−64 −8m−6❑√m2+1 −96m−24❑√m2+1 2
m +4
8m2+9 8m2+9
1
所以直线AG与BH的斜率之比是定值 .
2
从以上的解题过程我们可以看到,当我们计算到斜率的比的结构式子是非对称结构式子时,做了一个简单的变
换,使其只含有参数y的式子,发现如果用完韦达定理后还有y的两个根,于是直接用求根公式法求根,简单粗暴地把
y的两个根代入式子,同样求得结果.
(1)上下左右不对称型
方法：降幂，即二次变一次
2k 3 kx x +3x
已知x +x = ,x x = 求 1 2 1
1 2 6k2+4 1 2 6k2+4 kx x −x
1 2 2
推导
先观察和积的比值关系：
2k
x +x 6k2+4 2k
1 2= =
x x 3 3
1 2
6k2+4
变形得：
3
kx x = (x +x )
1 2 2 1 2
将此关系代入原式：(2)比值型
x
求 1 构造分子分母齐二次，再同除x x
x 1 2
2
(x +x ) 2 x2+x2+2x x x x
由韦达定理： 1 2 = 1 2 1 2= 1+ 2+2
x x x x x x
1 2 1 2 2 1
x
设t= 1 ，则上式可写成：
x
2
(x +x ) 2 1
1 2 =t+ +2
x x t
1 2
解此方程即可求出t.
(3)系数不相等型
已知3x +x =4，结合韦达定理求解
1 2
法一：直接计算
通过联立方程，直接求出x ,x 的值。
1 2
法二：构造对称式
利用x +x 构造对称式：
1 2变形得：
两式左右两边相乘：
代入韦达定理的与x +x ，x x 即可求解.
1 2 1 2
（4）mx +nx +t=0
1 2
当m≠n时，需对式子变形以构造韦达定理的“和”结构x +x ：
1 2
即：
将(1)(2)相乘：
展开整理后即可代入韦达定理求解.
知识点三：非对称韦达定理解题步骤
步骤1：联立方程与韦达定理
按题目要求，联立相应的直线和曲线，得到一元二次方程，列出韦达定理：
b b
{x +x =− {y + y =−
1 2 a 1 2 a
或
c c
x ⋅x = y ⋅y =
1 2 a 1 2 a
也可写成比值形式：
点睛之笔：观察两根之和与两根之积是否有清晰的比值关系，若有先列出备用.步骤2：目标式子处理思路
列出目标式子后，观察结构，常用思想：
①和积替换：将“两根之积”用“两根之和”替换后，化简式子.
②.直线代换：将“xy混合项”中想去掉的字母，利用点所在的直线替换后，化简式子.
如：x=my+1
③.一元化处理：通过上面两步的处理，仍未得出结果，则需要将式子化成“一元”.
如：利用韦达两根之和，x 可x 用表示出来.
1 2
题型01：硬解定理在双曲线中的应用
【典型例题1】直线 与椭圆 交于 ， 两点，试联立直线与双曲线方
程，并计算判别式 ， ， ， ， ， .
