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专项04 解析几何
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【命题解码·定方向】命题趋势+2026 年预测
【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式
【实战刷题·冲高分】精选高考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分
根据近五年全国卷考情，圆、椭圆、双曲线及抛物线的性质以及直线与圆锥曲线的位置关系是必考主
干，分值约20-32 分．
命题趋势：
解答题：稳定考查圆锥曲线（常为第16 至19 题），核心是设而不求、利用韦达定理解决直线与圆锥曲
线的位置关系的综合问题．
2026 年预测：解答题极可能仍为圆锥曲线常规题，热门考向为定点、定值、最值或范围问题．
备考核心：熟记圆锥曲线定义性质，熟练运用韦达定理,专攻定点定值、范围最值等高频题型，规范答
题步骤，强化计算训练，减少运算失误，真题限时演练提升速度．
题型01 解析几何中的面积问题
析典例
· 建模型
1．（2026·山东青岛·一模）已知抛物线
，点
为
的焦点，
是
上任意不重合的
两点，当直线
过点
且垂直
轴时，
.
(1)求
的方程；
1
(2)若直线
过点
且
的面积为
，求
的方程.
研考点
· 通技法
圆锥曲线周长与面积问题核心是几何条件代数化，结合定义与公式求解.
面积：优先用坐标法，设点坐标，以底高、行列式或割补法计算；焦点三角形常用椭圆、双曲线定义结
合余弦定理求解.
周长：曲线周长多转化为焦半径之和，利用定义简化；多边形周长则求各边长度和，结合韦达定理处理
弦长.
关键步骤：设点、联立方程、用定义转化、韦达定理、参数范围检验，避免计算失误.
破类题
· 提能力
1．（2026·江西赣州·一模）已知抛物线
，过点
作直线与抛物线
相交于
两点，
为坐标原点.
(1)证明：
；
(2)若存在异于点
的定点
，使得
恒成立，请求出点
的坐标，并求出
面积的最小值.
2
2．（25-26 高三上·天津·期末）已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1（a>b>0）的长轴长为4，焦距为2.
(1)求椭圆C的方程和离心率；
(2)设A为椭圆C的右顶点，若直线l与椭圆C有唯一的公共点M(M在第一象限)，直线l与y轴的正半轴
交于点N，直线NA与直线OM交于点P(O为原点)，且S△POA = 3
5 S△NOA，求直线l的方程.
题型02 解析几何中定值定点问题
析典例
· 建模型
1．（2026·福建龙岩·一模）已知椭圆
的左顶点为
，上顶点为
，长轴长为4，且
以短轴为直径的圆与直线
相切.
(1)求
的方程；
(2)过点
的直线交
于
两点，直线
分别交
轴于
两点，证明：
（ⅰ）
的横坐标成等差数列；
（ⅱ）
与
的面积之比为定值.
3
2．（2026·广西河池·二模）已知抛物线
，过
上一动点
作斜率为2 的直线
与
交
于另一点
，当点
与原点
重合时，
．
(1)求
．
(2)当不经过点
时，直线
与
交于另一点
，直线
与
交于另一点
．
（i）证明：
；
（ii）试判断直线
与
是否交于定点，若是，请求出定点的坐标，否则，请说明理由．
研考点
· 通技法
解决直线与圆锥曲线相交（过定点、定值）问题的常用步骤：
（1）得出直线方程，设交点为
，
；
（2）联立直线与曲线方程，得到关于
或
的一元二次方程；
（3）写出韦达定理；
（4）将所求问题或题中关系转化为
，
形式；
（5）代入韦达定理求解.
过程步骤：圆锥曲线中直线过定点问题，设动直线与圆锥曲线的交点坐标为
，直线方
程代入曲线方程后应用韦达定理得
，利用这两个交点的坐标写出要求过定点的
直线的方程，可根据直线的变化确定定点的位置，然后代入韦达定理的结论及利用定点所在的直线方程
（得交点的横纵坐标关系）求出定点坐标．
破类题
· 提能力
1．（2026·山东滨州·一模）设圆
的圆心为
，直线过点
且与
轴不重合，
交圆
于
两点，过
作
的平行线交
于点
，动点
的轨迹为曲线
．
4
(1)证明
为定值，并求曲线
的方程；
(2)若直线
与曲线
相交于
两点．
①求
面积的最大值；
②已知点
，直线
与曲线
的另一个交点为
，直线
与曲线
的另一个交点为
．证
明：直线
过定点．
2.（25-26 高三上·湖北武汉·阶段练习）过坐标原点
作圆
的两条切线，切点为
，
，
直线
恰为抛物线
的准线.
