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02 圆锥曲线中的求值问题
一、必备知识：
1.利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤：
（1）设直线方程，设交点坐标为 、 ；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于 （或 ）的一元二次方程，必要时计算 ；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为 、 （或 、 ）的形式；
（5）代入韦达定理求解
2.若直线 与圆雉曲线相交于 ， 两点，由直线与圆锥曲线联立，消元得
到 （ ）或 （ ）,则 或
，则弦长
或
.
3.与圆锥曲线有关的最值问题的两种解法
（1）数形结合法：根据待求值的几何意义，充分利用平面图形的几何性质求解．
（2）构建函数法：先引入变量，构建以待求量为因变量的函数，再求其最值，常用基本不等式或导数法
求最值（注意：有时需先换元后再求最值）．二、题组
题组一：求斜率
1．已知点 在双曲线 上，直线l交C于P，Q两点，直线 的斜率之和为0,则l的
斜率为 ．
2．已知曲线 的方程为 ，设点 在直线 上，过 的两条直线分别交 于 、 两
点和 ， 两点，且 ，则直线 的斜率与直线 的斜率之和为 .
3．已知椭圆 的离心率为 ，点 为其长轴两端点，点 为椭圆 上异于
的一点，则直线 和 的斜率之积等于 ．4．已知椭圆 的左顶点为A，O为坐标原点，直线 与椭圆C交于M，N
两点，射线 与椭圆C交于点P，设直线 ， 的斜率分别为 ， ，则 ．
5．已知椭圆 与抛物线 交于点 ，直线 与 轴的交点既
是 的右焦点，也是 的焦点，点 关于原点的对称点分别为 ，点 是 上与 均不重
合的点，记直线 的斜率分别为 ，则 .
巩固练习：
1．已知椭圆 的左焦点为F，离心率为 ，过F的直线l交椭圆于A，B两点，且，则直线l的斜率为 .
2．已知点 满足方程 ，点 ， ，若直线 的
斜率为 ， 斜率为 ，则 的值为 .
3．已知椭圆 的上下顶点分别为 ，过点 的直线交椭圆于 两点，记
，则 .
4．设过点 的直线l与椭圆 交于M，N两点，已知点 ，若直线AM与直线AN的
斜率分别为 ， ，则 ．5．如图，已知椭圆C： 的左、右顶点分别为A，B，点P是直线 上的一点，直线PB交
C于另外一点M，记直线PA，AM的斜率分别为 ， ，则 ．
6．已知 ， 是椭圆 上关于原点对称的两点， 是该椭圆上不同于 ， 的一点，若直线
的斜率 的取值范围为 ，则直线 的斜率 的取值范围为 ．
题组二：求弦长1．已知点 、 分别椭圆 的左、右焦点，过 作倾斜角为 的直线交椭圆于 、 两点，则
弦 的长为 .
2．过椭圆 的右焦点的直线交椭圆于A，B两点，则弦AB的最小值为 ．
3．斜率为 的直线l与椭圆C： 交于A，B两点，且 在直线l的左上方.若
，则 的周长是 .
4．已知矩形 有三个顶点在抛物线 上，证明：矩形 的周长大于 ．巩固练习：
1．已知椭圆C： ， ， 是椭圆C上两点， ，则弦 长为
．
2．已知 为坐标原点，椭圆 的离心率 ，短轴长为 ．若直线 与 在第
一象限交于 两点, 与 轴、 轴分别相交于 两点, ,且 ,则 ．
3．已知 ， 是椭圆C： 上两个动点，满足 ，O为坐标原点，则
．4．已知点 是椭圆C： 上的一点， 是椭圆的左、右焦点，且
，则椭圆C的方程是.若圆 的切线与椭圆C相交于M点，则 的最大值是 .