解：联立方程得： ，整理得：
，
判别式 ，
由韦达定理得： ， ，
再根据 ， 可得：
，
，
.【典型例题2】已知点 在双曲线 上，直线l交C于P，Q两点，直线 的
斜率之和为0．求l的斜率；
解：因为点 在双曲线 上，所以 ，解得 ，
即双曲线 ．
易知直线l的斜率存在，设 ， ，
联立 可得， ，
所以， ， 且 ．
所以由 可得， ，
即 ，
即 ，
所以 ，
化简得， ，即 ，
所以 或 ，
当 时，直线 过点 ，与题意不符，舍去，
故 ．
【变式训练1-1】已知等轴双曲线C的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，点M，N在双曲线C上，当直线MN过C的右焦点且斜率为2时， ．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若线段MN的垂直平分线与y轴交于点Q，且 ，求O到直线MN的距离．
【变式训练1-2】已知双曲线 的右焦点为 ，渐近线方程为 ．
(1)求C的方程；
(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点 在C上，且 ．过
P且斜率为 的直线与过Q且斜率为 的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成
立：
①M在 上；② ；③ ．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
【变式训练1-3】已知点 在双曲线 上，直线l交C于P，Q两点，直线 的
斜率之和为0．
(1)求l的斜率；
(2)若 ，求 的面积．
题型02：双曲线与非对称韦达定理
x2 y2
【典型例题1】已知点P(2,1)在双曲线C: − =1(a>1)上，斜率为k的直线l过点 且不过点
a2 a2−1
P．若直线l交C于M，N两点，且MP⊥NP，则k=（ ）
1 1 3 3
A．− B． C．− D．
6 6 2 2
【答案】A
【分析】根据点P(2,1)在双曲线求出双曲线方程，根据 MP⊥NP可得⃗PM⋅⃗PN=0，利用韦达定理代入即可求解.
x2 y2
【详解】因为点P(2,1)在双曲线C: − =1(a>1)上，
a2 a2−1
4 1
所以 − =1解得 ，
a2 a2−1
x2
所以双曲线C: −y2=1.
2
设l:y=kx−2，M(x ,y ),N(x ,y )，
1 1 2 2
{x2
−y2=1
联立 2 整理得(1−2k2)x2+8kx−10=0，
y=kx−2
1−2k2≠0
{
−8k
x +x =
所以 1 2 1−2k2，
−10
x x =
1 2 1−2k2
−8k2 4−8k2 −4
所以y + y =k(x +x )−4= − = ，
1 2 1 2 1−2k2 1−2k2 1−2k2
−10k2 −16k2 4−8k2 −2k2+4
y y =(kx −2)(kx −2)=k2x x −2k(x +x )+4= − + = ，
1 2 1 2 1 2 1 2 1−2k2 1−2k2 1−2k2 1−2k2
因为MP⊥NP，所以⃗PM⋅⃗PN=(x −2,y −1)⋅(x −2,y −1)=0，
1 1 2 2
即x x −2(x +x )+ y y −(y + y )+5=0，
1 2 1 2 1 2 1 2
−10 −16k −2k2+4 −4 5−10k2
所以 − + − + =0，
1−2k2 1−2k2 1−2k2 1−2k2 1−2k2
1 3
整理得12k2−16k−3=0解得k=− 或k= ，
6 2
3 3
当k= 时，直线l:y= x−2过点P(2,1)，不满足题意，
2 2
1
所以k=− ，
6
故选:A.x2
【典型例题2】不经过点A(2,1)的直线l交双曲线C: −y2=1于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率互为相反数.
2
求l的倾斜角为 .
【答案】135°（或 ）
【分析】设 ，P(x ,y )，Q(x ,y )，联立直线l和双曲线方程，得到两根之和，两根之积，根据
1 1 2 2
k +k =0，求出(k+1)(2k−1+m)=0，所以k=−1或 ，当 时，直线l过点A(2,1)，与
AP AQ
题意不符，故k=−1，得到答案.
x2
【详解】双曲线C: −y2=1的左右顶点为(❑√2,0),(−❑√2,0)，
2
易知直线l的斜率存在，设 ，P(x ,y )，Q(x ,y )，
1 1 2 2
{y=kx+m
联立 x2 可得，(1−2k2)x2−4mkx−2m2−2=0，
−y2=1
2
4mk 2m2+2
所以x +x =− ，x x = ，
1 2 2k2−1 1 2 2k2−1
❑√2
Δ=16m2k2−4(2m2+2)(2k2−1)>0⇒m2+1−2k2>0且k≠± .