(1)求
的方程；
(2)将抛物线
向左移4 个单位长度得到新抛物线
，抛物线
交
轴于
，
两点，
，
为抛物线
上不重合的两点，
交
于点
.若直线
经过坐标原点，求证：
的面积恒为定值.
题型03 解析几何中证明类问题
析典例
· 建模型
1．（2026·广东·一模）设双曲线
的离心率为2，其左、右焦点分别是
，过
的
5
直线与双曲线
的右支交于点
．当
与
轴垂直时，
．
(1)求双曲线
的标准方程；
(2)求
的最小值；
(3)记
的内切圆
与双曲线
的一个公共点为
，双曲线
的左顶点为
，证明：
．
研考点
· 通技法
圆锥曲线证明问题求解策略：
1.
1.几何条件代数化：将垂直、平行、共线、角度、长度比例等关系，转化为向量数量积、斜率关系、距
离公式或坐标等式。
2.
2.规范设线联立：合理设直线方程，与圆锥曲线联立，借助韦达定理得到x1+x2、x1x2，设而不求整体代
换，其中涉及中点、对称问题时，采用点差法快速建立斜率与坐标关系，简化运算.
3.
3.化简恒等变形：将待证式转化为含韦达定理表达式的结构，通过通分、因式分解、配方等恒等变形，
推导出所证式子成立.
破类题
· 提能力
1．（2026·湖南怀化·一模）在抛物线
中，直线与
交于
两点，
为
的焦点.当直
线为
时，
.
(1)求抛物线
的标准方程；
6
(2)若线段
中点的纵坐标始终为1，求
的取值范围；
(3)已知直线
与
相交于
两点，直线
与
相交于
两点（点
在
轴的上方），若
，四边形
的外接圆圆心坐标为
，求证：
.
2．（2026·广东深圳·一模）已知
，
为椭圆
的左，右顶点，
为
上的一点，
为双曲线
上的一点（
，
两点不同于
，
两点），设直线
，
，
，
的斜率分别为
，
，
，
，且
.
(1)设
为坐标原点，证明：
，
，
三点共线；
(2)设
、
的右焦点分别为
、
，
、
均在第一象限，直线
与直线
相交于点
，
.
（i）证明：
；
（ii）证明：
.
7
题型04 解析几何中非对称韦达问题
析典例
· 建模型
1.（25-26 高三上·湖北武汉·期末）已知椭圆C：
的长轴长是短轴长的2 倍，焦距为
，点A，B 分别为C 的左、右顶点，点P，Q 为C 上的两个动点，且分别位于x 轴上、下两侧，
和
的面积分别为
，
，记
(1)求椭圆C 的方程；
(2)若
，求证直线PQ 过定点，并求出该点的坐标；
(3)若
，设直线AP 和直线BQ 的斜率分别为
，
，求
的取值范围．
研考点
· 通技法
1 在一元二次方程
中，若
，设它的两个根分别为
，则有根与系数关系：
8
，借此我们往往能够利用韦达定理来快速处理
之类的结
构。
2、但在有些问题时，我们会遇到涉及
的不同系数的代数式的应算，比如求
或
之类的结构，就相对较难地转化到应用韦达定理来处理了．特别是在圆锥曲线问题中，我们
联立直线和圆锥曲线方程，消去
或
，也得到一个一元二次方程，我们就会面临着同样的困难，我们
把这种形如
或
之类中
的系数不对等的情况，这些式子是
非对称结构，称为“非对称韦达”．
破类题
· 提能力
1．（25-26 高三上·云南昆明·月考）已知椭圆E：
的左焦点为
，过点F 且与
x 轴不重合的直线l 交E 于A，B，当直线l 的斜率为1 时，直线l 恰好过椭圆的一个顶点.
(1)求椭圆E 的标准方程；
(2)若在x 轴上存在异于F 的定点Q，使得直线 QA 与直线QB 的斜率比值为定值，
①求定点 Q 的坐标；
②求△ABQ 面积的最大值.
2 .（2026·河北保定·一模）已知椭圆
的离心率为
，左、右焦点分别为
，点
为
上的动点，
的周长为6.
(1)求
的标准方程.