5．已知椭圆 ，过原点 作两条互相垂直的射线交椭圆于 、 两点，则弦长 的取值范围
为 ．
6．已知点P在双曲线 上，分别过P点作渐近线的平行线交x轴于点A，B且A点在靠近原点一
侧，过A点作x轴的垂线交以 为直径的圆于点C，则 的取值范围是 ．
题组三：求面积
1．已知点 在双曲线 上，直线l交C于P，Q两点，直线 的斜率之和为0，若
，则 的面积为 ．2．记抛物线 的焦点为F，点 ，直线 与抛物线C交于M，N两点，则四
边形 的面积为 .
3．已知椭圆C： 过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为 ，点N为椭圆上任意
一点，则△AMN的面积的最大值为 .
4．已知椭圆 （ ）的离心率为 ，其上焦点 与抛物线 的焦点重合．
若过点 的直线交椭圆 于点 ，过点 与直线 垂直的直线 交抛物线 于点 （如图所示），则四边形 面积的最小值为 ．
5．已知双曲线 ： 与双曲线 有相同的渐近线， 是双曲线 右支上任
一点，过点 作双曲线 的两条渐近线的垂线，垂足分别为M，N，O是坐标原点，若 的最小值是 ，
则当 取最小值时， 的面积是 .
巩固练习：
1．若双曲线 的一条渐近线为 ，则过抛物线 的焦点且垂直于 轴的弦 ，
与抛物线的顶点组成的三角形的面积为 .2．已知抛物线 的焦点 为椭圆 的右焦点，直线 过点 交抛物线于 两点，
且 .直线 分别过点 且均与 轴平行，在直线 上分别取点 （ 均在点 的右
侧）， 和 的角平分线相交于点 ，则 的面积为 .
3．过抛物线 的焦点F分别作两条相互垂直的直线 ， ，若直线 与抛物线C交于 ，
两点，直线 与抛物线C交于 ， 两点，且 ，则四边形ADBE的面积为
．
4．已知 为抛物线 的焦点，过直线 上的动点 作抛物线的切线，切点分别是 ，
则 与 为坐标原点）面积之和的最小值为 .三、综合检测：
1．如图，在平面直角坐标系 中， ， 分别为椭圆 的左，右焦点， 、 分别
为椭圆的上、下顶点，直线 与椭圆的另一交点为 ，若 ，则直线 的斜率为 .
2．在平面直角坐标系中，过点 的直线 与椭圆 交于 、 两点，点 是线段 的中
点．设直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，则 ．
3．已知椭圆 ，A，B为其左右顶点，设直线 上有一动点 ，连结AP，BP交
椭圆于C，D，则直线BC的斜率 与直线BD的斜率 的乘积 .
4．已知椭圆 ，过椭圆左焦点F任作一条弦 （不与长轴重合），点A，B是椭圆的左右顶
点，设直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，则 的最小值为 ．
5．已知直线 与椭圆 交于 两点，则 .
6．过点 的直线 与椭圆 交于 两点，则 的最大值是 .7．已知椭圆 的离心率为 ，焦距为 ，斜率为 的直线l与椭圆 有两个不
同的交点 ，则 的最大值为 .
8．已知抛物线 上的点 到焦点 的距离为4，过点 作直线 交抛物线于 两点，
延长 交准线于点 两点在准线上的射影分别为 ，若 ，则 的面积为 ．
9．已知 ， 分别为双曲线C： 的左、右焦点，O为坐标原点，过 作渐近线
的垂线，垂足为P，且 ，过双曲线C上一点Q作两渐近线的平行线分别交渐近
线于M，N两点，则四边形OMQN的面积为 .
10． 的顶点A在抛物线 上，点B，C在直线 上，若 ，则
面积的最小值为 .
11．已知抛物线 .其焦点为F，若互相垂直的直线m，n都经过抛物线 的焦点F，且与抛物
线相交于A，B两点和C，D两点，则四边形 面积的最小值为 .
12．过双曲线 的右焦点 的直线与 的右支交于 两点， 为原点，线段 的中点与
线段 的中点重合，则四边形 面积的取值范围是 ．