2
y −1 y −1
所以由k +k =0可得， 2 + 1 =0，
AP AQ x −2 x −2
2 1
即(x −2)(kx +m−1)+(x −2)(kx +m−1)=0，
1 2 2 1
即2kx x +(m−1−2k)(x +x )−4(m−1)=0，
1 2 1 2
2m2+2 ( 4mk )
所以2k⋅ +(m−1−2k) − −4(m−1)=0，
2k2−1 2k2−1
化简得，8k2+4k−4+4m(k+1)=0，即(k+1)(2k−1+m)=0，
所以k=−1或 ，
当 时，直线l:y=kx+m=k(x−2)+1过点A(2,1)，与题意不符，舍去，故k=−1，
故l的倾斜角为135°（或 ）.
故答案为：135°（或 ）
【点睛】处理定点问题的思路：
（1）确定题目中的核心变量（此处设为k），
（2）利用条件找到k与过定点的曲线F(x,y)=0的联系，得到有关k与x,y的等式，
（3）所谓定点，是指存在一个特殊的点(x ,y )，使得无论k的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于k与
0 0
x,y的等式进行变形，直至找到(x ,y )，
0 0
①若等式的形式为整式，则考虑将含k的式子归为一组，变形为“k⋅()”的形式，让括号中式子等于0，求出定
点；
②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去k变为常数.
x2 y2
【典型例题3】已知双曲线C： − =1(a>0,b>0)的离心率为❑√2，点(3,−1)在双曲线C上.过C的左焦点
a2 b2
F作直线l交C的左支于A、B两点.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若 ，试问：是否存在直线l，使得点M在以AB为直径的圆上?请说明理由.
(3)点P(−4,2)，直线AP交直线x=−2于点Q.设直线QA、QB的斜率分别k 、k ，求证：k −k 为定值.
1 2 1 2
x2 y2
【答案】(1) − =1；(2)不存在，理由见解析；(3)证明见解析
8 8
【分析】（1）根据题意列式求a,b,c，进而可得双曲线方程；
（2）设l:x=my−4，A(x ,y )，B(x ,y )，联立方程，利用韦达定理可得⃗MA⋅⃗MB=−4，结合圆的性质
1 1 2 2
分析判断；
（3）用A,B两点坐标表示出直线AP，得点Q坐标，表示出k ,k ，结合韦达定理，证明k −k 为定值.
1 2 1 2
【详解】（1）由题意，双曲线 的离心率为❑√2，且M(3,−1)在双曲线C上，9 1
{ − =1
a2 b2
x2 y2
可得 c ，解得a2=8，b2=8，所以双曲线的方程为 − =1.
e= =❑√2 8 8
a
c2=a2+b2
（2）双曲线C的左焦点为F(−4,0)，
当直线l的斜率为0时，此时直线为y=0，与双曲线C左支只有一个交点，舍去；
当直线l的斜率不为0时，设l:x=my−4，
{x=my−4
联立方程组 ，消x得(m2−1)y2−8my+8=0，易得Δ>0，
x2−y2=8
由于过点F作直线l交C的左支于A,B两点，
8m 8
设A(x ,y )，B(x ,y )，则y + y = ，y y = <0，
1 1 2 2 1 2 m2−1 1 2 m2−1
可得−1<m<1，
因为⃗MA=(x +2,y )，⃗MB=(x +2,y )，
1 1 2 2
则⃗MA⋅⃗MB=(x +2)(x +2)+ y y =(m y −2)(m y −2)+ y y
2 1 1 2 1 2 1 2
8(m2+1) 16m2
=(m2+1)y y −2m(y + y )+4= − +4=−4，
1 2 1 2 m2−1 m2−1
即⃗MA⋅⃗MB≠0，可得 与 不相互垂直，
所以不存在直线l，使得点M在以AB为直径的圆上.