(2)延长线段
分别交
于
两点，连接
，并延长线段
交
于另一点
，若直线
9
和
的斜率均存在，且分别为
，试判断
是否为定值.若是，求出该定值；若不是，说明理由.
题型05 解析几何中范围类问题
析典例
· 建模型
1．（25-26 高三下·重庆沙坪坝·月考）已知椭圆
，双曲线
的焦点是椭圆长轴端点，顶点为椭
圆焦点，O 为坐标原点，过点
作斜率为k 的直线l，与双曲线左右两支分别交于
､
A，B 两点.
(1)求双曲线
的方程；
(2)过点A，B 两点分别作双曲线
的切线
，设
交于点Q，直线OQ 与直线l 交于点R，求线段
OR 长度的取值范围.
研考点
· 通技法
圆锥曲线中的范围问题的求解常用的三种方法
(1)函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数的单调性求解．
10
(2)不等式法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求参数范围．
(3)判别式法：建立关于某变量的一元二次方程，利用判别式Δ 求参数的范围．
破类题
· 提能力
1．（25-26 高三下·重庆沙坪坝·月考）已知椭圆
，双曲线
的焦点是椭圆长轴端点，顶点为椭
圆焦点，O 为坐标原点，过点
作斜率为k 的直线l，与双曲线左､右两支分别交于A，B 两点.
(1)求双曲线
的方程；
(2)过点A，B 两点分别作双曲线
的切线
，设
交于点Q，直线OQ 与直线l 交于点R，求线段
OR 长度的取值范围.
2．（25-26 高三上·云南昆明·月考）已知抛物线
的焦点为
，过点
的直线与
相交于
两点，且
，
(1)若
为线段AC 的中点，
（i）求直线的斜率；
（ii）求|AC|；
(2)若点
在抛物线
上，满足
，求
取值范围．
11
题型05 解析几何中最值类问题
析典例
· 建模型
1．（2026·湖南·模拟预测）已知椭圆
过点
，两个焦点坐标分别为
．
(1)求椭圆
的方程．
(2)已知
为椭圆
上异于
的两点，且直线
与
轴围成一个以
为顶点的等腰三角形．
（i）求证：直线
的斜率为定值；
（ii）求
面积的最大值．
研考点
· 通技法
圆锥曲线中的最值问题的求解常用的三种方法
(1)函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数的单调性求得最值．
(2)不等式法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求最值．
(3)判别式法：建立关于某变量的一元二次方程，利用判别式Δ 求最值．
破类题
· 提能力
12
1．（2023·全国甲卷·高考真题）已知直线
与抛物线
交于
两点，且
．
(1)求
；
(2)设F 为C 的焦点，M，N 为C 上两点，
，求
面积的最小值．
2．（25-26 高三上·四川宜宾·期末）已知平面上动点
到定点
的距离与点D 到直线
的距
离比为
．动点D 的轨迹为曲线E
(1)求曲线E 的方程；
(2)已知点P 为直线
上任一点，过点P 作曲线E 的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，过曲线E
的右顶点Q 作垂直于x 轴的直线与直线PA，PB 分别交于M，N 两点，点M，N 的纵坐标分别为m，
n．求mn 的值．并求
的最小值．
题型07 探究性问题
13
析典例
· 建模型
1．（25-26 高三上·重庆·月考）已知圆
的圆心
在抛物线
上，且圆
与抛物线
的准线相切.如图，过抛物线
上的三个不同点
(
在
之间)，作抛物线的三条切线，分别两两相交于点
.
(1)求圆
和抛物线
的方程；
(2)是否存在常数
，使得
？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由；
(3)当点
的横坐标为4 时，以
为直角顶点，作抛物线的两个内接
及
，求线段
的交点坐标.
研考点
· 通技法
圆锥曲线中探索性问题的常见解法
14
** 错误的表达式 **假设存在法：先假设满足条件的点、直线等存在，设其方程或坐标，代入曲线方程
推导，若有解则存在，无解则不存在.
** 错误的表达式 **特殊值法：取特殊位置（如对称轴、顶点）或特殊参数值，探索可能结论，再验证
一般情况.
** 错误的表达式 **代数推导法：联立方程，用韦达定理、判别式等，结合条件（如垂直、中点）列方
程，分析解的情况判断存在性.
破类题
· 提能力
1．（25-26 高三下·四川成都·开学考试）已知抛物线
．
(1)若
，求过焦点F 且倾斜角为
的直线被抛物线C 所截得的弦长．
(2)若
，
（i）是否存在抛物线上的三个点
，
，
，使得
的内角平分线为
？若存在，求直线
的斜率，若不存在，请说明理由；
（ii）若抛物线上的三个点
，
，
构成等腰直角三角形，求
面积的最小值．
2．（2026·陕西咸阳·二模）已知椭圆
的离心率
，过点
的动直线与椭圆
相交于两点，当直线与
轴垂直时，直线被椭圆
截得的线段长为3.
(1)求椭圆
的方程；
(2)直线
与椭圆
交于
，
两点，
是椭圆
上一动点（不同于
，
），记
，
，
分别为直线
，
，
的斜率，且满足
，求点
的坐标（用
表示）；
(3)过左焦点
的直线交椭圆于
，
两点，是否存在实数
，使
恒成立？若存在，
15
求此时
的最小值；若不存在，请说明理由.
题型08 解析几何中新定义问题
析典例
· 建模型
1．（25-26 高三上·内蒙古呼和浩特·期末）在平面直角坐标系中，让任意一点A 绕一固定点旋转一个定角，
变成另一点
，如此产生的变换称为平面上的旋转变换，已知点
绕原点逆时针旋转
后得点
，且旋转变换的表达式为
，曲线的旋转变换也如此．
(1)将点
绕原点逆时针旋转
得到点
，求点
坐标；
(2)已知曲线
，绕原点逆时针旋转
得到曲线
．
（ⅰ）求曲线
的方程；
（ⅱ）P 为曲线
上一点，P 不在x 轴上，过P 作
交曲线
于B，D 两点，求证：BD 与曲线
在P 点处的切线垂直．
16
研考点
· 通技法
关于新定义题的思路有：
（1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思；
（2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言；
（3）将已知条件代入新定义的要素中；
（4）结合数学知识进行解答.
破类题
· 提能力
1．（25-26 高三上·山东菏泽·期末）椭圆
是坐标原点，若
的三个顶点都在椭圆
上，
且满足
，则称该三角形为“核心三角形”.
(1)是否存在“核心三角形”，其中两个顶点恰好是椭圆
的两个顶点，并说明理由；
(2)已知
是“核心三角形”.
（i）证明：
的面积是定值；
（ii）若
为等腰三角形，这样的三角形有几个？并说明理由.
2．（25-26 高三上·山东潍坊·期末）已知椭圆
可由椭圆
绕
17
原点
逆时针旋转
得到.经过（）变换：
可将椭圆
的方程转化为
的方程.
(1)若
上的点
经过（*）变换后得到
上的对应点的坐标为
，求
的值；
(2)设椭圆
的焦点为
（其中
在第一象限）.
（i）求
的坐标；
（ii）过
在第一象限内的顶点
作切线
，过
作
轴的垂线，在上且在
外的一点
作
的两
条切线，切点分别为
，直线
和
分别交直线
于
两点.证明：直线
和
的交点在
定直线上.
（建议用时：100 分钟）
刷模拟
1．（2026·福建莆田·二模）已知抛物线
的焦点为
，准线为，直线
与，
的
交点分别为
，
，且
.
(1)求
；
(2)若过点
的直线
交
于
，
两点，且
，求
的值.
18
2．（25-26 高三下·北京西城·月考）已知椭圆
的短轴长和焦距均为
.直线与椭
圆W 相切于第一象限内一点M.直线
（不过原点）交椭圆W 于A，B 两点，C 为AB 的中点.
(1)求椭圆W 的方程；
(2)若C 在直线OM 上，证明：
.
3．（25-26 高二上·重庆·期中）已知双曲线
的左右焦点分别为
，其离心率为
，焦点
到渐近线的距离为
，点
是直线
上一点，直线
的斜率分别是
，
是坐标原点.
(1)求双曲线
的标准方程.
(2)是否存在实数
，使得
为定值？若存在，求出
及该定值.若不存在说明理由.
(3)若直线
与双曲线相交于
、
两点，求出点
的坐标使得
.