（3）由直线AP:y−2=k (x+4)，得Q(−2,2+2k )，
1 1
y −2−2k y −2−2k y −2 y −2
所以k = 2 1= 2 1 ，又k =k = 1 = 1 ，
2 x +2 m y −2 1 PA x +4 m y
2 2 1 1
y −2 y −2−2k (y −2)(my −2)−my (y −2−2k )
所以k −k = 1 − 2 1= 1 2 1 2 1
1 2 my my −2 my (my −2)
1 2 1 2
−2m y −2y +4+2m y +2mk y
= 2 1 1 1 1
，
m y (m y −2)
1 2y −2
因为k = 1 ，所以k m y = y −2，且y + y =m y y ，
1 m y 1 1 1 1 2 1 2
1
2m(y −y ) 2(y −y )
所以k −k = 1 2 = 1 2 =−2，即k −k 为定值.
1 2 my (my −2) y + y −2y 1 2
1 2 1 2 1
【点睛】方法点睛：解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，
然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．涉及到直线方程的设法时，务必考虑全
面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．强化有关直线与双曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，
重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
x2 y2
【变式训练2-1】已知点A(2,1)在双曲线C: − =1(a>1)上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，
a2 a2−1
AQ的斜率之和为0.求l的斜率；
x2 y2
【变式训练2-2】已知双曲线C： − =1(a>0,b>0)的离心率为❑√2，点(3,−1)在双曲线C上．过C的左
a2 b2
焦点F作直线l交C的左支于A、B两点．
(1) 求双曲线C的方程；
(2) 若M(−2,0)，试问：是否存在直线l，使得点M在以AB为直径的圆上?请说明理由．
(3) 点P(−4,2)，直线AP交直线 于点Q．设直线 、QB的斜率分别 k 、 k ，求证： k −k 为定值．
1 2 1 2
x2 y2
【变式训练2-3】双曲线Γ: − =1左顶点为A，实轴长是虚轴长的2倍，其左焦点坐标为(−❑√5,0)，过A
a2 b2
1
点的两条直线分别交双曲线Γ的右支于点P，Q，且k ⋅k =− .
AP AQ 8
(1)求双曲线Γ的方程；
(2)（ⅰ）证明：直线PQ过定点；
（ⅱ）直线AP，AQ，PQ分别交直线x=8于点M，N，T，若S =S ，求PQ的直线方程.
△PMT △QNTx2 y2
【变式训练2-4】已知点 ， 分别为双曲线E： − =1(a>0,b>0)的左、右焦点，点 到双曲线E的
a2 b2
渐近线的距离为2❑√2，点A为双曲线E的右顶点，且AF =2AF ．
1 2
(1)求双曲线E的标准方程；
(2)若四边形ABCD为矩形，其中点B，D在双曲线E上，求证：直线BD过定点．
1
【变式训练2-5】在平面直角坐标系中，已知动点P与A(−2,0)，B(2,0)两点连线的斜率之积是 .
4
(1)求动点P的轨迹曲线C的方程；
k
(2)过点(−1,0)的直线l，交曲线C于M，N两点，记直线AM，BN的斜率分别为k ，k ，试判断 1 是否为定值，
1 2 k
2
若为定值，求出该定值.
【变式训练2-6】已知A ,A 分别为双曲线 的左､右顶点，|A A |=2，动直线l与双
1 2 1 2
曲线C交于P,Q两点．当PQ//x轴，且|PQ|=4时，四边形PQA A 的面积为 ．
1 2
(1)求双曲线C的标准方程．
(2)设P,Q均在双曲线C的右支上，直线A P与A Q分别交y轴于M,N两点，若⃗ON=2⃗OM，判断直线l是否
1 2
过定点．若过，求出该定点的坐标；若不过，请说明理由．
x2 y2
【变式训练2-7】双曲线C: − =1(a>0,b>0)的左、右顶点分别为A，B，焦点到渐近线的距离为 ，
a2 b2
且过点(4,3).
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l与双曲线C交于M，N两点，且k =−2k ，证明直线l过定点.
AM BN