19
4．（2026·辽宁大连·模拟预测）已知椭圆
：
的左、右顶点分别为
､
，直线：
交椭圆
于
､
两点，其中
在
轴上方．
(1)当
时，若
，求的值；
(2)过点
､
分别作直线
：
的垂线，垂足分别为
､
，设直线
、直线
的斜率分别为
､
：
（i）证明：
；
（ii）若存在使得
成立，求实数
的取值范围．
5．（2026·湖北宜昌·二模）已知双曲线
的焦点
到一条渐近线的距离为，且点
在双曲线
上．
(1)求双曲线
的方程；
(2)斜率为
的直线与双曲线
的右支交于
、
两点（异于点
）．
①求直线
、
的斜率之和；
②若
的外接圆圆心为
，试问在
轴上是否存在定点
使
为定值，若存在，求出
点坐标，若不存在，请说明理由．
20
6．（25-26 高三下·山东·月考）已知动圆
过点
，且与
相切，记该动圆的圆心轨迹为曲线
．
(1)求
的方程；
(2)若
，直线
与
交于
两点（点
在点
的右侧），直线
与
交于
两点，
在第一象限，记直线
与
的交点为
，直线
与
的交点为
，
线段
的中点为
．
（ⅰ）证明：
三点共线；
（ⅱ）若
，过点
作的平行线，分别交线段
于点
，记
与
的面积分别为
和
，求
的最大值．
7．（25-26 高二上·湖南长沙·月考）已知圆
，椭圆
点
为圆
上任意
一点，过点
作圆
的切线与椭圆
交于
，
两点.
(1)当
时，
(i)证明：切线方程为
；
(ii)求
面积的取值范围.
(2)直线
关于原点
的对称直线与椭圆
交于
，
两点，是否存在，使四边形
为菱形.
8．（2025·江苏·模拟预测）如图所示，
分别是“曲圆”与
轴、
轴的交点，已知
，扇形
的面积为
．
21
（注：题目中把半椭圆
与圆弧
合成的曲线称作“曲圆”，其
中
为半椭圆的右焦点）
(1)求
的值；
(2)过点
且倾斜角为
的直线交“曲圆”于
两点，试将
的周长
表示为
的函数；
(3)在（2）的条件下，当
的周长
取得最大值时，探究
的面积是否为定值？若是，请
求出该定值；若不是，请求出面积的取值范围．
刷真题
1．（2026·上海·春季高考真题）已知双曲线
，过点
作不垂直于
轴的直线交双曲线
于
、
两点.
(1)求双曲线离心率；
(2)若点
，点
在双曲线的右支上，且
是
的中点，求直线的斜率；
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(3)若
，
，
分别是双曲线
的左右焦点，
是
关于
轴的对称点，若存在直线使得
，求
的取值范围.
2．（2025·全国二卷·高考真题）已知椭圆
的离心率为
，长轴长为4．
(1)求C 的方程；
(2)过点
的直线l 交C 于
两点，
为坐标原点.若
的面积为
，求
．
3．（2025·全国一卷·高考真题）已知椭圆
的离心率为
，下顶点为A，右顶点
为B，
．
(1)求C 的方程；
(2)已知动点P 不在y 轴上，点R 在射线AP 上，且满足
．
（i）设
，求
的坐标（用m，n 表示）；
（ⅱ）设O 为坐标原点，
是C 上的动点，直线OR 的斜率为直线
的斜率的3 倍，求
的最大
值．
4．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知双曲线
，点
在
上，
为常数，
23
．按照如下方式依次构造点
：过
作斜率为
的直线与
的左支交于点
，
令
为
关于
轴的对称点，记
的坐标为
.
(1)若
，求
；
(2)证明：数列
是公比为
的等比数列；
(3)设
为
的面积，证明：对任意正整数
，
.
5．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知
和
为椭圆
上两点.
(1)求C 的离心率;
(2)若过P 的直线交C 于另一点B，且
的面积为9，求的方程．
6．（2023·全国I 卷·高考真题）在直角坐标系
中，点
到
轴的距离等于点
到点
的距离，记动
点
的轨迹为
．
(1)求
的方程；
(2)已知矩形
有三个顶点在
上，证明：矩形
的周长大于
．
7．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知双曲线C 的中心为坐标原点，左焦点为
，离心率为
．
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(1)求C 的方程；
(2)记C 的左、右顶点分别为
，
，过点
的直线与C 的左支交于M，N 两点，M 在第二象限，
直线
与
交于点P．证明:点
在定直线上.
8．（2023·全国乙卷·高考真题）已知椭圆
的离心率是
，点
在
上．
(1)求
的方程；
(2)过点
的直线交
于
两点，直线
与
轴的交点分别为
，证明：线段
的中
点为定点．
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